Der Goldene Winkel: wie Pflanzen zählen
Sonnenblumenkerne, Kiefernzapfen und Blattstände wachsen um 137,5° versetzt, den Goldenen Winkel. Dabei entstehen Spiralen in Fibonacci-Anzahl, etwa 21, 34 und 55.
Wer die Kerne einer Sonnenblume betrachtet, sieht Spiralen, die sich links und rechts herum winden. Zählt man sie, findet man meistens zwei aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen: 21 und 34, 34 und 55 oder bei großen Blüten 55 und 89. Dasselbe gilt für Kiefernzapfen, Ananas, Artischocken und die Stellung vieler Blätter am Stängel. Die Botanik nennt die Anordnung von Blättern und Blüten Phyllotaxis.
Ein einziger Winkel
Die Erklärung ist erstaunlich einfach. An der Spitze einer wachsenden Pflanze entstehen neue Anlagen, eine nach der anderen, und jede ist gegen die vorige um denselben Winkel versetzt. Dieser Winkel ist meist der Goldene Winkel:
Er teilt den Vollkreis im Goldenen Schnitt. Der Physiker Helmut Vogel zeigte 1979 mit einem einfachen Modell, dass genau dieser Winkel die Fläche am gleichmäßigsten füllt: Der i-te Kern sitzt im Abstand vom Mittelpunkt und um i mal 137,5° gedreht. Der Regler zeigt, wie empfindlich das ist.
Spiralen markieren
Das Modell von Vogel: 600 Kerne, jeder um denselben Winkel gegen den vorigen gedreht. Nur beim Goldenen Winkel füllen sie die Fläche lückenlos. Schon bei 137,0° entstehen Lücken, bei 144° gerade Strahlen. Die Knöpfe markieren die Spiralen, die das Auge sieht.
Weicht der Winkel nur ein halbes Grad ab, reihen sich die Kerne zu Strahlen mit Lücken dazwischen. Ein rationaler Winkel, etwa 144° = 360° × 2/5, erzeugt fünf gerade Arme. Der Goldene Schnitt ist dagegen die Zahl, die sich am schlechtesten durch Brüche annähern lässt (siehe Das Pentagramm und der Goldene Schnitt). Deshalb liegt beim Goldenen Winkel kein Kern je genau über einem früheren, und jeder findet die größte freie Lücke.
Fibonacci und Kepler
Die Zahlenfolge trägt den Namen des Kaufmanns Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, der sie 1202 in seinem Rechenbuch Liber abaci an einer Aufgabe über die Vermehrung von Kaninchen vorführte: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, und jede Zahl ist die Summe der beiden vorigen. Teilt man zwei aufeinanderfolgende Zahlen durcheinander, nähert sich das Ergebnis immer mehr dem Goldenen Schnitt, 89 durch 55 ist schon 1,61818.
Der Erste, der diese Folge mit den Pflanzen verband, war Johannes Kepler. In einer kleinen Schrift über die Schneeflocke, die er 1611 einem Freund zum Neujahr schenkte, bemerkte er, dass das Verhältnis der Zahlen sich dem Goldenen Schnitt nähert, und brachte das mit den fünfzähligen Blüten in Verbindung (siehe Johannes Kepler). Warum gerade Fibonacci-Zahlen als Spiralen erscheinen, zeigt das Modell oben: Die Brüche aus aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen sind die besten Näherungen an den Goldenen Schnitt, und darum liegen die nächsten Nachbarn eines Kerns immer in Abständen, die Fibonacci-Zahlen sind.
Warum die Natur so wächst
Dass Pflanzen nicht rechnen, versteht sich. Die Physiker Stéphane Douady und Yves Couder zeigten 1992 mit einem schönen Experiment, dass der Goldene Winkel von selbst entsteht: Sie ließen magnetisierte Tröpfchen in regelmäßigem Takt in die Mitte einer Schale fallen, wo sie sich gegenseitig abstießen und nach außen wanderten. Jedes neue Tröpfchen setzte sich in die größte Lücke, und die Tröpfchen ordneten sich zu Spiralen mit dem Goldenen Winkel. In der Pflanze übernimmt die Verteilung eines Wachstumsstoffes diese Rolle. Schon Alan Turing, der Pionier der Informatik, hatte sich in seinen letzten Lebensjahren mit Fibonacci-Zahlen in Pflanzen beschäftigt.
Wie oft stimmt das?
Ein schönes Muster verdient eine ehrliche Prüfung. 2012 riefen Forscher in Manchester zu Alan Turings 100. Geburtstag Menschen in Großbritannien und darüber hinaus auf, Sonnenblumen zu ziehen und ihre Spiralen zu zählen. Die Auswertung von 2016 ergab: Etwa drei Viertel der gezählten Spiralen waren tatsächlich Fibonacci-Zahlen, aber etwa jede vierte nicht. Manche folgten einer verwandten Zahlenfolge, andere waren unregelmäßig. Und viele Pflanzen ordnen ihre Blätter ganz anders an, etwa die Minze mit Blattpaaren, die jeweils um 90° gedreht sind.
Das Muster ist also häufig, aber kein Gesetz ohne Ausnahme, und der Mechanismus von Douady und Couder erklärt, warum: Er erzeugt den Goldenen Winkel, wenn die Bedingungen des Wachstums passen, und andere Ordnungen, wenn nicht. Vorsicht ist auch bei anderen Beispielen geboten, die oft genannt werden. Die Spirale des Nautilus etwa folgt nicht dem Goldenen Schnitt, ihre Windungen wachsen in einem deutlich kleineren Verhältnis (siehe Zufall und Muster).
Fünf und Leben
Die Zahlen, die hier erscheinen, sind die Fibonacci-Zahlen, deren Verhältnisse sich dem Goldenen Schnitt nähern, und der Goldene Schnitt ist die Zahl des Pentagramms. Wenn die Hermetik das Pentagramm als Zeichen des Lebens deutete (siehe Die Tetraktys im Überblick), dann kann man im Wachstum der Pflanzen ein Gegenstück dazu sehen: Das Lebendige füllt seinen Raum mit dem Goldenen Winkel, der Zahl des Pentagramms, weil sie die gleichmäßigste Ordnung ohne Wiederholung erzeugt. Das ist ein Bild, keine Begründung, aber ein treffendes.
Quellen und Literatur
Quellen
- Helmut Vogel, A better way to construct the sunflower head, Mathematical Biosciences 44, 1979
- Stéphane Douady und Yves Couder, Phyllotaxis as a physical self-organized growth process, Physical Review Letters 68, 1992
- Leonardo von Pisa, Liber abaci, Pisa 1202
- Johannes Kepler, Strena seu de nive sexangula, Frankfurt 1611
- Jonathan Swinton, Erinma Ochu u. a., Novel Fibonacci and non-Fibonacci structure in the sunflower: results of a citizen science experiment, Royal Society Open Science 3, 2016
Zum Weiterlesen
- Mario Livio, Der Goldene Schnitt, München 2003