Das Punktedreieck – nur 1 + 2 + 3 + 4 = 10?
Warum gerade die Zehn? Drei Beobachtungen, bei denen genau an dieser Stelle eine Zahlenreihe die andere einholt.
Die Dreieckszahlen 1, 3, 6, 10, 15 … sind der einzige rein zahlentheoretische Anhaltspunkt für die Tetraktys, und die Zehn ist die vierte von ihnen. Aber was macht sie so besonders? Warum haben die Pythagoreer die Vier und die Zehn geradezu verehrt? Aus einer Laune, aus religiöser Überzeugung, oder irrten sie einfach? Das wäre seltsam, denn Pythagoras hat sehr handfeste Mathematik in die Welt gebracht.
Oft wird die Zehn der Tetraktys mit unseren zehn Fingern und dem Dezimalsystem erklärt. Diese Seite vertritt eine andere These: Die Zehn ist keine menschliche Festlegung. Sie ergibt sich aus der Folge der natürlichen Zahlen und der Geometrie, die zu ihnen gehört. Drei Beispiele zeigen, was damit gemeint ist. In allen dreien passiert bei der Zehn dasselbe: Zwei Zahlenreihen, die bis dahin auseinanderliegen, treffen sich, und danach geht die „Schere“ in die andere Richtung auf.
Beispiel 1: Das Punktedreieck selbst
Legt man die Punktedreiecke der Reihe nach nebeneinander (1, 3, 6, 10, 15 …) und zählt jeweils alle Punkte der vorhergehenden Dreiecke zusammen, so bleibt diese Summe zunächst kleiner als das nächste Dreieck. Bei der Zehn ist sie genau gleich groß: 1 + 3 + 6 = 10. Ab dann ist die Summe immer größer.
| n | T(n) | Summe davor | |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | > | 0 |
| 2 | 3 | > | 1 |
| 3 | 6 | > | 4 |
| 4 | 10 | = | 10 |
| 5 | 15 | < | 20 |
| 6 | 21 | < | 35 |
| 7 | 28 | < | 56 |
| 8 | 36 | < | 84 |
Oben: Im 6er-Dreieck kommen zu drei Punkten drei neue hinzu, ein erster Gleichstand. Unten: Die Punkte aller Dreiecke vor dem 10er-Dreieck ergeben zusammen wieder zehn. Die Tabelle setzt die Reihe fort.
Das lässt sich auch als Formel schreiben. Die n-te Dreieckszahl ist T(n) = n(n + 1) / 2. Die Summe aller Dreiecke davor ist die Tetraederzahl
Te(n − 1) = (n − 1) · n · (n + 1) / 6
Teilt man beide durcheinander, kürzt sich fast alles weg:
Te(n − 1) : T(n) = (n − 1) : 3
Das Verhältnis wächst also gleichmäßig mit n. Es ist kleiner als 1, solange n kleiner als 4 ist, genau 1 bei n = 4, also bei der vierten Dreieckszahl, der Zehn, und danach immer größer. Die Formel zeigt, dass der Gleichstand kein Zufall einer kleinen Zahl ist, sondern an genau dieser einen Stelle liegen muss.
Zählt man die Dreieckszahl selbst mit in die Summe, verschiebt sich das Bild: Dann steht der Sechs die Summe zehn gegenüber und der Zehn die Summe zwanzig, genau das Doppelte. Auch das gilt für keine andere Dreieckszahl. Das Verhältnis von Sechs und Zehn wird auf dieser Seite noch oft auftauchen. Man kann einwenden, das sei nur eine Sichtweise. Bemerkenswert wird es erst dadurch, dass dieselbe Stelle in ganz anderen Geometrien wieder auftaucht. Das Punktedreieck gehört zum Sechseckgitter der Kristallographie, und dieselben Gesetze zeigen sich im Raum, bei Kugelpackungen und ihren Kristallgittern.
Legt man gleich große Kreise so dicht wie möglich, entsteht das Sechseckgitter: sechs Kreise um jeden Kreis. Jedes Punktedreieck ist ein Ausschnitt daraus. Mit dem Regler wächst das Dreieck Reihe um Reihe.
Die Summen in der rechten Spalte sind die Tetraederzahlen. Dass Dreiecks- und Tetraederzahl bei der Zehn zusammenfallen, lässt sich auch räumlich sehen: Ein Tetraeder aus drei Kugelschichten (1 + 3 + 6) enthält zehn Kugeln, genauso viele wie die unterste Schicht des nächsten Tetraeders. Mehr dazu unter Vom Punkt zum Körper.
Links drei Kugelschichten zu 1, 3 und 6, zusammen ein Tetraeder aus zehn Kugeln. Rechts die Schicht, die als nächste darunter käme: ebenfalls zehn Kugeln.
Beispiel 2: Die Winkelsummen der Simplexe
Die Simplexe kann man einen anderen Aggregatzustand der Zahlen nennen, besonders wenn man sie in einem Koordinatensystem auffächert und die einzelnen Sternpolygone untersucht. Mit ihnen lässt sich wirklich aus dem Dezimalsystem heraustreten, in dem wir rechnen, denken und leben. Kaum jemand kann im Kopf in einem anderen Zahlensystem multiplizieren. Wer nur mit Ziffern rechnet und die zugehörige Geometrie außer Acht lässt, sieht den Wald vor lauter Bäumen nicht. Das Dezimalsystem, so heißt es, verdanken wir unseren zehn Fingern. Das mag stimmen. Aber zählt auch die Geometrie der Simplexe mit zehn Fingern? Die erstaunliche Antwort: ja, und zwar mit zwei Händen zu je fünf Fingern, dem Pentagramm und dem doppelten Pentagramm (siehe Der Schlüssel zur Tetraktys). Dass die Simplexe zugleich die Ordnung der Primzahlen sichtbar machen, verknüpft die Zahlentheorie unmittelbar mit der Symmetrie von Kreisen und Kugeln.
Zeichnet man in ein n-Eck alle möglichen Sternpolygone ein, erhält man den Simplex. So sieht er beim Zehneck aus:
Der Simplex des Zehnecks: jeder der zehn Punkte mit jedem verbunden. Die Knöpfe blenden die einzelnen Figuren ein und aus.
Zerlegt man ihn in seine Figuren, hat jede ihre eigene Winkelsumme. Das Zehneck selbst hat vier Vollkreise, die zwei Fünfecke zusammen drei, der Stern aus jedem dritten Punkt zwei, die zwei Pentagramme einen, und die Linien durch die Mitte haben keine Fläche und keinen Winkel:
Die Figuren des Zehnecks mit ihrer Winkelsumme in Vollkreisen. Mit dem Regler lassen sich andere Vielecke vergleichen: Nur beim Zehneck ist die Summe gleich der Eckenzahl.
Addiert man die Innenwinkel aller dieser Figuren und rechnet in ganzen Kreisen (360°), so hat das Viereck genau einen Vollkreis. Kleinere Simplexe haben weniger Vollkreise als Ecken, größere mehr. Nur beim Zehneck sind es genau zehn Vollkreise.
| n | Figuren | Vollkreise je Figur | Summe |
|---|---|---|---|
| 3 | 1 | 0,5 | 0,5 |
| 4 | 1 | 1 | 1 |
| 5 | 2 | 1,5 + 0,5 | 2 |
| 6 | 2 | 2 + 1 | 3 |
| 7 | 3 | 2,5 + 1,5 + 0,5 | 4,5 |
| 8 | 3 | 3 + 2 + 1 | 6 |
| 9 | 4 | 3,5 + 2,5 + 1,5 + 0,5 | 8 |
| 10 | 4 | 4 + 3 + 2 + 1 | 10 |
| 11 | 5 | 4,5 + 3,5 + 2,5 + 1,5 + 0,5 | 12,5 |
| 12 | 5 | 5 + 4 + 3 + 2 + 1 | 15 |
Rote Linie: Summe der Vollkreise aller Figuren im Simplex. Gestrichelt: die Eckenzahl. Die Linien kreuzen sich beim Zehneck.
Die Summe der Vollkreise wächst dabei selbst in Dreieckszahlen: Beim Zehneck ist sie 4 + 3 + 2 + 1 = 10, also wieder die Tetraktys. Ausführlich unter Winkelsummen und Vollkreise.
Beispiel 3: Die fraktalen Vielecke
Das Sierpinski-Dreieck kennt jeder, der sich mit Fraktalen beschäftigt hat. Für die Zahlentheorie ist es besonders wichtig, denn es steckt im Pascalschen Dreieck. Kaum bekannt sind dagegen Vielecke als Fraktale, die sich direkt daraus ableiten. Zwei Bedingungen gelten: Es entstehen so viele neue Vielecke, wie die Figur Ecken hat, und ihre Seiten halbieren sich mit jeder Stufe. Hier genügt die erste Stufe, denn schon in ihr zeigt sich alles Wesentliche: ob sich die Teile überlappen und wie viele Vierecke dabei entstehen. Weitere Stufen legen immer mehr Überschneidungen übereinander, bis man die Struktur kaum noch erkennt. Wer sie trotzdem sehen will, findet einen Regler dafür auf der Seite Die Tetraktys in den fraktalen Vielecken. Die Grafik hier zeigt also keine Folge von Stufen, sondern wie sich die erste Stufe verändert, wenn die Zahl der Ecken wächst.
Das Sierpinski-Dreieck entsteht, indem man ein Dreieck durch drei halb so große Dreiecke an seinen Ecken ersetzt. Dasselbe Verfahren lässt sich auf jedes n-Eck übertragen: An jede Ecke kommt eine halb so große Kopie. Beim Viereck füllen die vier Kopien das Quadrat lückenlos aus, denn Quadrate lassen sich lückenlos aneinanderlegen. Das Viereck mit seinen rechten Winkeln ist das letzte Fraktal ohne Überschneidungen. Ab dem Fünfeck überlappen sich die Kopien zwangsläufig und gruppieren sich um einen Mittelpunkt, und in den Überschneidungen entstehen kleine Vierecke. Bei gefüllten Flächen erkennt man dann keine Struktur mehr, es sei denn, man füllt abwechselnd oder zeichnet nur die Umrisse.
Die erste Stufe des Sierpinski-Verfahrens für n-Ecke. Abwechselnde Füllung macht die Überschneidungen sichtbar. Beim Zehneck ordnen sich die Vierecke eines Teil-Zehnecks von außen nach innen in Reihen zu 1, 2, 3 und 4.
Insgesamt entstehen beim Zehneck 40 Vierecke. Jedes der zehn Teil-Zehnecke enthält genau zehn davon, erzeugt durch die Überschneidung mit sechs seiner Nachbarn. Kleinere gerade Vielecke enthalten weniger, größere mehr, und wieder ordnen sie sich in den Reihen der Tetraktys. Mehr dazu unter Fraktale Vielecke.
Was dahintersteckt
Allen drei Beispielen liegt die Folge der Dreieckszahlen zugrunde, die das Punktedreieck unmittelbar zeigt. Die These lautet: Pythagoras hatte an den zehn Zählsteinen nicht bloß eine hübsche Summe entdeckt. Er hatte etwas vor Augen, das in Geometrie und Zahlentheorie immer wieder an derselben Stelle auftaucht. Zwei weitere Beobachtungen führen in die Zahlentheorie:
Die Sechs ist eigentlich die erste Stelle, an der die Schere aufgeht: Im Sechserdreieck kommen zu drei Punkten drei neue hinzu. Genau das lässt sich mit Zählsteinen legen, und so könnte Pythagoras es seinen Schülern gezeigt haben:
3 + 3 = 6
1 + 3 + 6 = 10
Links: Zu drei Steinen kommen drei neue, das Sechserdreieck. Rechts: Die Dreiecke aus 1, 3 und 6 Steinen haben zusammen so viele Steine wie das Zehnerdreieck. Mit dem Knopf werden die Steine neu gelegt.
Aber was steckt dahinter? Hatten die Pythagoreer nur eine kindliche Freude an Dreiecks- und Quadratzahlen? Oder hatten sie mit dem Zehn-Punkte-Dreieck etwas wirklich Bedeutendes entdeckt, etwas, das sie so tief beeindruckte, dass es religiöse Gefühle weckte? Ist das schlichte Punktedreieck vielleicht der heilige Gral der Primzahlfrage, den sie Tetraktys nannten? Eine bloße Vermutung ist das nicht. Genau genommen ist das Sieb des Eratosthenes eine Folge regelmäßiger, sich überlagernder Punkteraster im Lambdoma. Es geht also nicht nur um figurierte Zahlen, sondern um figurierte Brüche in einem Koordinatensystem, in dem sich auch die Simplexe auffächern lassen (siehe Das Lambdoma und Das Sieb des Eratosthenes).
- Die Drei erzeugt, als Punkteraster gedacht, den Sechsertakt, in dem sich die Primzahlzwillinge ordnen. Geometrisch entspricht ihr der Schritt vom Dreieck zum Sechsstern, religionsphilosophisch die Schöpfung in sechs Tagen. Siehe Die Ordnung der Primzahlen.
- Die Fünf bricht diese Ordnung ab 25 = 5 × 5 wieder auf. Geometrisch entspricht ihr das Pentagramm, rechnerisch 5 : 2 = 2,5. Religionsphilosophisch entspricht ihr der Sündenfall, der Sturz in die Materie. Siehe Die Unordnung der Primzahlen.