Zahl und Klang
Oktave, Quinte und Quarte stecken in den ersten vier Zahlen. Das Lambdoma macht alle Verhältnisse auf einmal sichtbar und hörbar.
Der Überlieferung nach entdeckte Pythagoras an einer gespannten Saite, dass wohlklingende Intervalle einfachen Zahlenverhältnissen entsprechen. Teilt man die Saite in der Mitte, klingt die Hälfte eine Oktave höher als die ganze. Greift man sie bei zwei Dritteln, erklingt die Quinte, bei drei Vierteln die Quarte.
| Verhältnis | Intervall | Beispiel vom Ton C |
|---|---|---|
| 1 : 2 | Oktave | C → c |
| 2 : 3 | Quinte | C → G |
| 3 : 4 | Quarte | C → F |
Alle drei Verhältnisse kommen mit den Zahlen eins bis vier aus, also mit genau den Zahlen der Tetraktys. Für die Pythagoreer war das ein starkes Argument, dass die Welt nach Zahlen geordnet ist: Dieselbe Figur, die den Raum beschreibt, beschreibt auch die Harmonie der Töne.
Die Schmiede, geprüft
Die bekannteste Fassung der Entdeckung erzählt Nikomachos von Gerasa. Pythagoras sei an einer Schmiede vorbeigegangen und habe gehört, dass die Hämmer zusammen wohlklingende Intervalle ergaben. Er habe sie gewogen, und ihre Gewichte hätten sich wie 12, 9, 8 und 6 verhalten. Diese Geschichte wurde zweitausend Jahre lang nacherzählt, auch auf dem Holzschnitt oben.
Sie stimmt aber nicht. Die Tonhöhe eines Hammers hängt nicht einfach von seinem Gewicht ab. Und wer Gewichte an Saiten hängt, erlebt eine Überraschung, die Vincenzo Galilei, der Vater Galileos, 1589 beschrieb: Für die Oktave braucht man nicht das doppelte, sondern das vierfache Gewicht, denn die Spannung geht ins Quadrat. Die einfachen Verhältnisse gelten für die Länge der Saite, nicht für alles, was klingt. An dieser Korrektur sieht man, wie aus der pythagoreischen Freude an der Zahl Physik wurde: Die Zahlen stimmen, aber man muss nachmessen, wofür (siehe Das Monochord).
Warum gerade diese Verhältnisse
Erklärungen dafür, warum gerade einfache Verhältnisse angenehm klingen, versuchten schon Galilei, Rameau und Euler. Die bis heute einflussreichste fand man im 19. Jahrhundert. Eine schwingende Saite erklingt nicht nur in ihrem Grundton, sondern zugleich in Obertönen mit der doppelten, dreifachen und vierfachen Frequenz und so fort. Hermann von Helmholtz zeigte 1863: Zwei Töne im Verhältnis 1 : 2 oder 2 : 3 haben viele gemeinsame Obertöne, und die übrigen liegen weit genug auseinander, um nicht rau zu klingen. Bei verwickelten Verhältnissen reiben sich die Obertöne aneinander. Die ersten vier Teiltöne einer idealen Saite, der Grundton und die drei ersten Obertöne, stehen genau im Verhältnis 1 : 2 : 3 : 4, die Tetraktys steckt also in der Physik des Klangs selbst (siehe Alles ist Frequenz).
Wie viel davon Natur ist und wie viel Gewohnheit, wird bis heute erforscht. Eine Studie fand 2016 bei den Tsimane im Regenwald Boliviens, die kaum westliche Musik kannten, dass sie Konsonanzen nicht angenehmer fanden als Dissonanzen. Die Verhältnisse sind physikalisch, das Gefallen daran ist wohl auch gelernt.
Das Lambdoma
Im zwanzigsten Jahrhundert griff der Musiktheoretiker Hans Kayser diese Idee in seiner Harmonik auf. Ihr zentrales Werkzeug ist das Lambdoma, eine Tabelle, in der jede Zeile einen Nenner und jede Spalte einen Zähler hat. Jedes Feld enthält das Verhältnis Zähler zu Nenner, und jedes Verhältnis ist zugleich ein Ton.
Jedes Feld spielt den Ton 220 Hz × Zähler/Nenner. Farbig markiert sind Oktave (blau), Quinte (rot) und Quarte (türkis), hervorgehoben die Diagonale, auf der alle Verhältnisse 1 ergeben. Grau sind Brüche, die sich kürzen lassen.
Im Lambdoma fallen einige Muster sofort auf:
- Die Diagonale von links oben nach rechts unten enthält lauter Einsen: 1/1, 2/2, 3/3 … Sie klingen alle gleich.
- Gleiche Töne liegen auf Geraden, die durch die linke obere Ecke laufen. 1/2, 2/4 und 3/6 ergeben denselben Ton.
- Zeilen und Spalten spiegeln sich. Eine Zeile enthält die Obertöne über einem Grundton, eine Spalte die Untertöne darunter.
Der Name kommt vom griechischen Buchstaben Lambda (Λ): Schreibt man die Zahlen 1, 2, 4, 8 auf den einen Schenkel und 1, 3, 9, 27 auf den anderen, entsteht diese Form. Die Zahlen stehen schon in Platons Timaios, die Lambda-Figur zeichneten spätere Kommentatoren, und zur vollen Tabelle erweiterte sie im 19. Jahrhundert Albert von Thimus.
Zeilen und Spalten des Lambdoma sind wie die beiden Achsen eines Koordinatensystems angeordnet. Wie eng es mit Teilbarkeit und Primzahlen verbunden ist, wird in der Rubrik Zahlentheorie weiter verfolgt.
Quellen und Literatur
Quellen
- Platon, Timaios 35b bis 36b
- Nikomachos von Gerasa, Handbuch der Harmonik 6 (die Schmiede)
- Boethius, De institutione musica I 10 und 11
- Albert von Thimus, Die harmonikale Symbolik des Alterthums, 2 Bde., Köln 1868 und 1876
- Vincenzo Galilei, Discorso intorno all’opere di messer Gioseffo Zarlino, Florenz 1589
- Hermann von Helmholtz, Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik, Braunschweig 1863
- Josh H. McDermott u. a., Indifference to dissonance in native Amazonians reveals cultural variation in music perception, Nature 535, 2016
Zum Weiterlesen
- Hans Kayser, Lehrbuch der Harmonik, Zürich 1950