Kreis, Dreieck und Quadrat
Die drei ältesten Symbole der Menschheit sind auch die Grundlage jeder lückenlosen Parkettierung, und die Teiler der Zahl 24 bestimmen, welche Vielecke dabei vorkommen können.
Kreis, Dreieck und Quadrat gehören zu den ältesten Symbolen überhaupt.
- Der Kreis kehrt in sich selbst zurück. Er steht für Einheit, Vollkommenheit und Unendlichkeit, mit einem Punkt in der Mitte für die Schöpfung. Im Zen-Buddhismus ist er Zeichen der Erleuchtung.
- Das Dreieck gilt als stabilste Form und als Bild der Dreiheit: These, Antithese, Synthese oder Vater, Mutter, Kind. In der Symbolik steht es für Energie und das Männliche.
- Das Quadrat ist das Zeichen der Erde: ruhend, fest, stofflich, in der Symbolik das Weibliche.
Stellt man die natürlichen Zahlen als Vielecke nebeneinander, sind gerade die ersten die markantesten. Ab etwa zehn Ecken werden die Ecken undeutlich, und das Vieleck nähert sich dem Kreis. Umso auffälliger ist, dass ausgerechnet Dreieck und Quadrat, die am weitesten vom Kreis entfernt sind, am unmittelbarsten mit ihm zusammenhängen.
Die vollkommene Symmetrie
Gibt es etwas Ursprünglicheres als Kreis und Kugel? Jede punktförmige Quelle von Energie, etwa von Licht oder Wärme, strahlt nach allen Seiten gleichmäßig ab und schafft damit von selbst eine kugelförmige Grenze um ihr Zentrum. Auch ein Atom bildet mit seiner Elektronenhülle eine Art Kugel.
Symmetrie nennt man die Eigenschaft einer Figur, bei bestimmten Bewegungen in sich selbst überzugehen, also unverändert zu erscheinen. Die vollkommene Symmetrie zeigen der Kreis in der Ebene und die Kugel im Raum: Sie haben unendlich viele Symmetrieachsen durch ihren Mittelpunkt. Umgekehrt hängen Kreis und Kugel gerade mit den regelmäßigen Figuren am engsten zusammen, die die wenigsten Symmetrieachsen haben: mit Dreieck und Quadrat in der Ebene, mit Tetraeder, Oktaeder und Würfel im Raum. Diese Wechselbeziehung verfolgt diese Seite. Für die Zahlentheorie muss man dabei von symmetrischen Figuren ausgehen, also von regelmäßigen Vielecken mit gleichen Seiten und gleichen Winkeln.
Was folgt, wirkt banal, man sieht es in jeder Fliesenausstellung. Gerade deshalb lohnt es, es sich bewusst vor Augen zu führen. Grundprinzipien der Zahlentheorie, gerade und ungerade Zahlen oder die Zwillinge der Primzahlen im Sechsertakt, zeigen sich in diesen einfachen Figuren und wiederholen sich dann ohne Ende. Denn es geht um: Zahlentheorie + Geometrie = Philosophie.
Die drei regelmäßigen Parkettierungen
Nur drei regelmäßige Vielecke füllen die Ebene lückenlos, wenn man sie Kante an Kante legt: Dreieck, Quadrat und Sechseck. Der Grund: An jedem Eckpunkt müssen die Winkel zusammen genau einen Vollkreis ergeben.
Oben die drei regelmäßigen Parkettierungen, der rote Punkt markiert einen Eckpunkt. Unten die zwei einzigen Arten, gleich große Kreise so zu legen, dass sie sich regelmäßig berühren. Ihre Mittelpunkte ergeben Quadrate oder Dreiecke.
Das Sechseck ist dabei ein Sonderfall: Es ist das einzige regelmäßige Vieleck, das sich aus einem anderen zusammensetzt, aus sechs Dreiecken. Dreiecke wiederum lassen sich nur pflastern, wenn sie abwechselnd aufrecht und gestürzt liegen.
Das Fünfeck liegt genau zwischen zwei pflasterbaren Vielecken und ist das erste, das sich nicht mit sich selbst pflastern lässt. Das Achteck lässt sich immerhin zusammen mit Quadraten verlegen, das Zwölfeck mit Dreiecken oder mit Quadraten und Sechsecken (halbregelmäßige oder archimedische Parkettierungen). Alle anderen Vielecke, das Siebeneck, Neuneck, Zehneck, Elfeck und alles ab dem Dreizehneck, kommen in solchen Pflasterungen nicht vor. In der Kristallographie heißt das die kristallographische Restriktion: Periodische Muster können nur Drehungen um 360°, 180°, 120°, 90° und 60° enthalten, also Symmetrien der Ordnung 1, 2, 3, 4 und 6. Fünfzählige Symmetrie gibt es nur in den „fast periodischen“ Quasikristallen.
Entsprechungen in der Zahlentheorie
Diesen Befunden stehen zahlentheoretische Parallelen gegenüber:
- Drei und Sechs (mit sich selbst pflasterbar): Die Drei erzeugt im Sieb des Eratosthenes den Sechsertakt, in dem sich alle Primzahlen ordnen. Primzahlen stehen als Zwillinge um die Vielfachen von sechs. So wie Dreiecke nur im Wechsel aufrecht und gestürzt pflastern, wechseln gerade und ungerade Zahlen.
- Vier (mit sich selbst pflasterbar): Die Vier steht für das viergliedrige, fraktale Ordnungsgefüge, das hier Tetraktys heißt. Das Viereck ist das einzige Vieleck mit einem Vollkreis als Winkelsumme.
- Fünf und Sieben (nicht pflasterbar): Die Fünf ist die erste Primzahl im Sechsertakt, die Sieben ihr Zwilling. Mit 25 = 5 × 5 bricht die Fünf die Ordnung der Primzahlzwillinge auf. Mit ihr beginnt das Ungeordnete, und zugleich die Vielfalt der möglichen Verbindungen. Man denke an Penrose-Parkettierungen und Quasikristalle.
Die Teiler der 24
Die Vielecke, die in regelmäßigen und archimedischen Parkettierungen vorkommen können, haben 3, 4, 6, 8 oder 12 Ecken. Zusammen mit 1 und 2 (Punkt und Linie) sind das genau alle Teiler der Zahl 24 außer ihr selbst. Die 12 ist durch 1, 2, 3, 4 und 6 teilbar, das entspricht allen möglichen Drehungen periodischer Muster.
Dabei zeigt sich wieder eine Viererordnung:
- In der ersten Vierergruppe 1, 2, 3, 4 sind alle Vielecke pflasterbar.
- In der zweiten, 5, 6, 7, 8, nur noch jedes zweite: 6 und 8.
- In der dritten, 9, 10, 11, 12, nur noch das vierte: 12.
Auch im Raum sind dieselben Teiler strukturbildend. Lückenlos füllen ihn nur Tetraeder und Oktaeder im Verbund oder Würfel allein, und deren Flächen, Ecken und Kanten sind 4, 6, 8 und 12. Mehr dazu unter Die lückenlose Raumfüllung.
Zum Zwölfeck noch eine Beobachtung: Die 12 ist die letzte zusammengesetzte Zahl, bei der keine Figur vom Typ „Sternpolygon mehrfach“ auftritt, deren Quotient über 2 liegt (Primzahlen haben ohnehin keine). Das 10-Eck ist die erste Zahl mit einer solchen Figur (10 : 4 = 2,5). Bezieht man alle Quotienten mit ein, taucht diese Konstellation erstmals bei 6 : 4 auf, bei zwei der drei Zahlen, deren Vielecke sich mit sich selbst pflastern lassen.
Dreieck und Quadrat, die Sonderlinge
Dreieck und Quadrat tauchen auf dieser Seite immer wieder als Ausnahmen auf: bei der Pflasterung der Ebene, bei den fraktalen Vielecken, wo das Quadrat das letzte Fraktal ohne Überschneidung ist, in den Simplexen und in der Zahlentheorie bis hin zu den Lücken zwischen den Primzahlzwillingen. An ihnen zeigt sich besonders eindrucksvoll, wie alles mit allem verbunden ist.
Das Hexagon und der siebte Kreis
Um einen Kreis passen genau sechs gleich große Kreise. Zusammen sind es sieben. Die Mittelpunkte der sechs äußeren bilden ein Sechseck aus sechs Dreiecken. Zwei Dreiecke mit je einem halben Kreis Winkelsumme ergänzen sich zu einem Vollkreis, dem siebten in der Mitte. Die sechs Dreiecke im Sechseck haben zusammen drei Vollkreise, das Sechseck selbst zwei. Betrachtet man das Netz als Muster aus Hexagrammen, hat jedes Hexagramm, aus zwei Dreiecken gebildet, genau einen Vollkreis als Winkelsumme. Das Quadrat erreicht denselben Vollkreis mit seinen vier rechten Winkeln allein.
Ein Modell der Schöpfung
An den Berührungspunkten sich berührender Kreise lässt sich eine fraktale Kette in Gang setzen: Die Kanten der Dreiecke und Quadrate werden halbiert, die Halbierungspunkte bilden die Mittelpunkte eines neuen Kreisrasters mit halbem Durchmesser, und so weiter. Das funktioniert mit Dreiecken und mit Quadraten, im Raum auch mit dem kubisch flächenzentrierten Gitter, ab dem Fünfeck aber nicht mehr.
Auch im Raum lassen sich die Kristallgitter der Kugelpackungen nur aus Dreiecken und Quadraten aufbauen. Das Gitter der dichtesten Packung, der Keplerschen Kugelpackung, zeigt von einer Seite ein Tetraeder, eine Pyramide auf dreieckigem Grund, von einer anderen ein halbes Oktaeder, eine Pyramide auf quadratischem Grund. Beide gehören zu ein und derselben Struktur. Bekannt ist sie auch als isotrope Vektormatrix von Buckminster Fuller. Ihre Lücken bestehen abwechselnd aus Tetraedern und Oktaedern, und sie ist ein echtes Fraktal. Kepler hat diese Zusammenhänge als Erster nachweislich erkannt. Wer die Struktur verstehen will, sollte sie am besten selbst als Modell nachbauen.
Das kubisch flächenzentrierte Gitter der dichtesten Kugelpackung. Aus einer Richtung sieht man Dreiecke, aus einer anderen Quadrate.
Kreise im Sechsecknetz: sechs um einen, und darum der nächste Ring. Das Muster ist in der „Heiligen Geometrie“ als Blume des Lebens bekannt.