Schalen der Atome und magische Zahlen
Elektronenschalen fassen 2, 8, 18, 32 Elektronen, zweimal die Quadratzahlen. Die ersten magischen Zahlen der Atomkerne, 2, 8 und 20, sind das Doppelte der Tetraederzahlen 1, 4 und 10.
Dass Materie nach Zahlen geordnet ist, war für die Pythagoreer ein Glaubenssatz. Die Quantenphysik des 20. Jahrhunderts hat ihn auf überraschende Weise bestätigt: Der Aufbau der Atome folgt einfachen Zahlenreihen, und es sind die figurierten Zahlen der Pythagoreer.
Die Schalen der Elektronhülle
Die Elektronen eines Atoms ordnen sich in Schalen. Die erste fasst 2 Elektronen, die zweite 8, die dritte 18, die vierte 32. Das ist 2 · n², zweimal die Quadratzahlen 1, 4, 9, 16. Die Quadratzahl kommt aus der Zahl der möglichen Bahnformen in einer Schale, die Zwei daher, dass jedes Elektron eine von zwei Spinrichtungen hat. Diese Zahlen bestimmen den Bau des Periodensystems: Die Zeilen haben die Längen 2, 8, 8, 18, 18, 32, 32, weil sich die Schalen beim Auffüllen teilweise überholen.
Die magischen Zahlen der Atomkerne
Auch die Protonen und Neutronen im Atomkern ordnen sich in Schalen. Kerne mit 2, 8, 20, 28, 50, 82 oder 126 Protonen oder Neutronen sind besonders stabil. Die Kernphysiker nennen sie magische Zahlen, ein Wort, das die Pythagoreer gefreut hätte. Maria Goeppert-Mayer und Hans Jensen erklärten sie 1949 mit dem Schalenmodell des Kerns und erhielten dafür 1963 den Nobelpreis.
Im einfachsten Modell, dem eines Teilchens in einer räumlichen Mulde, fasst die erste Schale 2 Teilchen, die zweite 6, die dritte 12, die vierte 20. Das ist jeweils das Doppelte einer Dreieckszahl: 2 × 1, 2 × 3, 2 × 6, 2 × 10. Zählt man die Schalen zusammen, erhält man 2, 8, 20, 40, das Doppelte der Tetraederzahlen 1, 4, 10, 20.
Elektronenschalen: 2 · n²
Kernschalen: 2 × Dreieckszahl, aufsummiert
Links: Die Elektronenschalen fassen zweimal eine Quadratzahl. Rechts: Im einfachsten Kernmodell fasst jede Schale zweimal eine Dreieckszahl, und die Summen sind zweimal die Tetraederzahlen. Die dritte magische Zahl, 20, ist das Doppelte der Zehn.
Die ersten drei magischen Zahlen sind also genau 2 × 1, 2 × 4 und 2 × 10. Die Zehn der Tetraktys, als Kugelstapel aus drei Schichten 1 + 3 + 6 gedacht, beschreibt den Aufbau der ersten drei Schalen des Atomkerns, doppelt genommen für die zwei Spinrichtungen.
Das Tetraeder aus 1 + 3 + 6 = 10 Kugeln. Verdoppelt ergibt es die magische Zahl 20 des Atomkerns, die Schichten entsprechen den ersten drei Schalen. Ziehen dreht das Modell.
Ab der vierten Schale weicht die Natur von diesem einfachen Bild ab. Eine zusätzliche Kraft, die Kopplung von Spin und Bahn, verschiebt einzelne Zustände, und statt 40, 70 und 112 werden 28, 50, 82 und 126 magisch. Genau diese Korrektur war die Entdeckung von Goeppert-Mayer und Jensen. Das Grundmuster aber, auf dem sie aufbaut, sind Dreiecks- und Tetraederzahlen.
Was das bedeutet
Die figurierten Zahlen, mit denen die Pythagoreer Steinchen legten (siehe Das Punktedreieck), kehren im Innersten der Materie wieder, als Anzahlen der Zustände, die ein Teilchen im Raum einnehmen kann. Der Grund ist geometrisch: Die Zustände einer Schale lassen sich wie Punkte in einem Dreieck abzählen, die aufeinanderfolgenden Schalen wie Schichten eines Tetraeders. Dass gerade die Zehn dabei die dritte magische Zahl hervorbringt, ist ein schönes Beispiel dafür, wie die alte Figur mit dem Bau der Welt zusammenhängt.