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Grundlagen

Die Mathematik hinter dieser Website, Schritt für Schritt und für Laien: was ein Beweis ist, wie man von wenigen Grundannahmen zu Zahlen, Teilern und Figuren kommt, und warum die Sätze über die Zehn und die Primzahlen wirklich gelten. Mit Beweisen zum Aufklappen und Prüfungen durch den Computer.

  1. 00Die Sprache der MathematikEine Lesehilfe für Laien: was Zeichen wie ∀, ∣, ⇔ und Σ bedeuten, wie ein mathematischer Artikel aufgebaut ist, und wie man einen Beweis in Lean Zeile für Zeile liest.
  2. 01Was ist ein Beweis?Warum Beispiele nicht genügen, woraus ein Beweis gebaut ist, und ein erster Beweis am Punktedreieck der Tetraktys: 1 + 2 + 3 + 4 = 10, und warum das für jede Zahl so weitergeht.
  3. 02ZählenDie natürlichen Zahlen aus nichts als einer Null und einem Nachfolger: die Axiome von Peano, Addition durch Rekursion, die vollständige Induktion, und der Gnomon der Pythagoreer, der die ungeraden Zahlen zu Quadraten fügt.
  4. 03TeilenWas es heißt, dass eine Zahl eine andere teilt, warum Teilen mit Rest immer geht und eindeutig ist, und wie der euklidische Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler findet, als Bild ein Rechteck, aus dem man Quadrate schneidet.
  5. 04PrimzahlenWas eine Primzahl ist und warum die 1 keine ist, warum es unendlich viele gibt, warum jede Zahl genau eine Zerlegung in Primzahlen hat, und warum das Sieb des Eratosthenes erst beim Quadrat einer Primzahl zu streichen beginnt.
  6. 05Rechnen mit RestenKongruenzen nach Gauß: Rechnen auf einer Uhr. Warum alle Primzahlen ab 5 im Sechsertakt liegen, warum p² − 1 immer durch 24 teilbar ist, und warum die 24 die größte Zahl mit dieser Eigenschaft ist.
  7. 06Zahlen als FigurenWarum die Figur n/k in genau so viele Teile zerfällt, wie der größte gemeinsame Teiler angibt, warum die Zehn die erste Zahl mit allen vier Figurenarten ist, und warum Primzahlen genau die Simplexe ohne zusammengesetzte Figur sind.
  8. 07WinkelWarum ein Dreieck 180 Grad hat, ein Vieleck (n − 2) · 180 Grad und ein Stern (n − 2k) · 180 Grad, warum nur Dreieck, Quadrat und Sechseck die Ebene füllen, und warum die Zehn bei den Winkelsummen einzigartig ist.
  9. 08VerhältnisseBrüche als Verhältnisse, die Intervalle der Tetraktys 2 : 1, 3 : 2 und 4 : 3, warum zwölf Quinten nie genau sieben Oktaven ergeben, und warum die Divisionstabelle jeden Bruch genau einmal neu enthält.
  10. 09Das InkommensurableStrecken ohne gemeinsames Maß: warum Seite und Diagonale des Quadrats in keinem Zahlenverhältnis stehen, warum der euklidische Algorithmus dann nie endet, und wie das Pentagramm, das Zeichen der Pythagoreer, dieselbe Entdeckung in sich trägt.
  11. 10Annäherung an πWie Archimedes den Kreis zwischen zwei Vielecke klemmte und π auf zwei Stellen genau bestimmte, mit welcher Verdopplungsformel das geht, und warum die eingeklappten Quadrate von Andreas Weiss genau dieses Verfahren nachbauen.
  12. 11Was offen istWas diese Rubrik bewiesen hat, was bewiesen ist, aber hier zu weit führen würde, was niemand weiß, und welche Aussagen dieser Website Deutungen sind. Eine Landkarte von Sicherem und Offenem.