Resonanzen: die Zahlenverhältnisse der Himmelskörper
Io, Europa und Ganymed umkreisen Jupiter im Verhältnis 1 : 2 : 4, die Planeten von TRAPPIST-1 bilden eine Kette aus Quinten und Quarten. Die Sphärenharmonie in der heutigen Astronomie.
Die Pythagoreer glaubten, die Himmelskörper seien nach musikalischen Verhältnissen geordnet (siehe Sphärenharmonie). Kepler suchte diese Ordnung sein Leben lang. Die heutige Astronomie kennt tatsächlich Himmelskörper, deren Umlaufzeiten in einfachen ganzzahligen Verhältnissen stehen. Man nennt das Bahnresonanz.
Die Jupitermonde
Die drei inneren großen Monde des Jupiter brauchen für einen Umlauf 1,77 Tage (Io), 3,55 Tage (Europa) und 7,16 Tage (Ganymed). Das ist fast genau 1 : 2 : 4. Während Ganymed einmal um Jupiter kreist, kreist Europa zweimal und Io viermal. Diese dreifache Resonanz beschrieb Pierre-Simon Laplace im 18. Jahrhundert, sie heißt deshalb Laplace-Resonanz. Sie hat eine bemerkenswerte Folge: Die drei Monde können nie alle gleichzeitig auf einer Seite des Jupiter in einer Linie stehen.
Umlaufbahnen, ihre Abstände schematisch nach dem dritten Keplerschen Gesetz. „Anhören“ spielt jede Bahn als Ton, dessen Höhe der Umlauffrequenz entspricht. Bei den Jupitermonden ergibt das Oktaven.
Die Resonanz ist kein Zufall. Die Monde ziehen sich bei jeder Begegnung gegenseitig ein wenig an, und über lange Zeit blieben ihre Bahnen in diesem stabilen Verhältnis gefangen. Ob sie sich durch Gezeitenkräfte allmählich hineinbewegten oder schon bei ihrer Entstehung hineingerieten, ist unter Astronomen noch umstritten. Hört man die drei Umläufe als Töne, erklingen drei Töne im Abstand von je einer Oktave, die reinste Harmonie, die die Pythagoreer kannten, 1 : 2.
TRAPPIST-1: eine Kette von Intervallen
2017 wurde bekannt, dass um den kleinen Stern TRAPPIST-1, rund 40 Lichtjahre entfernt, sieben erdgroße Planeten kreisen. Ihre Umlaufzeiten bilden eine Kette nahezu ganzzahliger Verhältnisse von Nachbar zu Nachbar:
| Planeten | Umlaufzeiten (Tage) | Verhältnis | musikalisch |
|---|---|---|---|
| b – c | 1,51 : 2,42 | ≈ 8 : 5 | kleine Sexte |
| c – d | 2,42 : 4,05 | ≈ 5 : 3 | große Sexte |
| d – e | 4,05 : 6,10 | ≈ 3 : 2 | Quinte |
| e – f | 6,10 : 9,21 | ≈ 3 : 2 | Quinte |
| f – g | 9,21 : 12,35 | ≈ 4 : 3 | Quarte |
| g – h | 12,35 : 18,77 | ≈ 3 : 2 | Quinte |
Die Astronomen konnten sogar die Umlaufzeit des äußersten Planeten h aus den Resonanzen vorhersagen, bevor sie gemessen wurde. Nach heutiger Vorstellung sind die Planeten bei ihrer Entstehung nach innen gewandert und dabei nacheinander in diese Verhältnisse „eingerastet“.
Neptun, Pluto und die Lücken im Asteroidengürtel
Auch in unserem Sonnensystem gibt es solche Verhältnisse. Pluto umrundet die Sonne zweimal, während Neptun es dreimal tut, 2 : 3, eine Quinte. Deshalb kommen sich die beiden nie nahe, obwohl Pluto der Sonne zeitweise näher kommt als Neptun.
Umgekehrt räumen Resonanzen auch auf. Im Asteroidengürtel zwischen Mars und Jupiter gibt es fast leere Streifen, die Kirkwood-Lücken, benannt nach Daniel Kirkwood, der sie 1866 erklärte. Sie liegen genau dort, wo die Umlaufzeit eines Asteroiden in einem einfachen Verhältnis zu der des Jupiter stünde:
| Lücke | Verhältnis zu Jupiter | Abstand zur Sonne |
|---|---|---|
| 1 | 3 : 1 | 2,50 AE |
| 2 | 5 : 2 | 2,82 AE |
| 3 | 7 : 3 | 2,95 AE |
| 4 | 2 : 1 | 3,27 AE |
Dort wird jeder Asteroid von Jupiter immer wieder im gleichen Takt angestoßen, bis er seine Bahn verlässt. Dasselbe erzeugt die Cassinische Teilung in den Ringen des Saturn, durch eine 2 : 1-Resonanz mit dem Mond Mimas.
Was davon zu halten ist
Die Planeten des Sonnensystems als Ganzes folgen keiner einfachen Tonleiter, und Keplers Versuch, ihre Abstände durch Körper und Intervalle zu erklären, ging nicht auf. Aber ein Teil dessen, worauf die Pythagoreer vertrauten, ist real: Wo Körper lange genug aufeinander wirken, spielen einfache Zahlenverhältnisse eine besondere Rolle, darunter 1 : 2, 2 : 3 und 3 : 4, die Verhältnisse der Tetraktys (siehe Zahl und Klang). Dass sie dabei ebenso ordnen wie zerstören können, zeigen die Kirkwood-Lücken. Man kann darin ein spätes Echo der Sphärenharmonie hören, aber es ist ein Bild, kein Beweis.
Quellen und Literatur
Quellen
- Pierre-Simon Laplace, Traité de mécanique céleste, Bd. 4, Paris 1805 (die Resonanz der Jupitermonde)
- Daniel Kirkwood, On the theory of meteors, Proceedings of the American Association for the Advancement of Science 15, 1866
- Michaël Gillon u. a., Seven temperate terrestrial planets around the nearby ultracool dwarf star TRAPPIST-1, Nature 542, 2017
- Rodrigo Luger u. a., A seven-planet resonant chain in TRAPPIST-1, Nature Astronomy 1, 2017