Das Sieb des Eratosthenes und die Tetraktys
Eine neue Sicht auf das älteste Primzahlverfahren. Die Zahlen, die zwischen 25 und 169 aus den Zwillingsplätzen fallen, ordnen sich in Rastern im Abstand von 10.
Das Sieb des Eratosthenes ist das älteste Verfahren, um Primzahlen zu finden: Man schreibt die Zahlen auf und streicht nacheinander alle Vielfachen von 2, 3, 5, 7 … Was übrig bleibt, sind die Primzahlen.
Man kann das Sieb aber auch anders lesen. Man setzt den Sechsertakt als gegeben voraus: Alle Vielfachen von 2 und 3 sind schon gestrichen, übrig sind die Zwillingsplätze . Dann beginnt die interessante Arbeit erst bei 25, wo die Fünf die Ordnung der Zwillinge zum ersten Mal stört.
Die Ausgangslage: Von 5 bis 24 sind alle Zwillingsplätze mit Primzahlen besetzt. Mit 25 und 35 fallen die ersten aus.
Die gestrichenen Plätze
Genau 10 Zahlen nach 25 beginnt mit 35 ein 14er-Raster, das die Vielfachen der 7 aussiebt. Dann folgt bei 45 ein 18er-Raster und so weiter. Um die Ordnung zu sehen, nimmt man auch die ungeraden, durch drei teilbaren Zahlen außerhalb der Zwillingsplätze hinzu.
| Teiler | Start | Schritt | getroffene Zahlen bis 169 |
|---|---|---|---|
| 5 | 25 = 5 × 5 | 10 | 2535455565758595105115125135145155165 |
| 7 | 35 = 5 × 7 | 14 | 3549637791105119133147161 |
| 9 | 45 = 5 × 9 | 18 | 45638199117135153 |
| 11 | 55 = 5 × 11 | 22 | 557799121143165 |
| 13 | 65 = 5 × 13 | 26 | 6591117143169 |
| 15 | 75 = 5 × 15 | 30 | 75105135165 |
| 17 | 85 = 5 × 17 | 34 | 85119153 |
| 19 | 95 = 5 × 19 | 38 | 95133 |
| 21 | 105 = 5 × 21 | 42 | 105147 |
Alle Zwillingsplätze, die zwischen 25 und 169 keine Primzahl tragen (rot), und die ungeraden, durch drei teilbaren Zahlen (türkis), die als Symmetrieachsen dazwischen liegen.
Die durch drei teilbaren Zahlen bilden die ordnenden Symmetrieachsen zwischen den einzelnen Teilbarkeitsfiguren der aufgefächerten Simplexe. Auch die ganze Tabelle ist spiegelsymmetrisch: Die Zahlen in den Rastern wiederholen sich in einer spiegelbildlichen Hälfte, weil etwa 5 × 7 und 7 × 5 dieselbe Zahl treffen.
Diese Ordnung, immer um 10 versetzte Raster mit jeweils um 4 größeren Abständen, setzt sich ohne Ende fort. Sie erinnert noch einmal an den Anfang der Tetraktys: 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
Genau diese Raster der durch drei teilbaren Zahlen haben wohl auch das 30er-Sieb von Felix Stoffel angeregt. Stoffel teilte die Primzahlen auf dieser Grundlage in „vier Temperamente“ ein, auch das eine Sicht auf die Tetraktys.
Das Sieb in der Ebene
Man kann das Sieb auch zweidimensional auslegen, so wie es vielleicht schon die Pythagoreer sahen: im Koordinatensystem der Divisionstabelle, mit Zählern auf der einen und Nennern auf der anderen Achse. Zähler und Nenner sind dabei gleichwertig und beliebig vertauschbar. Darum liegt die erste Ursache der Vierheit in den geraden und ungeraden Zahlen beider Achsen, und die daraus folgende Verdopplung zeigt sich zwangsläufig in den Feldern der Quotienten. Jede Primzahl legt ein Raster über die Ebene, dort, wo sie Zähler und Nenner zugleich teilt. Nur die Primzahlen erzeugen diese Matrix, alle anderen Zahlen sind in ihr schon enthalten.
Zähler und Nenner von 1 bis 36. Gefärbt sind die Felder, in denen eine der gewählten Primzahlen beide teilt, hell hinterlegt die Zeilen und Spalten der Primzahlen. Was weiß bleibt, ist teilerfremd, wenn man alle Primzahlen einschaltet, der Hintergrund der Eins. Mit wachsender Grenze nähert sich sein Anteil 6/π² ≈ 61 %.
Was man hier vor sich hat, sind figurierte Zahlenbrüche, Muster wie das Zehn-Punkte-Dreieck der Pythagoreer. Ihr größter Vorzug: Sie kommen ohne Zählsystem aus. Das Zehnersystem ist menschengemacht und verstellt den Blick auf das Wesen der Zahl, denn wer in einem Zählsystem denkt, müsste sofort fragen, was in anderen gilt. Ein Punktmuster muss man nicht in Zehnerschritten zählen, man kann es erfassen wie jemand, dem Zahlen fremd sind, wie ein kleines Kind oder ein Delfin. Auch das Sieb des Eratosthenes funktioniert unabhängig vom Zählsystem, und die ganze Matrix löst sich am Ende in ihm auf. Alle teilerfremden Felder und die Primzahlen selbst sind der Rest des Hintergrunds, der Eins. So versteht man, warum die Eins für die Pythagoreer eigentlich keine Zahl war, sondern der Urgrund.
Achtet man auf die ersten Raster, ergänzen sich 2 und 3 zu einem vollkommen symmetrischen Muster, dem Grundgerüst der Primzahlkanäle im Sechsertakt der Zwillinge. Die 4 geht in der 2 auf. 1, 2, 3 und 4 sichern also den Sechsertakt. Ab der 5 werden die Kanäle wieder verstopft, und 5 × 5 = 25 ist die erste Zahl, die die geschlossene Reihe der Zwillinge sprengt. Philosophisch ist es die Drei, die die Gegensätze versöhnt, gerade und ungerade, aktiv und passiv, männlich und weiblich, und sie zur sechsteiligen Ordnung fügt. Schon die Pythagoreer sahen nach Aristoteles das All durch die Drei bestimmt, die Freimaurer halten sie bis heute heilig, und vielleicht stehen auch die Dreieinigkeit und die Schöpfung in sechs Tagen in dieser Tradition (siehe Die Ordnung der Primzahlen).
Mit dem Raster der 4 ist diese vollkommene Symmetrie abgeschlossen. Kippt man die Tabelle wieder um 45° zum Lambdoma, beschreibt an seiner Spitze das Zehn-Punkte-Dreieck genau diesen Sachverhalt. Es begegnet einem überall in der Tabelle, wo eine neue Ordnung beginnt und eine alte endet, denn die Tetraktys ist ein gestuftes System. Oberhalb des Teilers 2, wo das Sieb überhaupt erst greift, beginnen die Raster der gestrichenen Zahlen jeweils um 10 versetzt, mit um 4 wachsendem Abstand:
| Raster | beginnt bei |
|---|---|
| 10er-Schritte | 25 = 5 × 5 |
| 14er-Schritte | 35 = 5 × 7 |
| 18er-Schritte | 45 = 5 × 9 |
| 22er-Schritte | 55 = 5 × 11 |
| 26er-Schritte | 65 = 5 × 13 |
| 30er-Schritte | 75 = 5 × 15 |
| 34er-Schritte | 85 = 5 × 17 |
| 38er-Schritte | 95 = 5 × 19 |
Weil Zähler und Nenner sich gegenseitig bedingen, ist das System für Laien schwer zu durchschauen. Es setzt sich aber ohne Ende fort, weil es nichts anderes ist als das Sieb, und es ist zugleich die Folge der Tetraktys, deren sich überlagernde Raster die scheinbar chaotische Verteilung der Primzahlen erzeugen. Kein Wunder, dass sich hier zwei Griechen treffen, Pythagoras und Eratosthenes. Dieselbe Ordnung zeigen die Sternfiguren der Simplexe, wenn man sie ins Koordinatensystem auffächert (siehe Koordinatensystem).
Hebräische Buchstaben?
Mehrfach wurde bemerkt, dass diese Matrix an hebräische Druckbuchstaben erinnert. Gemeint ist die Quadratschrift, in der bis heute jede Torarolle geschrieben wird.
Ihr hebräischer Name Ketav Aschuri, „assyrische Schrift“, verrät ihre Herkunft. Sie stammt von der aramäischen Reichsschrift, die die Judäer im babylonischen Exil und unter persischer Herrschaft kennenlernten. Seitdem verdrängte sie nach und nach die ältere, althebräische Schrift. Die Schriftrollen vom Toten Meer sind schon fast alle in Quadratschrift geschrieben, manche setzen nur noch den Gottesnamen JHWH in die alten Zeichen. Auf Münzen hielt sich die althebräische Schrift bis zum Bar-Kochba-Aufstand (132–135 n. Chr.), und um 200 n. Chr. erklärte die Mischna eine Torarolle in althebräischer Schrift für ungültig. Der Talmud schreibt den Wechsel dem Schreiber Esra zu.
Den Namen Quadratschrift trägt sie wegen ihrer Form. Jeder Buchstabe füllt ein gedachtes Quadrat und ist fast nur aus waagerechten und senkrechten Strichen gebaut. Die Schreiber hängen die Buchstaben an eine gemeinsame obere Linie, statt sie auf eine Grundlinie zu stellen. Nur das Lamed ragt über das Quadrat hinaus, das Qof und die langen Endformen reichen darunter. Genau das ist es, was an die Matrix erinnert: Auch dort setzen sich die Figuren aus waagerechten und senkrechten Reihen gleich großer Felder zusammen.
3 Mütter7 Doppelte12 Einfache5 Endformen
Die 22 Buchstaben der Quadratschrift in drei Reihen zu neun, von rechts nach links, mit ihren Zahlenwerten als Einer, Zehner und Hunderter. Die fünf Endformen ergänzen die dritte Reihe. Die zweite Ansicht zeigt die Gruppen des Sefer Jezira, die dritte das Quadrat, in dem jeder Buchstabe steht, mit der oberen Linie, an der er hängt.
Die Buchstaben sind zugleich Zahlen. Aleph bis Tet zählen 1 bis 9, Jod bis Zade 10 bis 90, Qof bis Taw 100 bis 400. Weil das nur 22 Zeichen sind, ergänzte eine spätere Zählung die Hunderter mit den fünf Endformen bis 900, so dass drei Reihen zu neun entstehen, ein Zehnersystem aus Buchstaben. Die kleinste Figur, das Jod, kaum mehr als ein Punkt, hat den Wert 10. Die Kabbalisten sagen, aus ihm seien alle anderen Buchstaben gebildet, so wie in der Tetraktys aus dem Punkt die Zehn hervorgeht.
Das Sefer Jezira teilt die 22 Buchstaben in drei Mütter, Aleph, Mem und Schin, für Luft, Wasser und Feuer, sieben Doppelte, die den sieben Planeten zugeordnet werden, und zwölf Einfache für die zwölf Tierkreiszeichen (siehe Die Kabbala). 3, 7 und 12 sind dieselben Zahlen, die vor dem Thron Gottes und im magischen Kreis wiederkehren (siehe Weihnachten, der Thron Gottes und die Zahl 24).
Mittelalterliche Magier verbanden die Quadratschrift mit Sternvielecken wie Hexagramm und Pentagramm, und überlieferte Amulette zeigen Sternpolygone über hebräischen Buchstaben. Simplexe enthalten Sternpolygone, und ihre Auffächerung in die Divisionstabelle ergibt genau diese Matrix. Das gibt Anlass zu Spekulationen, mehr nicht: Dass die Schrift aus der Matrix abgeleitet wäre, lässt sich nicht belegen, und waagerechte und senkrechte Striche sind schlicht das, was sich mit Rohrfeder und Lineal am leichtesten ziehen lässt. Umso erstaunlicher ist, dass dieses Muster heute kaum jemand kennt. Eine kleine Abhandlung dazu gibt es beim Pythagoras-Institut, eine vereinfachte Fassung auf divisorplot.com (siehe Links).
Endziffern und der Satz von Dirichlet
Außer 2 und 5 enden alle Primzahlen auf 1, 3, 7 oder 9. Auf lange Sicht verteilen sich die Primzahlen gleichmäßig auf diese vier Endziffern, bei zwei Endziffern gleichmäßig auf 40 Typen, bei drei auf 400 und so fort. Dass jede dieser Endziffern unendlich oft vorkommt, zeigte der Dirichletsche Primzahlsatz über arithmetische Folgen, die gleichmäßige Verteilung im strengen Sinn bewies Charles de la Vallée Poussin 1896. Gauß schrieb 1849, er habe seit seiner Jugend öfter eine freie Viertelstunde genutzt, um mit Hilfe von Tafeln die Primzahlen in einem Tausenderabschnitt auszuzählen. Daraus gewann er seine Vermutung über die Dichte der Primzahlen. Diese Aussagen über Endziffern gelten allerdings nur für das Zehnersystem. Die Zusammenhänge der Tetraktys regen dazu an, über den Satz von Dirichlet neu nachzudenken, denn auch die „vier Temperamente“ von Stoffel sind im Grunde solche Restklassen, nur im 30er- statt im 10er-Raster.
Quellen und Literatur
Quellen
- Nikomachos von Gerasa, Einführung in die Arithmetik, um 100 n. Chr., Buch I, Kap. 13 (das Sieb des Eratosthenes)
- Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Beweis des Satzes über Primzahlen in arithmetischen Progressionen, Berlin 1837
- Sefer Jezira (Buch der Schöpfung), entstanden zwischen dem 3. und 6. Jh. n. Chr.
- Holger Ullmann, tetraktys.de, seit 2010
Zum Weiterlesen
- G. H. Hardy und E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford 1938, 6. Aufl. 2008