Tetraktys Teil 1 – die Ordnung der Primzahlen
Alle Primzahlen ab 5 liegen im Sechsertakt 6n ± 1. Die durch drei teilbaren Zahlen bilden die Symmetrieachsen dazwischen.
Über die Primzahlen haben sich Mathematiker oft ratlos geäußert. Leonhard Euler hielt es für ein Geheimnis, in das der menschliche Geist vielleicht nie eindringen werde. Paul Erdős spielte auf Einstein an: Gott würfle vielleicht nicht mit dem Universum, aber mit den Primzahlen stimme etwas nicht. Julian Havil trägt solche Aussagen in seinem Buch Gamma (2007) zusammen und vermutet ein „determinierendes System“ hinter der scheinbaren Zufälligkeit. Der Mathematiker R. C. Vaughan brachte das Dilemma auf den Punkt: Die Primzahlen seien offensichtlich zufällig verteilt, nur wisse leider niemand, was Zufall bedeutet.
In jüngerer Zeit haben Computeranalysen großer Zahlenmengen gewisse Regelmäßigkeiten gefunden, etwa 2016 die überraschende Vorliebe aufeinanderfolgender Primzahlen für bestimmte Endziffern. Hier wird ein anderer Zugang vorgeschlagen, der ebenfalls vom Sieb des Eratosthenes ausgeht: Die Primzahlen sind unregelmäßig verteilt, aber die Struktur dazwischen ist streng geordnet. Das System umfasst alle natürlichen Zahlen, denn wie soll man eine Ordnung erkennen, wenn man einen großen Teil davon ausblendet? Es ist eine Ordnung, die sich ständig selbst bestätigt und die von der Geometrie der Simplexe bestätigt wird. Wer sich darauf einlässt, merkt, dass die Zahlenreihe nichts Langweiliges ist, sondern etwas sehr Lebendiges, eine hochkomplexe Ordnung, die kein Mensch erfunden hat. Sie war auch die Inspirationsquelle alter Denker wie Philolaos.
Die Zahl 1 und die Definition
Nach heutiger Definition ist eine Primzahl eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Die 1 ist ausgeschlossen, damit die Zerlegung in Primfaktoren eindeutig bleibt. Sonst könnte man jeder Zerlegung beliebig viele Einsen hinzufügen. Dahinter steht die Vorstellung, die Primzahlen „erzeugten“ alle anderen Zahlen.
Diese Sichtweise ist in Frage zu stellen, denn schon bei den ersten drei Zahlen stößt man auf Besonderheiten:
- Die 1 hat das Merkmal der Primzahl in äußerster Konsequenz: Sie lässt sich überhaupt nicht zerlegen, ihr einziger Teiler ist sie selbst.
- Die 2 ist die einzige gerade Primzahl. Alle anderen, unendlich vielen, sind ungerade.
- Die 3 hat eine Schlüsselrolle, die im Folgenden sichtbar wird.
Der Sechsertakt
Schreibt man die Zahlen in Zeilen zu sechs, liegen alle Primzahlen außer 2 und 3 in nur zwei Spalten: direkt vor und direkt nach einem Vielfachen von sechs. Das ist der Sechsertakt, wie ihn schon Leibniz beschrieb:
6n ± 1
Er ist der Grund, warum Primzahlen so oft als Zwillinge auftreten (5 und 7, 11 und 13, 17 und 19 …).
Die Zahlen 1 bis 120 in Zeilen zu sechs. Die Primzahlen (rot) liegen alle in der ersten und fünften Spalte, auf den Zwillingsplätzen 6n ± 1.
Wo immer im Zahlenstrahl eine Primzahl auftritt, dann auf einem dieser Zwillingsplätze. Ab 25 = 5 × 5 bleiben allerdings immer mehr Plätze ohne Primzahl. Diese Zahlen, hier Pseudoprimzahlen genannt, sind nur durch Primzahlen ab 5 teilbar, niemals durch 2 oder 3.
Die übrigen Zahlen ordnen sich ebenso streng:
- Raster der 1: Primzahlen und Pseudoprimzahlen. Sie stehen immer als Zwillinge und sind immer ungerade.
- Raster der 2: gerade, aber nicht durch drei teilbare Zahlen. Auch sie stehen als Zwillinge.
- Raster der 3: alle durch drei teilbaren Zahlen. Sie liegen in gleichen Abständen, bilden keine Zwillinge und sind abwechselnd gerade und ungerade.
Die durch drei teilbaren Zahlen bilden also die Symmetrieachsen für beide Zwillingsarten. Die möglichen Primzahlplätze sind spiegelsymmetrisch geordnet. Anschaulich wird das, wenn man den Sechsertakt als Wendel aufwickelt, sechs Zahlen je Umlauf:
Der Sechsertakt als Zahlenwendel. Alle Primzahlen ab 5 stehen auf zwei senkrechten Geraden, die durch 3 teilbaren Zahlen auf zwei anderen, genau dazwischen.
Die Steigung von sechs Zahlen je Umlauf dient nur der Anschauung, bei jeder anderen Steigung bleiben die Tatsachen dieselben. Eine solche Zahlenspirale hat unter anderen Axel Klitzke veröffentlicht.
Die ersten Primzahlen im wörtlichen Sinn
Zusammengefasst: Die 1 ist die erste Zahl im Raster der Zwillingsplätze, die weder durch zwei noch durch drei teilbar sind. Die 2 ist die erste Zahl im Raster der geraden, nicht durch drei teilbaren Zahlen. Die 3 ist die erste Zahl im Raster der durch drei teilbaren Zahlen. Damit sind 1, 2 und 3 die einzigen Primzahlen, die dem Wort prim, „die Ersten“, wirklich gerecht werden.
Es gibt also zwei Arten von Primzahlen. Alle Primzahlen ab 5 liegen auf den Zwillingsplätzen des Sechsertakts, die 2 und die 3 nicht, wohl aber die 1. Auch geometrisch unterscheiden sie sich: Alle Simplexe mit einer Primzahl ab 5 als Eckenzahl enthalten Sternpolygone, die Linie (2) und das Dreieck (3) nicht. Für die angewandte Mathematik ist die übliche Definition der Primzahl bewährt und völlig in Ordnung. Für die Erforschung der Primzahlverteilung aber sollten diese beiden Arten unterschieden werden, sonst verwischt die Definition genau den Sachverhalt, auf den es ankommt.
Der Pythagoreer Philolaos unterschied bereits zwei Formen der Zahl, Ungerades und Gerades, und eine dritte, aus beiden gemischte: das „Gerad-Ungerade“ (siehe Die antiken Quellen).
Dreieck und Hexagramm
In dieser Ordnung stecken zwei der vier Startfiguren: das Dreieck für die drei Zahlengruppen und das Hexagramm, das doppelte Dreieck, für ihre spiegelsymmetrische Anordnung im Sechsertakt. Die zwei verschränkten Dreiecke zeigen das Zusammenspiel von geraden und ungeraden Zahlen. Die beiden anderen Startfiguren, Pentagramm und doppeltes Pentagramm, gehören zur Unordnung nach der 24.
Dreieck und Hexagramm stehen für die Ordnung, Pentagramm und doppeltes Pentagramm für die Unordnung der Primzahlen.
Größere Raster
Der Sechsertakt ergibt sich aus 2 × 3. Davor gibt es nur das Zweier-Raster aller ungeraden Zahlen. Multipliziert man mit der nächsten Primzahl, erhält man immer größere Raster: 2 × 3 × 5 = 30, × 7 = 210, × 11 = 2310, × 13 = 30 030. Auch im 30er-Raster liegen alle Primzahlen (außer 2, 3 und 5) auf festen Plätzen. Diese Raster werden aber schnell unübersichtlich. Über das 30er-Raster haben schon andere nachgedacht, etwa der Künstler und Kommunikationsanalytiker Felix Stoffel mit seinen „vier Primzahl-Temperamenten“. Das Besondere am Sechsertakt ist, dass in ihm die vollständige Architektur der Zwillingsbildung angelegt ist. Alle größeren Raster zeigen ab der 5 zunehmend Lücken. Deshalb ist der Sechsertakt die Grundlage für Teil 2.
Die Tetraktys ist in dieser Sicht das bestimmende System der natürlichen Zahlen, das sich immer wieder selbst bestätigt, weil es fraktal ist. Mehr dazu unter Der Schlüssel zur Tetraktys und Das Sieb des Eratosthenes.