Der Goldene Winkel – wie Pflanzen zählen
Sonnenblumenkerne, Kiefernzapfen und Blattstände wachsen um 137,5° versetzt, den Goldenen Winkel. Dabei entstehen Spiralen in Fibonacci-Anzahl, 21, 34, 55.
Wer die Kerne einer Sonnenblume betrachtet, sieht Spiralen, die sich links und rechts herum winden. Zählt man sie, findet man fast immer zwei aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen: 21 und 34, 34 und 55 oder bei großen Blüten 55 und 89. Dasselbe gilt für Kiefernzapfen, Ananas, Artischocken und die Stellung vieler Blätter am Stängel. Die Botanik nennt die Anordnung von Blättern und Blüten Phyllotaxis.
Ein einziger Winkel
Die Erklärung ist erstaunlich einfach. An der Spitze einer wachsenden Pflanze entstehen neue Anlagen, eine nach der anderen, und jede ist gegen die vorige um denselben Winkel versetzt. Dieser Winkel ist meist der Goldene Winkel:
360° / φ² ≈ 137,508°
Er teilt den Vollkreis im Goldenen Schnitt. Der Mathematiker Helmut Vogel zeigte 1979 mit einem einfachen Modell, dass genau dieser Winkel die Fläche am gleichmäßigsten füllt: Der i-te Kern sitzt im Abstand √i vom Mittelpunkt und um i mal 137,5° gedreht. Der Regler zeigt, wie empfindlich das ist.
Spiralen markieren
Das Modell von Vogel: 600 Kerne, jeder um denselben Winkel gegen den vorigen gedreht. Nur beim Goldenen Winkel füllen sie die Fläche lückenlos. Schon bei 137,0° entstehen Lücken, bei 144° gerade Strahlen. Die Knöpfe markieren die Spiralen, die das Auge sieht.
Weicht der Winkel nur ein halbes Grad ab, reihen sich die Kerne zu Strahlen mit Lücken dazwischen. Ein rationaler Winkel, etwa 144° = 360° × 2/5, erzeugt fünf gerade Arme. Der Goldene Schnitt ist dagegen die Zahl, die sich am schlechtesten durch Brüche annähern lässt (siehe Das Pentagramm und der Goldene Schnitt). Deshalb liegt beim Goldenen Winkel kein Kern je genau über einem früheren, und jeder findet die größte freie Lücke.
Warum die Natur so wächst
Dass Pflanzen nicht rechnen, versteht sich. Die Physiker Stéphane Douady und Yves Couder zeigten 1992 mit einem schönen Experiment, dass der Goldene Winkel von selbst entsteht: Sie ließen magnetisierte Tröpfchen in regelmäßigem Takt in die Mitte einer Schale fallen, wo sie sich gegenseitig abstießen und nach außen wanderten. Jedes neue Tröpfchen setzte sich in die größte Lücke, und die Tröpfchen ordneten sich zu Spiralen mit dem Goldenen Winkel. In der Pflanze übernimmt die Verteilung eines Wachstumsstoffes diese Rolle. Schon Alan Turing, der Pionier der Informatik, hatte sich in seinen letzten Lebensjahren mit Fibonacci-Zahlen in Pflanzen beschäftigt.
Fünf und Leben
Die Zahlen, die hier erscheinen, sind die Fibonacci-Zahlen, deren Verhältnisse sich dem Goldenen Schnitt nähern, und der Goldene Schnitt ist die Zahl des Pentagramms. Wenn die Hermetik das Pentagramm als Zeichen des Lebens deutete (siehe Die Tetraktys im Überblick), dann hat diese Deutung im Wachstum der Pflanzen eine ganz handfeste Entsprechung: Das Lebendige füllt seinen Raum mit der Zahl der Fünf, weil sie die gleichmäßigste Ordnung ohne Wiederholung erzeugt.