Kosmos

Viren und Fullerene: platonische Körper in der Natur

Viele Viren bauen ihre Hülle als Ikosaeder, und das Kohlenstoffmolekül C60 ist ein Fußball aus 12 Fünfecken und 20 Sechsecken. Benannt ist es nach Buckminster Fuller.

Die platonischen Körper galten lange als Gedankengebilde. Die Natur benutzt sie aber tatsächlich, vor allem das Ikosaeder, den Körper aus zwanzig Dreiecken, dem Platon das Wasser zuordnete.

Die Hüllen der Viren

Ein Virus muss sein Erbgut in eine Hülle packen, und es hat dafür nur wenig eigenes Erbgut zur Verfügung. Die sparsamste Lösung ist, viele gleiche Eiweißbausteine zu einer symmetrischen Hülle zusammenzusetzen. Die symmetrischste geschlossene Form, die sich so bauen lässt, ist das Ikosaeder. Viele Viren, etwa die Erreger von Herpes, Polio und Schnupfen, haben eine solche ikosaedrische Hülle.

Donald Caspar und Aaron Klug beschrieben 1962 das Bauprinzip: Die Hülle besteht aus Gruppen zu fünf und zu sechs Bausteinen. Es sind immer genau zwölf Fünfergruppen, an den zwölf Ecken des Ikosaeders, und dazwischen eine von der Größe abhängige Zahl von Sechsergruppen, nämlich 10 × (T − 1). Die möglichen Größen folgen der Formel $T = h^2 + hk + k^2$, also 1, 3, 4, 7, 9, 12, 13 … Klug erhielt 1982 den Nobelpreis für Chemie.

Das Fußballmolekül

1985 entdeckten Harold Kroto, Robert Curl und Richard Smalley ein Molekül aus genau 60 Kohlenstoffatomen, C60. Die Atome sitzen an den Ecken eines abgestumpften Ikosaeders, der Form des klassischen Fußballs: zwölf Fünfecke und zwanzig Sechsecke. Die drei erhielten dafür 1996 den Nobelpreis für Chemie. Getauft haben sie das Molekül Buckminsterfulleren, nach Buckminster Fuller, dessen geodätische Kuppeln nach demselben Prinzip gebaut sind (siehe Die lückenlose Raumfüllung).

C60mit Ikosaeder

Ziehen zum Drehen

Das Fußballmolekül C60: 60 Atome, 90 Bindungen, 12 Fünfecke (rot) und 20 Sechsecke. Es entsteht, wenn man die zwölf Ecken eines Ikosaeders abschneidet.

Immer zwölf Fünfecke

Viren und Fullerene haben etwas gemeinsam: Wie groß sie auch sind, sie brauchen immer genau zwölf Fünfecke. Das folgt aus der Formel von Euler, nach der für jeden konvexen Körper Ecken − Kanten + Flächen = 2 gilt. Setzt man eine Hülle aus Fünfecken und Sechsecken zusammen, an deren Ecken je drei Flächen zusammenstoßen, ergibt die Rechnung zwingend zwölf Fünfecke, die Zahl der Sechsecke dagegen ist frei. Sechsecke allein ergeben eine flache Fläche, wie eine Bienenwabe oder eine Lage Graphit. Erst die zwölf Fünfecke krümmen sie zur Kugel.

Die Rechnung ist kurz genug, um sie hier zu zeigen. Eine Hülle habe $F$ Fünfecke und $S$ Sechsecke, und an jeder Ecke stoßen drei Flächen zusammen. Jede Kante gehört zu zwei Flächen, jede Ecke zu drei. Also gibt es $(5F+6S)/2$ Kanten und $(5F+6S)/3$ Ecken. Setzt man das in Eulers Formel ein und multipliziert mit 6, fallen die Sechsecke heraus:

$$2(5F+6S) - 3(5F+6S) + 6(F+S) = 12 \quad\Longrightarrow\quad F = 12$$

Wie viele Sechsecke es sind, sagt die Formel nicht, wohl aber, dass es immer genau zwölf Fünfecke sein müssen.

Das passt zu einem Bild, das auf dieser Website öfter begegnet: Mit Sechsecken füllt man die Ebene, das Unbegrenzte. Die Fünf bricht diese Ordnung, und gerade dadurch schließt sie die Form zu einem Körper, dem Begrenzten (siehe Die antiken Quellen). Zwölf Fünfecke hat auch das Dodekaeder, der Körper, den Platon dem Weltganzen gab.

Nicht alles ist Ikosaeder

Die Natur nimmt aber nicht immer den platonischen Körper. Das Tabakmosaikvirus, das erste Virus, das man überhaupt entdeckte, ist ein langer Stab, in dem die Bausteine schraubenförmig um das Erbgut gewunden sind. Auch beim Coronavirus liegt das Erbgut in einer schraubenförmigen Hülle, die wiederum in einer weichen Fetthülle steckt. Die Form folgt der Aufgabe, und das Ikosaeder ist die beste Lösung nur für eine bestimmte: mit wenig Bauplan eine geschlossene Kapsel zu bauen.

Und das Fußballmolekül gibt es nicht nur im Labor. 2010 fand man mit dem Weltraumteleskop Spitzer C60 in der Gaswolke um einen sterbenden Stern, Tausende Lichtjahre entfernt. Die Figur aus zwölf Fünfecken und zwanzig Sechsecken entsteht also auch dort, wo kein Mensch sie baut.

Quellen und Literatur

Quellen

• Donald L. D. Caspar und Aaron Klug, Physical principles in the construction of regular viruses, Cold Spring Harbor Symposia on Quantitative Biology 27, 1962
• Harold W. Kroto u. a., C60: Buckminsterfullerene, Nature 318, 1985
• Ernst Haeckel, Kunstformen der Natur, Leipzig 1899 bis 1904
• Jan Cami u. a., Detection of C60 and C70 in a Young Planetary Nebula, Science 329, 2010