Simplex – multidimensionale Tetraeder

Jeder neue Eckpunkt hebt das Tetraeder in eine weitere Dimension. Das Pascalsche Dreieck ist die vollständige Tabelle dieser Körper, und der 5-Zeller trägt ein Pentagramm in sich.

Wer zum ersten Mal davon hört, dem mag der folgende Gedanke abstrakt, fast abwegig vorkommen. Er ist aber keine Erfindung dieser Seite, sondern gesicherte Mathematik: Das Tetraeder lässt sich in beliebig viele Dimensionen fortsetzen. Man nennt diese verallgemeinerten Tetraeder Simplexe. Im Zusammenhang mit der Zahlentheorie und der Tetraktys, wie sie auf dieser Seite entwickelt wird, wirkt die Gleichung Simplex = Tetraeder fast wie eine Offenbarung.

Die Folge Punkt, Strecke, Dreieck, Tetraeder bricht nach der dritten Dimension nicht ab. Mit jedem weiteren Punkt, der mit allen anderen verbunden wird, entsteht der Simplex der nächsten Dimension. In der Ebene gezeichnet sieht man ihn als Vieleck mit allen Diagonalen. Das Tetraeder zum Beispiel erscheint als Quadrat mit beiden Diagonalen, wenn man frontal auf eine seiner Kanten schaut.

Punkt: Dimension 0
Strecke: Dimension 1
Fläche (Dreieck): Dimension 2
Körper (Tetraeder): Dimension 3

Das Tetraeder, der „Vierflächner“, ist also das vierte Glied dieser Kette.

Punkte

Zweidimensionale Projektionen der Simplexe: Die Figur mit vier Punkten ist das Tetraeder, von vorn auf eine Kante gesehen. Fünf Punkte ergeben den vierdimensionalen 5-Zeller.

Das Pascalsche Dreieck als Simplex-Tabelle

Das Pascalsche Dreieck enthält entlang seiner Schrägen der Reihe nach die Einsen, die natürlichen Zahlen, die Dreieckszahlen, die Tetraederzahlen und dann die Zahlen der höheren Dimensionen. Zugleich zählt jede Zeile die Bestandteile eines Simplex: Der n-dimensionale Simplex hat so viele Ecken, Kanten, Dreiecke und Tetraeder, wie die Zeile n + 1 angibt.

Das ganze Pascalsche Dreieck ist damit ein Diagramm der Vieldimensionalität der Simplexe. Wer es kennt, sieht hier, wie untrennbar Geometrie, vor allem die Geometrie der Simplexe, und Zahlentheorie miteinander verwoben sind.

Zwei weitere Beobachtungen: Das Pascalsche Dreieck lässt sich in Zehn-Punkte-Dreiecke mit vier Punkten Kantenlänge zerlegen, zwischen denen auf dem Kopf stehende Sechs-Punkte-Dreiecke liegen. Und auch hier wird die Struktur vom Wechsel gerader und ungerader Zahlen bestimmt. Dass dabei ebenfalls von Dreieckszahlen die Rede ist, hat mit der Zerlegung allerdings nicht unmittelbar zu tun.

Pascalsches Dreieck. Die ungeraden Zahlen sind gefärbt und bilden das Sierpinski-Dreieck. Die Knöpfe heben die Schrägen hervor.

Simplex	Ecken	Kanten	Dreiecke	Tetraeder	Zellen
Punkt (0D)	1
Strecke (1D)	2	1
Dreieck (2D)	3	3	1
Tetraeder (3D)	4	6	4	1
5-Zeller (4D)	5	10	10	5	1

Man vergleiche die Tabelle Zeile für Zeile mit dem Pascalschen Dreieck: Die Zahlen sind dieselben.

Ziehen zum Drehen

Das Tetraeder, die Pyramide mit dreieckiger Grundfläche und einfachster platonischer Körper. Im Bild oben erscheint es als Quadrat mit zwei Diagonalen, weil man dort frontal auf eine Kante blickt.

Die Tetraktys des Raumes

Punkt, Linie, Dreieck und Tetraeder haben zusammen 1 + 2 + 3 + 4 = 10 Ecken. Diese „Tetraktys des Raumes“ wird oft gezeigt, um die Vierheit anschaulich zu machen. Sie zeigt sicher etwas Bedeutsames. Punkte bloß zusammenzuzählen gibt der Zehn aber noch keinen Sinn.

Es gibt eine zweite Deutung, die ebenfalls beansprucht, die pythagoreische Tetraktys zu sein: die Tetraktys der Musik. Sie besteht aus den Grundkonsonanzen Quarte 4 : 3 (= 8 : 6), Quinte 3 : 2 (= 9 : 6) und Oktave 2 : 1 (= 12 : 6). Beide Deutungen lassen eine entscheidende Frage offen: Wo bleibt die Zehn, die Summe und Quintessenz 1 + 2 + 3 + 4 = 10, die Philolaos so ausdrücklich beschreibt? In keiner der beiden hat sie eine erkennbare, sinngebende Rolle.

Anders sieht es aus, wenn man die Kanten betrachtet. Die Dreieckszahlen im Punktedreieck zählen nicht die Ecken, sondern die Kanten der Simplexe: 1, 3, 6, 10. Dem Zehn-Punkte-Dreieck entspricht damit das Tetraeder der vierten Dimension mit seinen zehn Kanten. Liest man die Tetraktys des Raumes als Folge vieldimensionaler Tetraeder und nimmt die Zahlentheorie dazu, erscheint plötzlich alles in einem anderen Licht.

Mit der vierten Dimension beginnt die Welt der nur noch gedachten Räume. Man könnte sie auch den Eintritt in die geistige, transzendente Welt nennen.

Der 5-Zeller

Das vierdimensionale Tetraeder heißt 5-Zeller oder Pentatop. So wie die Strecke aus zwei Punkten besteht, das Dreieck aus drei Strecken und das Tetraeder aus vier Dreiecken, besteht der 5-Zeller aus fünf Tetraedern. In der Ebene gezeichnet ist er ein Fünfeck mit eingezeichnetem Pentagramm, dem Erkennungszeichen der Pythagoreer.

Zählt man, was jede Figur begrenzt, ergibt sich eine eigene Reihe:

Figur	Dimension	begrenzt von
Punkt	0	nichts
Linie	1	2 Punkten
Dreieck	2	3 Linien
Tetraeder	3	4 Flächen
5-Zeller	4	5 Räumen (Tetraedern)

Ziehen zum Drehen

Der 5-Zeller, in der vierten Dimension gedreht und in den Raum projiziert. Die fünf Tetraeder scheinen dabei ineinander zu wachsen.

Wer genau hinsieht, erkennt im gedrehten Gebilde zeitweise eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche, in deren Grundriss zusätzlich die beiden Diagonalen liegen. Das ist nicht ganz falsch. Beim Drehen scheinen die fünf Tetraeder von innen herauszuwachsen.

Einen echten Eindruck von vier Dimensionen wird ein dreidimensionales Wesen nie haben. Die Projektion ist ein Schattenbild, aber sie gibt eine Ahnung. Nur wenigen wird die Animation ein Aha-Erlebnis bescheren.

Die Pythagoreer kannten diese Grenze des Raumes, haben aber über sie hinaus gedacht. Wie hätten sie sonst über die Zehn sagen können, was Philolaos überliefert? Gerade am 5-Zeller lässt sich im Sinn der Tetraktys gut philosophieren, weil hier das Pentagramm ins Spiel kommt.

Dahinter steht ein Prinzip, das in der vielschichtigen, fraktalen Natur der Tetraktys immer wiederkehrt: Die Vierheit, die in der Zehn gipfelt, ist eine in sich geschlossene Ordnung. Die ungerade Fünf, die erste Primzahl im Zwillingsraster des Sechsertakts, durchbricht diese Ordnung. Zusammen mit den geraden, durch fünf teilbaren Zahlen, der Zehn und ihren Vielfachen, schafft sie eine neue, komplexere Tetraktys.

Weiterführend: Simplex bei Wolfram MathWorld, 5-Zeller bei Wolfram MathWorld und der englische Wikipedia-Artikel Simplex, der deutlich ausführlicher ist als der deutsche.

Der Grenzüberschreiter

Hier wird die Betrachtung ausdrücklich philosophisch. Die vierte Dimension scheint es real gar nicht zu geben, und doch enthält ihr Tetraeder ein Pentagramm. Der Raum lässt sich lückenlos mit Dreiecks- und Vierecksformen füllen: mit Pyramiden und Tetraedern, mit Würfeln und Quadern. Das ist die isotrope Vektormatrix von Buckminster Fuller, gebaut nur aus Dreiecken, Sechsecken und Quadraten (siehe Kreis, Dreieck und Quadrat und Die lückenlose Raumfüllung). Zwischen Drei-, Vier- und Sechseck klafft eine Lücke: das Fünfeck. Mit fünfeckigen Formen lässt sich der Raum nicht füllen, ohne dass sich die Körper gegenseitig durchdringen. Das Pentagramm im 5-Zeller überschreitet also die Grenze des dreidimensionalen Raumes. Es ist deshalb der Grenzüberschreiter, Hermes, der Götterbote.

Man kann den Gedanken weiterführen: Eine vierdimensionale Welt, in der Körper einander durchdringen, würde uns zerstören. Planeten würden ineinanderkrachen, jeder mechanische Vorgang wäre tödlich. Ähnlich argumentieren Stringtheoretiker, die von zehn oder elf Dimensionen ausgehen. Vielleicht begegnet uns dieses Ineinander aber im Kleinen täglich: überall dort, wo Lebewesen einander verdrängen, verschlingen und ersetzen. Die Physik nennt die Zeit die vierte Dimension. Ob zwei Körper denselben Ort beanspruchen, hängt allein davon ab, ob sie zur selben Zeit dort sind. Die Zeit allein entscheidet, ob zwei Körper am selben Ort zusammentreffen. So erscheint das Pentagramm als Prinzip von Zeit, Materie und Leben, und das deckt sich mit seiner Deutung in den hermetischen Lehren. Der rechte Winkel beschreibt die natürliche Grenze des Raumes, das Fünfeck überschreitet sie. Die vierte Dimension steht zugleich für den Eintritt ins Transzendente und für die Verkörperung geistiger Prinzipien in der Materie. Der dreidimensionale Raum schafft die Rahmenbedingungen, und in ihm offenbart sich das Göttliche in der Materie, wie die Materie das Göttliche offenbart.

Dasselbe Motiv zeigt sich bei den fraktalen Vielecken. Wendet man das Verfahren des Sierpinski-Dreiecks auf Quadrat und Fünfeck an, fügen sich beim Quadrat die Teile noch lückenlos aneinander. Ab dem Fünfeck überlagern sie sich, und ihre Schnittmenge bildet ein Pentagramm, den Grenzüberschreiter.

Ecken Stufen

Das Sierpinski-Verfahren am Quadrat: Die Teilquadrate stoßen genau aneinander. Mit dem Regler zum Fünfeck wechseln, dort überlappen sich die Teile, und in der Mitte entsteht ein Pentagramm.

Wer beide Fälle aufmerksam betrachtet, kommt zu dem Schluss, dass das Quadrat in direkter Wechselbeziehung zum Einheitskreis steht. Der Grund sind seine vier Innenwinkel von je 90°, die zusammen genau einen Vollkreis ergeben (siehe Winkelsummen und Vollkreise). Daraus folgt: Die pythagoreische Tetraktys steht für Einheit und Vollständigkeit.

Rhythmus, Zeit und Leben

Das Prinzip der Grenzüberschreitung zeigt sich auch in der Zahlentheorie. Folgt man dem pythagoreischen Gedanken, dass die erste Ursache aller Erscheinung die Zahl ist, dann kann man den Sechsertakt der Primzahlzwillinge, der ohne Ende gilt, als zeitlos unveränderliches Paar von Raum und Energie betrachten, als gespiegelte Drei. Die Raster der Primzahl-„Unordnung“ dagegen, die sich überlagern und jeweils um zehn versetzt beginnen, bei 25, 35, 45 …, als gespiegelte Fünf, bilden die Dynamik von Zeit und Materie ab, das Werden und Vergehen und damit das Prinzip des Lebens (siehe Die Unordnung der Primzahlen).

Raster	beginnt bei
10er-Schritte	25 = 5 × 5
14er-Schritte	35 = 5 × 7
18er-Schritte	45 = 5 × 9
22er-Schritte	55 = 5 × 11
26er-Schritte	65 = 5 × 13
…	…

In den Simplexen erscheinen diese Raster als Sternfiguren, die nur aus Pentagrammen bestehen und immer den Quotienten 2,5 haben: 25/10 aus fünf Pentagrammen, 35/14 aus sieben, 45/18 aus neun. Die Zähler liegen je zehn auseinander, die Nenner je vier. Das Fünfeck mit seinem Pentagramm ist die Startfigur dieses Prinzips, sein Quadrat 25 leitet die Unordnung ein.

Einen Gedanken dazu formulierte der Okkultist und Rosenkreuzer Ferdinand Maack, der auch ein dreidimensionales Schach erfand, 1926 in seinem Buch Talisman Turc:

Leben heißt periodisch sein, rhythmisch im All mitschwingen […]. Scharfe Perioden sind für die Selbsterhaltung des Individuums schädlich. Daher sucht die Natur – obwohl sie selbst dem Gesetz der Periodizität ihre Erhaltung verdankt – akzentuierte Perioden abzuschwächen, zu verwischen. Dazu braucht aber die Natur nicht etwa neue Maßnahmen und Gesetze treffen, sondern sie schiebt einfach eine Mehrzahl von Perioden übereinander! Die Summe dieser übereinander gelagerten Perioden wirkt aperiodisch und macht das Individuum stabiler, für den Kampf ums Dasein geeigneter.

Genau so entsteht die scheinbare Unordnung der Primzahlen: durch die Überlagerung der Vielfachen aller Primteiler mit der Fünf, ohne Ende. Hinter der unregelmäßigen Hülle steckt ein regelmäßiger Kern. Wer die Geduld hat, selbst Simplexe zu zeichnen und ihre Sternfiguren nachzuzählen, wird das bestätigt finden. Wie dasselbe doppelte Pentagramm im Querschnitt der DNA erscheint, beschreibt Die Tetraktys im Überblick.