Die Balmer-Linien: Zahlenverhältnisse im Licht

Das Licht des Wasserstoffs hat vier sichtbare Farben. Johann Jakob Balmer fand 1885 ihre Wellenlängen als einfache Brüche aus Quadratzahlen, darunter 4 : 3 und 9 : 8, die Quarte und der Ganzton.

Die Pythagoreer fanden die Zahl in den Tönen einer Saite. Zweieinhalb Jahrtausende später fand man sie in den Farben des Lichts, und zwar im Licht des einfachsten aller Atome, des Wasserstoffs.

Linien im Spektrum

Zerlegt man Licht mit einem Prisma, entsteht ein Farbband, das Spektrum. Joseph von Fraunhofer fand 1814 darin feine dunkle Linien. Einige hatte schon William Wollaston 1802 bemerkt, aber Fraunhofer vermaß sie als Erster genau. Gustav Kirchhoff und Robert Bunsen zeigten 1859, dass jedes chemische Element sein eigenes Muster solcher Linien hat, wie einen Fingerabdruck. Glühender Wasserstoff leuchtet nicht in allen Farben, sondern nur in vier scharfen Linien im sichtbaren Bereich: rot, blaugrün, blau und violett. Der Schwede Anders Ångström hatte ihre Wellenlängen sehr genau gemessen.

Kolorierte Tafel: ein Farbband von Rot über Gelb und Grün bis Violett, durchzogen von vielen dunklen senkrechten Linien, darüber eine Helligkeitskurve — Joseph von Fraunhofers eigene Zeichnung des Sonnenspektrums mit den dunklen Linien, die heute seinen Namen tragen (1814/15). Die Kurve darüber zeigt, wie hell ihm das Spektrum an jeder Stelle erschien. Die Buchstaben, mit denen er die stärksten Linien bezeichnete, sind bis heute in Gebrauch.

Balmers Brüche

Johann Jakob Balmer war Mathematiklehrer an einer Mädchenschule in Basel und 60 Jahre alt, als ihn ein Physiker der Universität auf diese vier Zahlen aufmerksam machte. Balmer hatte keine physikalische Theorie. Er suchte nur nach einem Zahlenverhältnis. 1885 fand er es: Teilt man die vier Wellenlängen durch eine gemeinsame Grundlänge B = 364,56 nm, erhält man die Brüche

\frac{9}{5}, \quad \frac{4}{3}, \quad \frac{25}{21}, \quad \frac{9}{8}

Das sieht zunächst ungeordnet aus. Erweitert man aber 4/3 zu 16/12 und 9/8 zu 36/32, wird das Muster sichtbar: Oben stehen die Quadratzahlen 9, 16, 25, 36, unten jeweils dieselbe Quadratzahl weniger 4.

\lambda = B \cdot \frac{n^2}{n^2 - 4}, \qquad n = 3, 4, 5, 6

Balmer sagte weitere Linien für $n = 7$ , 8 und so fort voraus, die sich immer dichter an die Grenze B drängen. Sie waren im Licht heißer Sterne bereits gemessen worden und passten sehr gut.

Oben das Spektrum des Wasserstoffs mit den Balmer-Linien, die sich zur Grenze bei 364,56 nm hin verdichten. Unten die Energiestufen des Atoms: Jede Linie entsteht, wenn das Elektron von Stufe n auf Stufe 2 fällt. Die Knöpfe wählen eine der vier sichtbaren Linien.

Zwei der vier Brüche sind vertraute Intervalle, die Quarte 4 : 3 und der Ganzton 9 : 8, und 9 : 5 ist eine kleine Septime. Ob das mehr bedeutet als einen hübschen Zufall, lässt sich nicht sagen. Sicher ist, dass die Farben des Wasserstoffs von ganzen Zahlen bestimmt werden, so wie die Töne der Saite.

Von Balmer zu Bohr

Johannes Rydberg schrieb Balmers Formel 1888 allgemeiner. Statt der 4, die $2^{2}$ ist, darf jede Quadratzahl stehen. Mit $1^{2}$ entsteht eine Serie im Ultravioletten, die Theodore Lyman 1906 fand, mit $3^{2}$ eine im Infraroten, die Friedrich Paschen 1908 fand. Das ganze Licht des Wasserstoffs folgt einem einzigen Gesetz aus Quadraten ganzer Zahlen.

Warum, erklärte Niels Bohr 1913. Das Elektron im Wasserstoffatom kann nur bestimmte Stufen einnehmen, nummeriert mit $n = 1$ , 2, 3 … Ihre Energie ist umgekehrt proportional zu $n^{2}$ . Fällt das Elektron von einer höheren Stufe auf eine tiefere, sendet es Licht aus, dessen Farbe dem Abstand der Stufen entspricht. Die Balmer-Linien sind die Sprünge auf die Stufe 2. Die neue Quantenmechanik hat diese Stufen 1926 aus ihren Grundgleichungen abgeleitet, zuerst Wolfgang Pauli mit der Matrizenmechanik, dann Erwin Schrödinger aus der Wellennatur des Elektrons.

Dieselbe Zahl `n`

Die Stufenzahl n der Balmer-Formel ist dieselbe, die die Schalen der Atome zählt. Die n-te Schale fasst $2 \cdot n^{2}$ Elektronen, zweimal eine Quadratzahl (siehe Schalen der Atome und magische Zahlen). Farben des Lichts und Bau der Atome folgen denselben Quadratzahlen.

Balmer beschäftigte sich sein Leben lang mit Zahlen und Proportionen, auch in der Baukunst, und suchte deshalb ein Verhältnis, wo andere nur Messwerte sahen. Er war damit ein später Pythagoreer, und die Physik des 20. Jahrhunderts hat ihm recht gegeben: Am Anfang des Weges zur Quantenphysik stand auch ein Zahlenverhältnis, gefunden von einem Lehrer, der nach der Harmonie im Licht suchte.

Quellen und Literatur

Quellen

Joseph von Fraunhofer, Bestimmung des Brechungs- und Farbenzerstreuungs-Vermögens verschiedener Glasarten, Denkschriften der Akademie der Wissenschaften zu München 5, 1814 bis 1815
Gustav Kirchhoff und Robert Bunsen, Chemische Analyse durch Spectralbeobachtungen, Annalen der Physik 110, 1860
Johann Jakob Balmer, Notiz über die Spectrallinien des Wasserstoffs, Annalen der Physik 25, 1885
Niels Bohr, On the Constitution of Atoms and Molecules, Philosophical Magazine 26, 1913