Einführung

Die antiken Quellen

Was die Texte der Antike über die Tetraktys berichten, von Philolaos bis Lukian, und wie sicher diese Überlieferung ist.

Von Pythagoras selbst ist keine Zeile erhalten. Alles, was wir über die Tetraktys wissen, stammt aus späteren Texten, die meisten davon Jahrhunderte jünger. Das heißt nicht, dass sie wertlos sind, aber man muss bei jeder Quelle fragen, wer sie wann geschrieben hat.

Philolaos

Der älteste Pythagoreer, von dem Textbruchstücke überliefert sind, ist Philolaos von Kroton, der im fünften Jahrhundert vor Christus lebte. Er gilt als der erste und zugleich letzte „echte“ Pythagoreer, der die Lehre aufschrieb, und wird zu den jüngeren Pythagoreern gezählt, ein Zeitgenosse des Sokrates. Als seine Schüler werden Archytas von Tarent, Eurytos und Demokrit genannt. Nach Diogenes Laertius soll Platon von ihm pythagoreische Schriften gekauft und in seinen Timaios übernommen haben. In einem Fragment (in der Standardausgabe von Diels und Kranz als 44 B 11 gezählt) preist er die Kraft der Zehnzahl: Sie sei groß und vollkommen, bewirke alles und sei der Anfang und Führer des göttlichen wie des menschlichen Lebens. Ohne sie bleibe alles unbegrenzt, unklar und verborgen.

Die übrigen Bruchstücke, die unter seinem Namen überliefert sind, umkreisen dieselben Gedanken. Sinngemäß zusammengefasst:

• Begrenzendes und Unbegrenztes. Die Welt und alles in ihr ist aus begrenzenden und unbegrenzten Bestandteilen zusammengefügt. Wäre alles unbegrenzt, gäbe es nichts, was man erkennen könnte.
• Erkennen heißt Zählen. Alles Erkennbare hat Zahl. Ohne Zahl lässt sich nichts denken oder begreifen.
• Gerades, Ungerades und ihre Mischung. Die Zahl hat zwei eigene Formen, das Ungerade und das Gerade, und eine dritte, die aus beiden gemischt ist, das „Gerad-Ungerade“. Wie diese Dreiteilung im Sechsertakt der Primzahlen wiederkehrt, zeigt Die Ordnung der Primzahlen.
• Harmonie. Weil die Grundprinzipien ungleich und nicht verwandt sind, braucht es eine Harmonie, die sie verbindet. Philolaos beschreibt sie als Tonleiter: Die Oktave (1 : 2) umfasst Quarte (3 : 4) und Quinte (2 : 3), und die Quinte ist um einen Ganzton (8 : 9) größer als die Quarte. Er rechnet es an den Saiten der Leier vor: von der Hypate bis zur Mese eine Quarte, von der Mese bis zur Nete eine Quinte, zwischen Trite und Mese ein Ganzton. So besteht die Oktave aus fünf Ganztönen und zwei Halbtönen, die Quinte aus drei Ganztönen und einem Halbton, die Quarte aus zwei Ganztönen und einem Halbton. Harmonie ist für ihn die Einigung des vielfach Gemischten und der Zusammenklang des verschieden Gesinnten.
• Das Eine in der Mitte. Das zuerst Zusammengefügte, das Eine in der Mitte der Weltkugel, nennt er den Herd, Hestia. Das Eine ist der Anfang aller Dinge.
• Von Natur, nicht durch Satzung. Die Ordnung der Zahlen ist nicht von Menschen gemacht.
• Die Zahl macht erkennbar. Die Natur der Zahl gibt Erkenntnis, führt und lehrt jeden in allem, was ihm zweifelhaft oder unbekannt ist. Ohne sie wäre nichts klar, weder für sich noch im Verhältnis zueinander. In der Seele bringt sie alle Dinge mit der Wahrnehmung in Einklang und gibt ihnen gleichsam einen Körper. Ihre Kraft wirkt nicht nur im Göttlichen, sondern in allen Werken und Worten der Menschen, in jedem Handwerk und in der Musik.
• Vier Prinzipien des Lebewesens. Gehirn, Herz, Nabel und Geschlechtsorgan. Das Gehirn ist der Sitz des Verstandes und das Prinzip des Menschen, das Herz der Sitz von Seele und Empfindung und das Prinzip des Tieres, der Nabel das Prinzip des Wurzelns und Wachsens und damit der Pflanze, das Geschlecht das Prinzip der Zeugung und allen gemeinsam, denn alles wächst aus Samen.
• Der Körper als Gefängnis. Nach alten Sehern ist die Seele zur Strafe an den Körper gebunden und in ihm wie in einem Grab bestattet. Gott hält alles wie in einem Gewahrsam, und die Menschen sind ein Teil seines Besitzes. Darum haben wir manche Vorstellungen und Leidenschaften nicht in der Hand. Es gibt, wie Pythagoras gesagt haben soll, Gedanken, die stärker sind als wir.
• Die Zahl täuscht nicht. Täuschung und Neid gehören zum Unbegrenzten und Vernunftlosen. In die Natur der Zahl und der Harmonie dringen sie nicht ein.
• Fünf Körper. Die Weltkugel enthält Feuer, Wasser, Erde und Luft, und als fünften den, der die Kugel umschließt.

Die maßgebliche Sammlung dieser Texte ist Die Fragmente der Vorsokratiker von Hermann Diels, später von Walther Kranz bearbeitet. Philolaos wird dort unter der Nummer 44 geführt.

Ob das Fragment über die Zehnzahl wirklich von Philolaos stammt, ist in der Forschung umstritten. Einige halten es für eine spätere Zuschreibung. Es zeigt aber in jedem Fall, welchen Rang die Zehn im pythagoreischen Denken hatte.

Speusippos

Speusippos, Sohn von Platons Schwester Potone und nach Platon Leiter der Akademie, stellte aus den pythagoreischen Lehren, vor allem aus den Schriften des Philolaos, ein Büchlein Über die pythagoreischen Zahlen zusammen. Es ist verloren. Einen Auszug überliefert der Neuplatoniker Iamblichos in seiner Theologie der Arithmetik, und aus ihm geht der Aufbau hervor:

• Die erste Hälfte behandelt die Zahlen, die sich auf Linien beziehen, die auf Vielecke und Flächen und die auf Körper.
• Dann folgen die fünf Körper, die den Elementen des Kosmos zugeordnet werden, mit ihren Eigenheiten und ihren Beziehungen zueinander.
• Die zweite Hälfte ist ganz der Zehn gewidmet. Speusippos erklärt sie zur natürlichsten und vollkommensten aller Zahlen, zum Urbild, das dem weltgestaltenden Gott als Vorbild vor Augen steht, und zwar aus ihr selbst heraus, nicht aufgrund menschlicher Meinung.

Sinngemäß begründet er das so: Mit Recht stoßen Griechen und alle Völker beim Zählen ganz von selbst auf die Zehn. Sie muss eine gerade Zahl sein, damit ungerade und gerade Zahlen in ihr gleich stark vertreten sind, denn die ungerade kommt stets zuerst. Und sie muss erste, unzusammengesetzte und zweite, zusammengesetzte Zahlen in gleicher Anzahl enthalten. Das trifft auf die Zehn zu und auf keine kleinere Zahl. Größere Zahlen haben die Eigenschaft auch, doch ihre Grundlage ist die Zehn, die sie als erste und kleinste besitzt. Hinzu kommen die geometrischen Gründe:

• In den Zahlen eins bis vier stecken Punkt, Linie, Fläche und Körper.
• Die Zehn enthält gleich viele Primzahlen (2, 3, 5, 7) wie zusammengesetzte Zahlen (4, 6, 8, 9), wenn man die Eins und die Zehn als Rahmen betrachtet.
• Das Tetraeder, der einfachste Körper, lässt sich über seine Ecken, Kanten und Flächen mit der Zehn in Verbindung bringen.

Speusippos zeigt, dass die Tetraktys schon in der Antike nicht nur als heiliges Symbol, sondern als geometrisches Argument verstanden wurde. Wo sein Büchlein geblieben ist, weiß niemand. Eine Auswahl der Fragmente in deutscher Übersetzung bietet Wilhelm Capelles Die Vorsokratiker (Kröner).

Eine geometrische Lesart

Manche Autoren haben versucht, Speusippos’ Lob der Zehn nachzuvollziehen, und es am Ende als sonderbaren Irrglauben abgetan. Mit der Geometrie der Simplexe ergibt es aber einen klaren Sinn. Im Zehneck gibt es vier Arten von Figuren (siehe Der Schlüssel zur Tetraktys):

Teiler	Figur	Art
1	Zehneck	Polygon
2	zwei Fünfecke	Polygon mehrfach
3	Stern in einem Zug	Sternpolygon
4	zwei Pentagramme	Sternpolygon mehrfach

Die ersten, unzusammengesetzten Figuren gehören zu den ungeraden Teilern 1 und 3, die zweiten, zusammengesetzten zu den geraden Teilern 2 und 4, also aus zwei Teilfiguren gebaut. Beide sind in gleicher Anzahl vertreten, und die Zehn ist die erste Zahl, bei der das mit allen vier Arten gelingt. Dass dabei gerade zwei Pentagramme den Zehnstern bilden, ist kein Zufall: Das Pentagramm war das Erkennungszeichen der Pythagoreer und stand für Gesundheit, und nach Lukian galt auch die Vierheit, die die Zehn hervorbringt, als Urgrund der Gesundheit.

In dieser Sicht hat die Tetraktys zunächst gar nichts mit Mystik zu tun. Die Mystik, die man ihr nachsagt, entsteht erst aus Unkenntnis. Die Pythagoreer entwickelten ihre Philosophie aus der Klarheit einfachster arithmetisch-geometrischer Zusammenhänge. Sie waren, so gesehen, nicht Glaubende, sondern Wissende.

Der Eid

Mehrere spätere Autoren überliefern einen Schwur der Pythagoreer. Sie schworen nicht bei den Göttern, sondern bei dem, der ihnen die Tetraktys überliefert habe, also bei Pythagoras. Die Tetraktys selbst nennen sie darin die Quelle und Wurzel der ewig fließenden Natur. Der Wortlaut findet sich in den sogenannten Goldenen Versen und bei Sextus Empiricus, beide aus der Zeit lange nach Pythagoras.

Lukian

Eine anschauliche, wenn auch spöttische Szene erzählt der Satiriker Lukian im zweiten Jahrhundert nach Christus. Pythagoras lässt jemanden zählen. Als dieser bei vier angekommen ist, unterbricht ihn Pythagoras: Was er für vier halte, sei in Wahrheit zehn, ein vollkommenes Dreieck und der Eid der Pythagoreer. Die Pointe funktioniert nur, wenn man die Tetraktys vor Augen hat: Wer bis vier zählt, hat die Zeilen der Figur schon beisammen.

Aristoteles

Die nüchternste Quelle ist Aristoteles. In seiner Metaphysik berichtet er, die Pythagoreer hätten die Zehn für so vollkommen gehalten, dass sie auch die Himmelskörper auf zehn bringen wollten. Weil man nur neun sah (Erde, Mond, Sonne, fünf Planeten und die Fixsternsphäre), erfanden sie eine unsichtbare Gegenerde. Aristoteles erzählt das kritisch, als Beispiel dafür, wie eine Zahl die Beobachtung überstimmen kann.

Begrenzendes und Unbegrenztes: eine Deutung

Philolaos’ Grundgedanke, die Welt sei aus Begrenzendem und Unbegrenztem gefügt, lässt sich geometrisch lesen, und zwar als Gegensatz von Raum und Leben, von Makrokosmos und Mikrokosmos.

• Das Unbegrenzte. Nur wenige regelmäßige Vielecke füllen Ebene und Raum lückenlos: Dreieck, Quadrat und das aus Dreiecken gebaute Sechseck (siehe Kreis, Dreieck und Quadrat). Die Zahlen 1 × 2 × 3 legen den Sechsertakt der Primzahlzwillinge fest, dessen Figur das Hexagramm ist. Und 1, 2 und 3, Ecke, Kante und Fläche, ergeben zusammen den Raum für Körper, die Vier. Nur ein Raum aus Dreiecken und Quadraten hat die Eigenschaft, dass von jedem Eckpunkt aus gerade Linien ungehindert ins Unendliche führen. Das kubisch flächenzentrierte Gitter besteht genau aus solchen Flächen, abwechselnd aufrechten und gestürzten Dreiecken, und jeder Knoten ist mit dem ganzen unbegrenzten Gitter verbunden. Der Sechsstern steht so für die Verbindung von Energie und unbegrenztem Raum, für den Makrokosmos.
• Das Begrenzende. Die Fünf ist die erste Primzahl nach der Drei und das Fünfeck das erste Vieleck, das sich nicht lückenlos legen lässt. Albrecht Dürer und Johannes Kepler haben versucht, Fünfecke zu Flächen zu fügen. Ihre Zeichnungen zeigen: Symmetrien um einen Mittelpunkt sind möglich, eine unbegrenzte lückenlose Fläche nicht. Auch im Raum gibt es fünfzählige Symmetrie nur um einen Mittelpunkt, beim Dodekaeder, beim Ikosaeder und ihren Sternkörpern. Der Fünfstern steht deshalb für das flüchtige Werden und Vergehen, für Zeit und Materie, für den Mikrokosmos.

Daraus lassen sich Bilder für das menschliche Leben ableiten. Der menschliche Geist ist auf sich selbst bezogen, er will sich verwirklichen und nutzt seine Umwelt für eigene Ziele: begrenzt und vergänglich wie das Fünfeck. Der „göttliche Funke“ der Seele dagegen fühlt sich mit allen anderen zu einer Einheit verbunden, wie der unbegrenzt gefüllte Raum aus Würfeln und Sechsecken. Die Seele ist bei Gott, sofern sie sich mit dem Makrokosmos verbindet. Diese Sicht stimmt mit vielen Religionsphilosophien überein. Die christlichen Gründerväter der Freimaurerei übernahmen dieselben platonischen Bilder: den kubischen Stein als Sinnbild menschlicher Vollkommenheit und einer harmonischen Gemeinschaft, und Winkelmaß und Zirkel, Werkzeuge für Quadrat und Dreieck (siehe Freimaurerei).