Zahlentheorie + Geometrie = Philosophie

Das Motto der Seite. Die Verbindung von analytischem Denken in Zahlen mit anschaulichem Denken in Formen führt zu Fragen, die über beide hinausgehen.

Zahlentheorie + Geometrie = Philosophie. So lautet das Motto dieser Seite. Gemeint ist die Zusammenführung zweier Denkweisen: der logisch-analytischen, die in Zahlen und Mengen denkt, und der bildhaft-intuitiven, die in Formen denkt. Aus beiden zusammen soll ein ganzheitliches, tieferes Verständnis entstehen. Es geht um die Kunst, vernetzt zu denken.

Ausdrücklich keine Unterhaltung: Es geht weder um „Entertainment“ noch um „Edutainment“. Wer selbstständig denkt und nach Urwahrheiten sucht, sollte hier Material finden, als Anstoß zum Hinterfragen, Weiterdenken und Weiterentwickeln.

Heilige Mathematik

Für die Philosophen der Antike waren Mathematik und Geometrie ein Weg, das Auge der Seele zum Göttlichen zu erheben. Platon preist die Geometrie als Erkenntnis des immer Seienden, nicht dessen, was in der Zeit entsteht und vergeht. Ihr eigentlicher Nutzen, schreibt er in der Politeia, sei schwer zu glauben:

dass nämlich durch diese Kenntnisse ein Organ der Seele eines jeden gereinigt und wieder angefacht wird, welches unter anderen Beschäftigungen verloren geht und erblindet, da doch an seiner Erhaltung mehr gelegen ist als an tausend Augen, denn durch dieses allein wird die Wahrheit gesehen. Platon, Politeia 527d–e, nach der Übersetzung von Friedrich Schleiermacher

Nur so ist auch der Spruch zu verstehen, der über dem Eingang von Platons Akademie gestanden haben soll: „Kein der Geometrie Unkundiger trete ein.“ Überliefert ist er allerdings erst bei Kommentatoren des 6. Jahrhunderts, rund 900 Jahre nach Platon. Das Studium dieser heiligen Mathematik führte über die Betrachtung vollkommener Figuren und Zahlenverhältnisse in die Tiefe des eigenen Seins.

Johannes Kepler ging noch weiter. Gott habe dem Menschen den Geist nicht nur gegeben, damit er seinen Lebensunterhalt verdient, das könnten viele Tiere geschickter, sondern damit er vom Sichtbaren zu den Ursachen des Seins und Werdens vordringe, auch wenn das keinen Nutzen bringt. Und die Geometrie, so Kepler in der Harmonice Mundi von 1619, sei vor der Erschaffung der Dinge da gewesen, ewig wie der Geist Gottes selbst, und habe ihm die Urbilder für die Erschaffung der Welt geliefert. Kepler ließ sich mit einem Zirkel in der Hand porträtieren.

Was sind Zahlen?

Am Anfang stehen Fragen:

Existieren Zahlen unabhängig von uns, oder erst im Denken?
Liegt die Ordnung in den Zahlen, oder in der Art, wie unser Geist sie erfasst?
Folgen die Zahlen einer Regel, die über ihnen steht, oder sind sie selbst die Regel?
Ist diese Regel das Werk eines Geistes?
Und welche Verbindung besteht zwischen Zahl, Raum und Zeit?

Zahlen erscheinen uns als etwas Fließendes, Flüchtiges, ohne Substanz, als würde erst unser Geist sie ordnen. Zeichnet man sie aber als symmetrische Figuren, erweist sich ihre Ordnung als fest und unverrückbar. Diese Ordnung ist hier mit Tetraktys gemeint.

Sinn und Unsinn der Zahlenmystik

Bevor man solche Fragen stellt, muss man klären, was mit „Zahlen“ gemeint ist. Zahlzeichen sind erdachte Symbole für Mengen, und sie hängen von einem Stellenwertsystem ab, bei uns vom Zehnersystem. Das ist eine frei gewählte Ordnung, die das Rechnen erleichtert und große Zahlen erst handhabbar macht. Wer das Wesen der Zahl erforschen will, muss die Zeichen wieder auf den Naturzustand zurückführen: auf Mengen von Punkten, auf den Punkt als Einheit, die Linie, das Vieleck, den Körper, die Sprünge der Dimension, die auch die Tetraktys zeigt. Nur aus der Geometrie erklärt sich die „Zahlenmystik“ der Pythagoreer, Platoniker und Kabbalisten.

Der heilige Gral der Zahlentheorie sind die Primzahlen. Dreizehn Punkte sind eine prime Menge, ganz gleich, mit welchem Zeichen man sie schreibt. In einem anderen Zählsystem sieht die 13 anders aus, die Menge aber bleibt prim. Darum kann sich das Wesen der Primzahlen nur in der Geometrie zeigen, und genau das haben Zahlenmystiker ohne Geometriekenntnis nicht verstanden. Über die Fragen oben kann man erst nachdenken, wenn man die Geometrie hinter den Zeichen kennt.

Warum Geometrie

Es gibt gute Gründe, die Zahlentheorie mit den Augen der Geometrie zu betrachten, genauer: mit der Geometrie von Kreisen und Kugeln, der vollkommenen Symmetrie, einschließlich aller eingezeichneten symmetrischen Strukturen, der Sternpolygone in der Ebene und der Kristallgitter im Raum. Einige dieser Geometrien geben das Teilungsverhalten der natürlichen Zahlen eins zu eins wieder. In ihnen findet man ordnende Strukturen, die offene Fragen der Zahlentheorie beantworten können.

Der große Vorteil: Eine Figur kennt kein Zählsystem. Sie ist nicht an die Zehnerschreibweise gebunden, die unser Denken über Zahlen unbemerkt prägt. Wer im Kopf in einem anderen Zahlensystem multiplizieren soll, merkt, wie tief das Zehnersystem in uns verankert ist. Die Geometrie der Simplexe zählt in keinem System, und doch, so die überraschende Beobachtung, „zählt sie mit zehn Fingern“: Die Zehn und ihre Vielfachen tauchen in ihr als Wendepunkte auf.

Wer hat sich das ausgedacht?

Menschen, die zum ersten Mal mit diesen Zusammenhängen in Berührung kommen, fragen oft: Wer hat sich das alles ausgedacht? Genau das ist der Punkt. Es handelt sich um zeitlose Gesetzmäßigkeiten, die man nur erkennen kann. Um sie zu erkennen, muss man sich aber intensiv mit ihnen beschäftigen, und daran scheitert es meist. Denn wer kann auf die Schnelle überblicken, dass sich genaueres Hinsehen lohnt? Nur wer ohnehin eine Ahnung hat.

Der Physiker Hans-Peter Dürr unterschied zwischen Verfügungswissen und Orientierungswissen. Hier geht es um Orientierungswissen. Nicht um die Frage, welchen Nutzen etwas bringt, sondern um Fragen wie:

Was ist die Welt?
Wie bin ich in sie eingebettet?
Was ist Ursache, was ist Wirkung?
Worin liegt der Sinn und die Bestimmung des Menschen?

Es wird immer nur eine kleine Gruppe von Menschen geben, die sich für diese Fragen interessiert. Ihnen gilt: Willkommen zum Abenteuer Tetraktys, willkommen zum Abenteuer Leben.

Symmetrie und Asymmetrie

Eine philosophische Deutung der Tetraktys könnte etwa so beginnen. Symmetrie bedeutet in Physik und Biologie schlicht Gleichgewicht. Ohne sie gäbe es keine sichere Kinderstube für irgendeine Entwicklung. Aber auch das Chaos ist unverzichtbar: Ohne Asymmetrie keine Veränderung, und kleine Fehler im System, die Mutationen, treiben die Entwicklung zum Höheren an.

Dasselbe Paar findet sich im Zahlenstrahl der Figuren. Die Kombinatorik von 1, 2, 3 und 4 schafft eine klar gegliederte Grundordnung bis ins Unendliche, gleichsam den einen Urgott. Die folgenden Primzahlen, beginnend mit der 5, setzen ihre Spuren jeweils in einem regelmäßigen, aber eigenen Takt. Indem sich diese verschiedenen Takte, die Teiler jeder Menge, überlagern, entsteht ein schöpferisches Chaos, das doch vom Rahmen aus 1, 2, 3 und 4 bestimmt bleibt, von der strengen Ordnung der 3 und der 4, von Halbkreis und Vollkreis. Das schöpferisch Männliche und das erhaltende Weibliche, Symmetrie und Asymmetrie ergänzen einander.

Einige Gedanken, die noch ausgearbeitet werden wollen: Die Symmetrieachsen gehören stets zu durch drei teilbaren Mengen. Die Drei ist das ausgleichende Prinzip zwischen gegensätzlichen Kräften und entspricht gewissermaßen dem Nullpunkt, dem Punkt der Koordination. Kreisumfang und Durchmesser, Drehbewegung (die Menge) und Bewegung zur Mitte (der Teiler), im weitesten Sinn Ursache und Wirkung, aktiv und passiv, tauschen beim „Nulldurchgang“, beim Quotienten 1, ihre Rollen und kehren sich ins Gegenteil (siehe Das Lambdoma).

Was wussten die Alten?

Ein großes Thema ist das Lambdoma, ein Koordinatensystem, dessen beide Achsen die Zahlen bis ins Unendliche tragen und das, gegeneinander gestellt, eine „unregelmäßige Regelmäßigkeit“ erzeugt (siehe Das Lambdoma). Zahlentheoretisch und geometrisch entspricht es dem Lambdoma der Harmonik, und es ist die Schnittstelle zwischen dem Bauplan der Zahlen und der erfahrbaren Welt. Diese strengen Entsprechungen von Zahl und Symmetrie geben einen festen Halt, ein philosophisches Fundament.

Ein zweiter Gedanke mag spekulativ sein, aber es wäre schade, ihn zu verschweigen: In den Zusammenhängen von Zahl und Figur spiegelt sich die westliche Lehre von Schöpfung und Sündenfall erstaunlich genau. Die Schöpfung in sechs Tagen entspricht dem Sechsertakt der Primzahlen, der Sündenfall der Unordnung, die gleich nach der 24 beginnt, nach dem Thron Gottes mit seinen 24 Ältesten (siehe Der Thron Gottes und die Zahl 24). Auch Hexagramm und Pentagramm stehen an den Stellen, die ihrer hermetischen Bedeutung entsprechen. Besonders das Pentagramm, 5 : 2 = 2,5, und das doppelte Pentagramm, 10 : 4 = 2,5, in der Unordnung der Primzahlen und ihre kabbalistische Entsprechung zur Materie werfen die Frage auf: Was wussten die Alten wirklich?

Diese philosophische Seite der Zahlen stand für Pythagoras über allen Naturwissenschaften. Die folgenden Kapitel gehen den Fragen nach, die man sich neu stellen muss, wenn man das System der Tetraktys erkannt hat.