Tetraktys Teil 2: die „Unordnung“ der Primzahlen
Ab 25 besetzen die Vielfachen von 5, 7, 9, 11 … die Zwillingsplätze. Ihre Raster beginnen je 10 weiter und wachsen in Schritten von 4, 10 : 4 = 2,5 wie das Pentagramm.
Bis zur 24 ist die Ordnung der Primzahlzwillinge vollständig: Jeder Platz ist mit einer Primzahl besetzt. Mit 25 ändert sich das. Die 25 liegt auf einem Zwillingsplatz, ist aber ohne Rest durch 5 teilbar. Hier beginnt die scheinbar unregelmäßige Verteilung, die den Mathematikern so viel Kopfzerbrechen bereitet.
Zwei Denkwege
Die übliche Sicht sucht die Ordnung in den Primzahlen selbst, schließlich sind sie die Bausteine aller anderen Zahlen. Mit dem Computer und großen Zahlenmengen findet man dann eine „unregelmäßige Regelmäßigkeit“. Ein anderer Weg ist die Riemannsche Zetafunktion. Nach der Riemannschen Vermutung liegen alle ihre nichttrivialen Nullstellen auf einer Geraden mit dem Realteil ½, und von diesen Nullstellen hängt die Verteilung der Primzahlen ab. Hat die 2, als Kehrwert von ½, vielleicht eine entscheidende Bedeutung für das Verständnis der Primzahlen?
Raster im Abstand von zehn
Ab 25 werden die Zwillingsplätze von den ungeraden Vielfachen der Zahlen 5, 7, 9, 11 … besetzt. Jede dieser Reihen hat ihren eigenen Abstand, und die Reihen sind auffällig geordnet:
- Die Reihe der 5 beginnt bei 25 und läuft in 10er-Schritten.
- Die Reihe der 7 beginnt bei 35 und läuft in 14er-Schritten.
- Die Reihe der 9 beginnt bei 45 und läuft in 18er-Schritten.
- Die Reihe der 11 beginnt bei 55 und läuft in 22er-Schritten.
Die Startwerte liegen je 10 auseinander, die Schrittweiten wachsen jeweils um 4. Und jedes Mal ist Start durch Schrittweite gleich 2,5: 25 : 10, 35 : 14, 45 : 18, 55 : 22.
| Teiler | Start | Schritt | getroffene Zahlen bis 169 |
|---|---|---|---|
| 5 | 25 = 5 × 5 | 10 | 2535455565758595105115125135145155165 |
| 7 | 35 = 5 × 7 | 14 | 3549637791105119133147161 |
| 9 | 45 = 5 × 9 | 18 | 45638199117135153 |
| 11 | 55 = 5 × 11 | 22 | 557799121143165 |
| 13 | 65 = 5 × 13 | 26 | 6591117143169 |
| 15 | 75 = 5 × 15 | 30 | 75105135165 |
| 17 | 85 = 5 × 17 | 34 | 85119153 |
Die Raster der ungeraden Vielfachen ab 25. Rot: Treffer auf einem Zwillingsplatz, dort fällt eine Primzahl aus. Türkis: durch drei teilbare Zahlen, die zwischen den Zwillingen liegen.
Jedes dritte Raster trifft auf durch drei teilbare Zahlen statt auf Zwillingsplätze (die Reihe der 9, der 15 …), und auch innerhalb jedes Rasters ist jede dritte Zahl durch drei teilbar. Um die Ordnung zu verstehen, muss man also die ungeraden, durch drei teilbaren Zahlen außerhalb der Zwillingsplätze mit einbeziehen. Das System besteht damit nur aus ungeraden Zahlen, und was übrig bleibt, ist die lückenlose Folge der Primzahlen.
Die Verteilung bleibt unregelmäßig. Aber es gibt eine strenge Ordnung, die den Primzahlen ihre Plätze zuweist. Die Vierer-Schritte in der einen und die Zehner-Schritte in der anderen Richtung erinnern an 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Die Viererschritte entstehen, weil das System nur aus ungeraden Zahlen besteht: Gerade und ungerade Zahlen erzeugen im Koordinatensystem von Zahl und Teiler einen Verdopplungseffekt, zwei Schritte in jeder Richtung. Dieselbe Ordnung zeigen auch die Sternpolygone der Simplexe, wenn man sie im Lambdoma auffächert. Und 2,5, zwei und ein Halbes, ergibt mal vier genau zehn. Interessanter sind die Zehnerschritte: Nach dieser Deutung liegt der Primzahlverteilung eine Dezimalcodierung zugrunde.
Die Fünf und die 2,5
Nimmt man alle Vielfachen der 5 und teilt sie durch die geraden Zahlen, ergibt sich immer dasselbe:
Man muss fragen, ob der Fünf, im Zusammenspiel mit der Zwei, grundsätzlich eine Schlüsselrolle bei Brüchen zukommt, unabhängig vom Dezimalsystem. Denn 2,5 ist auch die Kernaussage zweier Startfiguren: Das Pentagramm ist 5 : 2, jeder zweite Punkt eines Fünfecks. Das doppelte Pentagramm ist 10 : 4.
Pentagramm (5 : 2) und doppeltes Pentagramm (10 : 4) haben denselben Quotienten 2,5, und 2,5 × 10 = 25, wo die Unordnung beginnt.
Warum die Fünf keine Primzahlen aussiebt
Eine scheinbar ketzerische Frage drängt sich auf. Warum siebt das Raster, das bei 5 beginnt und alle ungeraden Zahlen durchläuft, nicht auch Primzahlen aus? Täte es das, gäbe es außer 1, 2 und 3 keine Primzahlen. Die Antwort liegt im ersten Glied der Folge: Das Raster der Fünf läuft über 5 × 1, 5 × 3, 5 × 5 …, der Faktor wächst in 2er-Schritten. Sein erstes Glied ist 5 × 1, die Fünf selbst, und der Faktor 1 ist kein echter Teiler. Erst die folgenden Glieder sind echte Vielfache und damit keine Primzahlen.
Und hier zeigt sich ein Hinweis auf die Zetafunktion. Schreibt man ½ als 0,5, ergibt sich:
| Bruch | × 10 | Start |
|---|---|---|
| 1 : 2 = 0,5 | 5 | 5 × 1 |
| 3 : 2 = 1,5 | 15 | 5 × 3 |
| 5 : 2 = 2,5 | 25 | 5 × 5 |
| 7 : 2 = 3,5 | 35 | 5 × 7 |
| 9 : 2 = 4,5 | 45 | 5 × 9 |
Diese Website hält die Dezimalcodierung nicht für die Täuschung eines Geistes, der im Dezimalsystem denkt. Unabhängig vom Zählsystem ist jedenfalls das Verhältnis 5 : 2, das in der Geometrie der Simplexe steckt. Die Schreibweisen 0,5 und 25 gehören dagegen zum Zehnersystem. Das Zusammenspiel von geraden und ungeraden Zahlen ergibt, genau wie beim Sechsertakt vom Dreieck zum Hexagramm, die Verdoppelung des Pentagramms zur heiligen Zehn der Pythagoreer.
Eine literarische Spur
Bemerkenswert ist ein Fund aus dem Jahr 2010: eine Besprechung des Romans Against the Day von Thomas Pynchon durch den Medienwissenschaftler Friedrich Kittler vom März 2007. Im Universum des Romans melden sich die Dinge zuerst in der Mathematik, und die Besprechung bringt die Tetraktys und die Riemannsche Zetafunktion gedanklich zusammen. Ob Kittler ein direkter Zusammenhang bewusst war, geht aus dem Text nicht hervor.
Quellen und Literatur
Quellen
- Holger Ullmann, tetraktys.de, seit 2010
- Bernhard Riemann, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, Monatsberichte der Berliner Akademie, 1859
- Thomas Pynchon, Against the Day, New York 2006
Zum Weiterlesen
- G. H. Hardy und E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford 1938, 6. Aufl. 2008