Das Tonnetz: Eulers Dreiecksgitter der Klänge
Quinten nach rechts, Terzen schräg nach oben: Leonhard Euler ordnete die Töne in einem Gitter, dessen Dreiecke die Dur- und Moll-Akkorde sind. Es ist dasselbe Dreiecksgitter, aus dem die Tetraktys gelegt ist.
Die Tetraktys enthält mit den Zahlen 1, 2, 3 und 4 die drei Grundintervalle der Pythagoreer: die Oktave 1 : 2, die Quinte 2 : 3 und die Quarte 3 : 4 (siehe Zahl und Klang). Was ihr fehlt, ist die Terz. Die reine große Terz hat das Verhältnis 4 : 5, die kleine Terz 5 : 6, und dafür braucht es die Fünf und die Sechs.
Von der Vier zur Sechs
Die frühe Mehrstimmigkeit des Mittelalters lebte von Quinten und Quarten. Terzen galten ab dem 13. Jahrhundert als unvollkommene Konsonanzen und setzten sich im späten Mittelalter als Wohlklänge durch. Der venezianische Musiktheoretiker Gioseffo Zarlino zog 1558 in Le istitutioni harmoniche die Folgerung: Er erweiterte die Tetraktys um zwei Zahlen zum Senario, den Zahlen 1 bis 6. Aus ihnen lassen sich fast alle Konsonanzen bilden, nur die kleine Sexte 8 : 5 musste Zarlino eigens begründen, und der Dur-Dreiklang ist nichts anderes als 4 : 5 : 6.
Eulers Gitter
Leonhard Euler ordnete 1739 in seiner Musiktheorie Tentamen novae theoriae musicae die Töne nach zwei Richtungen: in der einen Richtung Quinten, in der anderen große Terzen. So entsteht ein Netz, in dem jeder Ton seine reinen Nachbarn hat. Im 19. Jahrhundert griffen Arthur von Oettingen und Hugo Riemann das Netz wieder auf, und unter dem Namen Tonnetz wurde es bekannt. Die heute übliche Dreiecksform geht auf Ottokar Hostinský (1879) zurück.
Nach rechts geht es jeweils eine Quinte weiter, schräg nach rechts oben eine große Terz, schräg nach links oben eine kleine Terz abwärts. Jedes Dreieck aus drei benachbarten Tönen ist ein Dreiklang. Die aufrechten Dreiecke sind Dur-Akkorde im Verhältnis 4 : 5 : 6, die umgekehrten Moll-Akkorde im Verhältnis 10 : 12 : 15.
Eulers Tonnetz in reiner Stimmung. Ein Dreieck antippen spielt seinen Dreiklang, ein Kreis spielt den einzelnen Ton. Helle Dreiecke sind Dur, bläuliche Moll.
Nachbarn teilen zwei Töne
Zwei Dreiecke, die eine Kante gemeinsam haben, teilen zwei Töne. C-Dur (C, E, G) grenzt an a-Moll (A, C, E), an e-Moll (E, G, H) und an c-Moll (C, Es, G). Um von einem Akkord zum Nachbarn zu kommen, bewegt sich nur eine einzige Stimme, und das um einen kleinen Schritt. Diese Nachbarschaften erklären viel von dem, was Komponisten von Schubert und Wagner bis zur Filmmusik tun, und die heutige Musiktheorie beschreibt damit ganze Akkordfolgen als Wege durch das Netz.
Das Komma im Netz
Im Tonnetz steht das E zweimal: einmal vier Quinten über dem C, einmal eine große Terz darüber. In reiner Stimmung sind das nicht dieselben Töne. Vier Quinten ergeben 81 : 64, die reine Terz 80 : 64. Der Unterschied, 81 : 80, heißt syntonisches Komma. Im Panel kann man beide E nacheinander anhören.
Darum ist das reine Tonnetz unendlich. Es schließt sich nie, jeder Schritt führt zu einem neuen Ton. Erst die gleichstufige Stimmung, die die Kommata auf alle Intervalle verteilt, biegt das Netz zu einem Ring und schließlich zu einem Torus mit nur zwölf Tönen zusammen. Die Reinheit der Zahlenverhältnisse wird dabei gegen die Freiheit getauscht, in jeder Tonart zu spielen.
Die Tetraktys im Tonnetz
Das Tonnetz ist ein Dreiecksgitter, genau das Gitter, aus dem die Pythagoreer ihre Tetraktys legten (siehe Das Punktedreieck). Legt man die zehn Punkte der Tetraktys auf das Netz, umfasst sie zehn Töne, sechs Dur-Dreiklänge und drei Moll-Dreiklänge. Beginnt man unten links beim C, stehen in der untersten Reihe die vier Töne einer Quintenkette, C, G, D und A, darüber drei, dann zwei und oben einer.
Wo die Tetraktys die Zahlen 1 bis 4 und damit die Quinten enthält, entfaltet das Tonnetz den Raum, der mit der Fünf hinzukommt. Die alten Verhältnisse bleiben die eine Achse, die neue Zahl öffnet die zweite. So wird aus der Reihe eine Fläche, wie aus der Linie in der Tetraktys das Dreieck wird.
Quellen und Literatur
Quellen
- Gioseffo Zarlino, Le istitutioni harmoniche, Venedig 1558
- Leonhard Euler, Tentamen novae theoriae musicae, St. Petersburg 1739
- Arthur von Oettingen, Harmoniesystem in dualer Entwickelung, Dorpat 1866
- Hugo Riemann, Ideen zu einer „Lehre von den Tonvorstellungen“, Jahrbuch der Musikbibliothek Peters 21/22, 1914/15