Die Bienenwabe – warum Sechsecke
Nur Dreiecke, Quadrate und Sechsecke füllen die Ebene lückenlos, und das Sechseck braucht dabei am wenigsten Wand. Vermutet seit der Antike, bewiesen 1999.
Bienen bauen ihre Waben aus Wachs, und Wachs ist teuer. Für ein Gramm Wachs verbrauchen sie ein Vielfaches an Honig. Eine Wabe sollte also mit möglichst wenig Wand möglichst viel Raum für Honig und Brut schaffen. Die Bienen lösen diese Aufgabe mit dem Sechseck.
Eine alte Vermutung
Schon der Römer Marcus Terentius Varro schrieb im 1. Jahrhundert v. Chr., die Geometer könnten zeigen, dass das Sechseck den meisten Raum fasst. Im 4. Jahrhundert widmete Pappos von Alexandria der „Weisheit der Bienen“ eine eigene Betrachtung: Nur drei regelmäßige Vielecke füllen die Ebene ohne Lücken, das Dreieck, das Quadrat und das Sechseck (siehe Kreis, Dreieck und Quadrat). Von diesen dreien fasst das Sechseck bei gleichem Umfang die größte Fläche, und die Bienen, so Pappos, hätten das gewusst.
Drei Pflasterungen mit gleicher Zellfläche. Die Anzeige nennt die Wandlänge pro Zelle, jede Wand halb gezählt, weil zwei Zellen sie teilen. Sechsecke brauchen knapp 7 Prozent weniger Wand als Quadrate und gut 18 Prozent weniger als Dreiecke.
Pappos verglich nur die regelmäßigen Vielecke. Ob es nicht eine ganz andere Aufteilung gibt, mit krummen Wänden oder ungleichen Zellen, die noch sparsamer ist, blieb offen. Diese Wabenvermutung bewies erst Thomas Hales 1999: Jede Aufteilung der Ebene in gleich große Zellen braucht mindestens so viel Wand wie das regelmäßige Sechseckgitter. Derselbe Hales hatte kurz zuvor auch Keplers Vermutung über die dichteste Kugelpackung bewiesen (siehe Kusszahlen, Kugelpackungen und die Zahl 24).
Aus Kreisen werden Sechsecke
Legt man Kreise so dicht wie möglich, sitzt jeder in einem Ring aus sechs Nachbarn. Sie füllen dann gut 90 Prozent der Fläche. Wachsen die Kreise weiter, stoßen sie aneinander und platten sich zu geraden Wänden ab. Am Ende stehen Sechsecke, die die Fläche vollständig füllen. Dasselbe sieht man bei Seifenschaum zwischen zwei Glasplatten und bei gedrängten Zellen in lebendem Gewebe.
Kreise in dichtester Packung wachsen, bis sie sich zu Sechsecken abplatten. Der Regler zeigt, wie der gefüllte Anteil von 90,7 Prozent auf 100 Prozent steigt.
Wie die Bienen ihre Sechsecke formen, ist unter Forschern umstritten. Eine Vermutung sagt, sie bauen runde Röhren, und das warme Wachs fließt an den Berührungsstellen von selbst zu geraden Wänden. Andere Beobachtungen zeigen, dass die Bienen die Wände gezielt ausformen. Sicher ist, dass das Ergebnis die sparsamste Form ist, die die Geometrie erlaubt.
Der Boden der Zelle
Eine Wabe hat zwei Schichten von Zellen, Rücken an Rücken. Den Boden jeder Zelle bilden drei gleiche Rauten, die in einer Spitze zusammenlaufen. Der Astronom Giacomo Maraldi maß 1712 ihre Winkel: etwa 109½ und 70½ Grad. Das sind genau die Winkel des Rhombendodekaeders, des Körpers, der den Raum lückenlos füllt und die Zellen des kubisch flächenzentrierten Gitters bildet (siehe Die lückenlose Raumfüllung). Schon Johannes Kepler hatte 1611 in seiner Schrift über die sechseckige Schneeflocke die Bienenzelle mit diesem Körper verglichen.
Der ungarische Mathematiker László Fejes Tóth zeigte 1964, dass es einen noch sparsameren Zellboden gäbe. Die Ersparnis liegt aber unter einem Prozent, und für eine Wand aus Wachs, die eine gewisse Dicke haben muss, spielt sie keine Rolle.
Was das bedeutet
Sechs ist die erste vollkommene Zahl, 1 + 2 + 3, und die dritte Dreieckszahl. Das Sechseck besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken, und sechs Kreise schließen sich lückenlos um einen siebten, wie in der Blume des Lebens. Das Sechseck ist damit die Form, in der sich das Dreieck der Tetraktys in der Fläche fortsetzt. Dass gerade diese Form die sparsamste Teilung der Ebene ist, hat die Natur gefunden, lange bevor die Mathematik es beweisen konnte.