Zufall und Muster

Wer lange genug sucht, findet die 7, die 12 und die 24 überall. Ein Versuch mit zufälligen Bauwerken, die Pyramidenmessungen des 19. Jahrhunderts, das starke Gesetz der kleinen Zahlen und vier Fragen, mit denen man echte Muster von Zufällen unterscheidet, auch auf dieser Website.

Dieses Kapitel gehört zur Dialektik, aber es verdient einen eigenen Platz. Denn wer sich mit Zahlensymbolik beschäftigt, und das tut diese ganze Website, begegnet einer Gefahr, die mächtiger ist als jeder Fehlschluss: Der menschliche Geist ist eine Maschine, die Muster findet. Er findet sie auch dort, wo keine sind.

Gesichter in den Wolken

Wir sehen Gesichter in Wolken, Steckdosen und Autofronten. Eine verbreitete Erklärung dafür: Ein Mensch, der ein Gesicht im Gebüsch einmal zu oft erkannte, verlor wenig, einer, der es einmal übersah, unter Umständen alles. Der Psychiater Klaus Conrad prägte 1958 das Wort Apophänie für das krankhafte Erleben, überall bedeutsame Zusammenhänge zu sehen. Heute nennt man so auch die gewöhnliche Neigung dazu, und die ist kein Fehler einzelner Menschen, sondern eine Eigenschaft von uns allen.

Bei Zahlen ist sie besonders stark. Es gibt nur wenige kleine Zahlen, und jede hat Eigenschaften, die sie besonders aussehen lassen. Der Mathematiker Richard Guy hat das 1988 als „starkes Gesetz der kleinen Zahlen“ formuliert: Es gibt nicht genug kleine Zahlen, um all die Anforderungen zu erfüllen, die an sie gestellt werden. Darum treffen sich Muster bei kleinen Zahlen so oft, ohne etwas zu bedeuten.

Ein Versuch

Die folgende Grafik denkt sich ein Bauwerk mit sechs zufälligen Maßen aus, Länge, Breite, Höhe, Tor, Fenster und Stufen. Dann sucht sie darin nach „heiligen“ Zahlen: 3, 7, 9, 10, 12, 24, 33, 40, 72, 108, 144 und 365, dazu nach Verhältnissen, die auf 1 Prozent genau π, den Goldenen Schnitt φ oder √2 ergeben. Erlaubt sind nur die einfachsten Rechnungen: ein Maß allein, zwei Maße zusammengezählt, abgezogen, malgenommen oder geteilt.

Ein Bauwerk mit sechs zufälligen Maßen und die „Entdeckungen“ darin. Mit „1000 Bauwerke prüfen“ sieht man, wie selten ein Bauwerk ganz ohne heilige Zahl bleibt.

Das Ergebnis ist ernüchternd. Fast jedes zufällige Bauwerk enthält mindestens eine heilige Zahl, rund 98 von 100 sogar mindestens drei, im Schnitt sind es etwa acht. Und dabei sind nur zwölf Zahlen und drei Verhältnisse erlaubt. Wer Maßeinheiten wechseln darf, von Metern zu Ellen oder Fuß, wer Diagonalen, Umfänge und Flächen dazunimmt, findet noch viel mehr.

Die Pyramide und das Washington-Monument

Genau so ist im 19. Jahrhundert die Pyramidenmystik entstanden. Der britische Astronom Charles Piazzi Smyth, Königlicher Astronom für Schottland, vermaß 1865 die Cheops-Pyramide und fand in ihren Maßen die Kreiszahl, den Abstand zur Sonne und den „Pyramidenzoll“, ein göttliches Maß, das er von John Taylor übernommen hatte. Sein Buch dazu war schon 1864 erschienen, die Deutung stand also vor der Messung fest. Der junge Flinders Petrie reiste 1880 nach Gizeh, um diese Theorie zu bestätigen. Er vermaß die Pyramide genauer als jeder vor ihm und kam zu dem Schluss, dass sie nicht stimmt.

Der amerikanische Wissenschaftsjournalist Martin Gardner hat die Methode später durch eine Parodie entlarvt. Er zeigte, dass man am Washington-Monument in Washington mit denselben Kunstgriffen überall die Zahl Fünf findet. Niemand würde daraus schließen, dass die Erbauer eine Geheimlehre der Fünf verschlüsseln wollten.

Drei berühmte Fälle

Dass auch große Wissenschaftler dieser Versuchung erliegen, zeigen drei Geschichten. Sie sind lehrreicher als jeder Spott über Pyramidenforscher, denn sie handeln von klugen Menschen.

Die Titius-Bode-Reihe. 1766 bemerkte der Wittenberger Gelehrte Johann Daniel Titius, und nach ihm machte es der Astronom Johann Elert Bode bekannt, dass sich die Abstände der Planeten mit einer einfachen Regel beschreiben lassen: Man nehme die Zahlen 0, 3, 6, 12, 24, 48, 96, addiere jeweils 4 und teile durch 10. Heraus kommen 0,4, 0,7, 1,0, 1,6, 2,8, 5,2 und 10,0, und das sind fast genau die Abstände von Merkur bis Saturn, wenn man den der Erde 1 setzt. Nur bei 2,8 fehlte ein Planet. Dann kam der Erfolg. 1781 entdeckte Wilhelm Herschel den Uranus bei 19,2, die Regel sagte 19,6. Und 1801 fand man bei 2,77 den Zwergplaneten Ceres, genau in der Lücke. Die Regel schien bestätigt, die Astronomen waren begeistert. Dann wurde 1846 Neptun gefunden.

Die Abstände der Planeten von der Sonne in Astronomischen Einheiten, der Abstand der Erde ist 1. Hohle Kreise zeigen die Vorhersage der Titius-Bode-Reihe, volle den gemessenen Wert, die senkrechte Achse ist logarithmisch geteilt. Bis Uranus liegen beide dicht beieinander, bei Neptun fehlt fast ein Viertel.

Neptun steht bei 30,1, die Regel verlangte 38,8. Bis heute weiß niemand, ob hinter den ersten Treffern ein Gesetz steckt. Die meisten Astronomen halten die Reihe für eine Mischung aus Zufall und der allgemeinen Tatsache, dass Planetenbahnen sich nicht zu nahe kommen dürfen, wenn sie stabil bleiben sollen. Die Lehre daraus: Auch ein Muster, das eine richtige Vorhersage macht, kann zerfallen. Die vierte Frage unten muss man immer wieder stellen.

Eddingtons 137. Der britische Astrophysiker Arthur Eddington, einer der bedeutendsten seiner Zeit, glaubte, die Naturkonstanten aus reiner Überlegung ableiten zu können. 1929 bewies er, wie er meinte, dass die sogenannte Feinstrukturkonstante, eine Zahl, die die Stärke der elektrischen Kraft beschreibt, genau 1/136 sein müsse. Als die Messungen eher 1/137 ergaben, fand er einen Grund, eins dazuzuzählen. Spötter nannten ihn daraufhin „Arthur Adding-One“. Heute kennt man den Wert auf zwölf Stellen, 1/137,035999…, und er ist keine ganze Zahl.

Der Bibelcode. 1994 veröffentlichten drei israelische Forscher in einer angesehenen Fachzeitschrift eine Studie, nach der im hebräischen Text des Buches Genesis die Namen berühmter Rabbiner und ihre Lebensdaten verborgen seien, wenn man nur jeden soundsovielten Buchstaben liest. 1997 machte der Journalist Michael Drosnin daraus den Bestseller Der Bibelcode und behauptete, darin sei auch die Ermordung Jitzchak Rabins vorhergesagt. Drosnin forderte seine Kritiker heraus, Ähnliches in Moby Dick zu finden. Der Mathematiker Brendan McKay tat genau das und fand in Melvilles Roman nach derselben Methode „Vorhersagen“ der Ermordung von Indira Gandhi, Martin Luther King und anderen. 1999 zeigten McKay und Kollegen in derselben Fachzeitschrift, dass die ursprüngliche Studie bei der Auswahl der Namensformen genug Spielraum hatte, um ihr Ergebnis zu erzeugen. Es ist die zweite der vier Fragen: Wie viele Möglichkeiten wurden durchprobiert?

Vier Fragen an ein Muster

Wie unterscheidet man ein echtes Muster von einem Zufall? Vier Fragen helfen:

Wurde das Muster vorher behauptet oder erst nachher gefunden? Wer zuerst sucht und dann erklärt, findet immer etwas.
Wie viele Möglichkeiten wurden durchprobiert? Wer zehn Rechenarten an je zwei von zwanzig Maßen probiert, hat fast zweitausend Versuche, und einige treffen immer.
Gibt es einen Grund, warum es so sein muss? Ein Beweis oder ein Mechanismus macht aus einem Zufall eine Regel.
Hält das Muster bei neuen Fällen? Ein echtes Muster setzt sich fort, ein zufälliges zerfällt.

Diese Fragen muss sich auch diese Website gefallen lassen. Manches hält ihnen stand. Dass die Zehn die einzige Zahl ist, bei der die Winkelsummen aller Figuren eines Simplex genau so viele Vollkreise ergeben, wie er Ecken hat, ist kein Fund durch Herumprobieren, sondern ein Satz mit Beweis (siehe Winkel). Dass alle Primzahlen ab 5 neben einem Vielfachen von 6 liegen, ist ebenfalls bewiesen (siehe Rechnen mit Resten). Andere Dinge, etwa Deutungen der 24 Ältesten der Offenbarung oder der zwölf Jünger, sind Deutungen. Sie können anregend sein, aber sie bestehen die vier Fragen nicht wie ein Satz. Die Seiten dieser Website versuchen, das jeweils kenntlich zu machen. Der Leser sollte es trotzdem selbst prüfen.

Heißt das, dass es keine verborgenen Wahrheiten gibt? Nein. Es heißt nur, dass sie sich nicht in Zahlenspielen verbergen, die jeder Würfel auch hervorbringt. Was ein echtes Geheimnis ausmacht, beschreibt die Seite Was ein Geheimnis ist.

Übung

Nimm dein Geburtsdatum, deine Telefonnummer oder die Hausnummer und Postleitzahl deiner Wohnung. Suche darin nach heiligen Zahlen, mit denselben Regeln wie in der Grafik oben: einzelne Ziffern und Zahlen, dazu Summen, Differenzen und Produkte. Gib dir zehn Minuten. Du wirst etwas finden.

Dann frage dich: Was bedeutet das über dich? Die ehrliche Antwort ist: nichts. Und genau diese Erfahrung, dass man etwas findet, das nichts bedeutet, ist die wichtigste Impfung für jeden, der mit Zahlen deutet.

Quellen und Literatur

Quellen

Klaus Conrad, Die beginnende Schizophrenie. Versuch einer Gestaltanalyse des Wahns, Stuttgart 1958 (der Begriff Apophänie)
Richard K. Guy, The Strong Law of Small Numbers, The American Mathematical Monthly 95, 1988, S. 697 bis 712
Charles Piazzi Smyth, Our Inheritance in the Great Pyramid, London 1864
W. M. Flinders Petrie, The Pyramids and Temples of Gizeh, London 1883
Martin Gardner, Fads and Fallacies in the Name of Science, New York 1957, Kap. 15
Johann Elert Bode, Anleitung zur Kenntniß des gestirnten Himmels, 2. Aufl. Hamburg 1772
Arthur S. Eddington, The Charge of an Electron, Proceedings of the Royal Society A 122, 1929, S. 358 bis 369
Doron Witztum, Eliyahu Rips und Yoav Rosenberg, Equidistant Letter Sequences in the Book of Genesis, Statistical Science 9, 1994, S. 429 bis 438
Brendan McKay, Dror Bar-Natan, Maya Bar-Hillel und Gil Kalai, Solving the Bible Code Puzzle, Statistical Science 14, 1999, S. 150 bis 173