Kugelpackungen in 8 und 24 Dimensionen
Wie dicht lassen sich Kugeln packen? In drei Dimensionen bewies es Hales 1998, in acht und 24 Dimensionen Maryna Viazovska 2016. Dort liegen das E8-Gitter und das Leech-Gitter, und die Zahl 24.
Wie dicht lassen sich gleich große Kugeln packen? In der Ebene sind es sechs Kreise um einen, im Raum die Keplersche Packung mit zwölf Kugeln um eine (siehe Kusszahlen und die 24). Dass nichts dichter geht, vermutete Kepler 1611, und bewiesen hat es erst Thomas Hales 1998, mit Hilfe des Computers (siehe Vom Punkt zum Körper).
Die Frage lässt sich für jede Anzahl von Dimensionen stellen, und sie ist dabei keine Spielerei: Die Packung von Kugeln in hohen Dimensionen ist genau das Problem, fehlerfeste Codes zu finden, mit denen Daten über gestörte Leitungen übertragen werden. Überraschend ist, wie wenig man weiß. Außer in den Dimensionen 1, 2 und 3 ist die dichteste Packung nur in zwei Dimensionen bewiesen: in 8 und in 24.
Dichte der besten bekannten Kugelpackung je Dimension, logarithmisch. Gefüllte Punkte sind als dichteste bewiesen. In 8 Dimensionen füllen die Kugeln noch ein Viertel des Raumes, in 24 Dimensionen nur noch knapp zwei Tausendstel, und doch ist gerade dort die Packung vollkommen.
Viazovskas Beweis
Im März 2016 veröffentlichte die ukrainische Mathematikerin Maryna Viazovska einen Beweis von gut zwanzig Seiten, dass das E8-Gitter die dichteste Packung im achtdimensionalen Raum ist. Eine Woche später bewies sie mit Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen Miller und Danylo Radchenko dasselbe für das Leech-Gitter in 24 Dimensionen. Der Schlüssel war eine „magische Funktion“ aus der Welt der Modulformen, derselben Mathematik, die auch hinter tiefen Aussagen über Primzahlen steht. 2022 erhielt Viazovska dafür die Fields-Medaille, als zweite Frau überhaupt.
In diesen beiden Dimensionen sitzen die Kugeln ungewöhnlich eng: Im E8-Gitter berührt jede Kugel 240 Nachbarn, im Leech-Gitter 196 560. Beide Zahlen sind die größtmöglichen, die sogenannten Kusszahlen dieser Dimensionen.
E8
Die 240 Nachbarn einer Kugel im E8-Gitter sind zugleich das Wurzelsystem der Lie-Gruppe E8, der größten der „Ausnahmegruppen“ der Mathematik. In die richtige Ebene projiziert, ordnen sie sich in acht Ringe zu je 30 Punkten (siehe Quantenphysik, Magie und Unbewusstes).
Die 240 Wurzeln von E8, in die Ebene projiziert: acht Ringe zu je 30 Punkten. Jeder Punkt steht für eine der 240 Nachbarkugeln im E8-Gitter.
2010 zeigte ein Experiment, dass E8 nicht nur in der Mathematik lebt. Eine Gruppe um Radu Coldea kühlte Kristalle aus Kobaltniobat fast auf den absoluten Nullpunkt und setzte sie einem starken Magnetfeld aus. Die Magnetketten im Kristall zeigten Anregungen mit bestimmten Energien, und die ersten beiden standen im Verhältnis 1,618, dem Goldenen Schnitt. Genau das hatte der Physiker Alexander Zamolodchikov 1989 aus der Symmetrie E8 vorhergesagt. Der Goldene Schnitt, die Zahl des Pentagramms, taucht hier als Verhältnis zweier gemessener Energien in einem Festkörper auf.
Die 24
Das Leech-Gitter steht mitten in einem Netz erstaunlicher Zusammenhänge. Es führt zur größten der „sporadischen“ Symmetriegruppen, dem sogenannten Monster, und über die „Monstrous Moonshine“ genannte Verbindung zu den Modulformen, für die Richard Borcherds 1998 die Fields-Medaille erhielt. Auch in der Stringtheorie spielt die 24 eine Rolle: Die einfachste, die bosonische Stringtheorie, braucht 26 Dimensionen, 24 davon quer zur Bewegung des Strings.
Dass gerade die 24 die Dimension ist, in der Kugeln eine vollkommene Ordnung finden, fügt sich in das, was diese Seite über die Zahl 24 sammelt: 1 × 2 × 3 × 4 = 24, die Grenze der vollständigen Primzahlzwillinge und die Kusszahl in vier Dimensionen (siehe Die Zahl 24). Und die 8 ist die Zahl der Würfelecken, deren Raumwinkel zusammen genau eine volle Kugel ergeben (siehe Die platonischen Körper).