Die Tetraktys im Überblick
Zahlen als Mengen, Kreisläufe in vier Phasen, der erste Zirkelschlag, die Zehn in der Divisionstabelle und das Pentagramm in der DNA: ein Gang durch die Grundgedanken dieser Seite.
Dieser Überblick will nicht die bekannten musiktheoretischen Deutungen der Tetraktys wiederholen, die auf Hans Kayser (1891–1964) zurückgehen und sich heute überall finden (sie werden in der Rubrik Harmonik behandelt). Er geht der größten Lücke nach: Welcher Zusammenhang besteht zwischen der „heiligen Vier“ und der „heiligen Zehn“ der Pythagoreer, zwischen 1 + 2 + 3 + 4 und ihrer Summe?
Die geometrische Schlüsselfigur ist der einfachste platonische Körper, das Tetraeder, und seine Fortsetzung in beliebig viele Dimensionen, die Simplexe. Erst mit ihnen wird auch klar, was das Pentagramm, das Erkennungszeichen der Pythagoreer, mit der Tetraktys zu tun hat. Und es wird verständlich, warum man diesen Figuren magische Kräfte zuschrieb: Sie stehen für zeitlose Prinzipien und wurden zur Grundlage einer Religionsphilosophie, die von den Pythagoreern über Platoniker, Kabbalisten und Rosenkreuzer bis in die Renaissance das Abendland geprägt hat.
Die Tetraktys war eine Art antike Weltformel, obendrein geheim, und stand deshalb für vieles. Wer nicht alles sofort versteht, sollte sich nicht entmutigen lassen. Erst die wechselnde Betrachtung von Zahl und Figur öffnet den Zugang, und manches wiederholt sich hier bewusst, weil es im jeweiligen Zusammenhang besser direkt gezeigt wird.
Was sind eigentlich Zahlen?
Zahlenmystiker fragen gern: Gibt es Zahlen schon immer oder nur, solange wir an sie denken? Ist ihre Ordnung in ihnen selbst oder in unserem Bewusstsein? Steckt eine Intelligenz dahinter? Doch vorher muss eine andere Frage geklärt sein: Was meinen wir überhaupt mit „Zahl“?
Ziffern sind erdachte Zeichen für Mengen. Sie hängen von einem Zählsystem ab, bei uns vom Dezimalsystem, einer frei gewählten Ordnung, die das Rechnen mit großen Zahlen erst möglich macht. Wer das Wesen der Zahl erforschen will, muss die Zeichen wieder auf ihren Ursprung zurückführen, auf Mengen von Punkten:
- der Punkt selbst, als Zeichen der Einheit
- zwei Punkte, die Linie
- drei Punkte, das Dreieck
- vier und mehr Punkte, das Tetraeder und die übrigen Körper
Schon die Betrachtung von Punktmengen in den Dimensionen, die wir erfahren, führt auf eine Vierheit, die sich als Geometrie zeigt. Aus ihr entstand die Zahlenmystik der Pythagoreer, Platoniker und Kabbalisten.
Ein Beispiel: Dreizehn Punkte sind eine prime Menge, ganz gleich, mit welchem Zeichen man sie schreibt. In einem anderen Zählsystem ändert sich das Zeichen, die Menge bleibt prim. Deshalb kann sich das Wesen der Primzahlen nur in der Geometrie zeigen, in der Symmetrie, die frei ist von den Zufällen eines Zählsystems. Wer über die großen Fragen der Zahl nachdenkt, ohne diese Geometrie zu kennen, denkt am Wesentlichen vorbei.
Kreisläufe in vier Phasen
Die Bewegungen im Kosmos, griechisch „Ordnung“, sind überwiegend kreisförmig, und aus ihnen entstehen die wiederkehrenden Zyklen auf der Erde: der Lauf der Sonne durch die vier Himmelsrichtungen, die vier Mondphasen, die vier Jahreszeiten. Jeder solche Zyklus hat vier Phasen, und solche Kreisläufe finden sich in der belebten wie in der unbelebten Natur. Auch eine Welle ist im Grunde ein Kreislauf, der sich in vier Abschnitte gliedert: Anstieg, Höhepunkt, Abstieg, Tiefpunkt.
Ein Punkt läuft im Kreis, rechts seine Höhe als Welle. Kreis und Welle teilen sich in vier Viertel. Die Knöpfe wechseln zwischen drei bekannten Kreisläufen mit vier Phasen.
Dieselbe viergliedrige „Drehung“ steckt in der Zahlenreihe, sobald man die Ziffern durch Vielecke ersetzt. Die Menge drei, das Dreieck, hat als Erste die Winkelsumme eines halben Kreises. Eine Ecke mehr, und das Viereck hat die Winkelsumme eines vollen Kreises, als einziges Vieleck überhaupt. Das Fünfeck hat anderthalb Vollkreise, das Sechseck zwei, und so fort (siehe Winkelsummen und Vollkreise).
Jede ungerade Menge beginnt also einen neuen halben Kreis, und die folgende gerade Menge schließt ihn zum Vollkreis. Zu einem vollen Kreis gehören immer zwei Punkte. Damit wird verständlich, warum die Pythagoreer und Platoniker den ungeraden Zahlen männliche, schöpferische Eigenschaften zuschrieben und den geraden weibliche, bewahrende. Auch lassen sich nur in den geraden Vielecken zwischen den Ecken rechte Winkel bilden, weil nur bei ihnen Ecken einander genau gegenüberliegen.
Das Yin und Yang enthält ebenfalls zwei ruhende und zwei bewegte Phasen. Und eine rosenkreuzerische Schrift des 18. Jahrhunderts, Des Hermes Trismegistos wahrer alter Naturweg, zeigt auf ihrem Titel ein Zeichen, das den alchemistischen Doppel-Ouroboros, zwei Wesen, die einander in den Schwanz beißen, mit Zirkel und Winkelmaß der Freimaurer und zwei verschränkten Dreiecken verbindet. Der Ouroboros steht seit Ägypten für Unendlichkeit, Wiederkehr und „wie oben, so unten“, der Doppel-Ouroboros für Himmel und Erde, Geist und Körper. Zirkel und Winkelmaß stehen für das aktive und das passive Prinzip. Zusammen beschreiben sie genau diese Gesetzmäßigkeit der Zahlenreihe.
Zusammengefasst: Alle Kreisläufe im Kosmos und auf der Erde folgen einer viergliedrigen Periodizität. Man kann jeden Kreislauf in ein aktives und ein passives Dreieck teilen, wie die beiden Hälften einer Welle, und beide zusammen ergeben wieder ein Viereck mit der Winkelsumme eines vollen Kreises. Die Zahlenreihe als Geometrie beginnt mit Punkt, Linie, Dreieck und Viereck und wiederholt sich dann ohne Ende im Wechsel von Dreieck und Viereck.
Der Raum als Kugel
Wie aber ist der leere Raum beschaffen, in dem diese Kreisläufe stattfinden? Wenn von einem Mittelpunkt aus alle Richtungen gleich unendlich weit reichen, ist der unendliche Raum eine Kugel. Und weil im unendlichen Raum jeder Punkt Mittelpunkt ist, muss jeder Punkt dieselben Eigenschaften haben wie seine Nachbarn.
Genau das ist erfüllt, wenn man den Raum mit gleich großen Kugeln füllt, die einander dicht an dicht berühren. Verbindet man ihre Mittelpunkte, erhält man ein gleichmäßiges Gitter aus Dreiecken und Quadraten, gebildet aus Tetraeder- und Oktaederzellen: die kubischen Kristallsysteme, in der Kristallographie von größter Bedeutung und philosophisch von Platon über Kepler bis Buckminster Fuller bedeutsam (siehe Die lückenlose Raumfüllung). Der ruhende, „kristalline“ Raum und die bewegten Kreisläufe in ihm sind also beide von der Vierheit bestimmt.
Der erste Zirkelschlag
Lässt man die schlichte Formel der Tetraktys auf sich wirken, erhält man eine Grundaussage über den Aufbau der Welt: 1 + 2 + 3 + 4 sind Punkt, Linie, Fläche und Körper, der Raum als Voraussetzung einer Ordnung, die ihn mit Leben füllt. Die zugehörige Figur ist das Tetraeder.
Eine Schlüsselrolle spielen die Primzahlen, die „ersten“ Zahlen, die nur durch sich selbst und eins teilbar sind. Sie interessierten Pythagoreer und Platoniker, weil es zu ergründen galt, wie aus dem Einen das Viele entsteht. Die ersten Zahlen 1, 2 und 3 (die Eins zählte man früher mit zu den unteilbaren „ersten“ Zahlen, heute gilt sie nicht als Primzahl), also Ecke, Kante und Fläche, schaffen zusammen den Raum für Körper, die Vier. Die Vier ist keine Primzahl mehr, denn sie geht in der Zwei auf. In der Hermetik steht sie für das Element Erde, das Sich-Verkörpernde, so wie die Zehn in der Kabbala. Darin zeigt sich schon der Zusammenhang von 1 + 2 + 3 + 4 = 10 mit dieser hermetischen Grundaussage.
Die nächste Primzahl ist die Fünf. Sie ist die erste, die sich der Ordnung des Raumes aus der „Dreiheit“ unterordnen muss und diese strenge Ordnung zugleich, je nach Blickwinkel, auflöst oder mit Leben und Bewegung erfüllt. Ihre Figur ist das Pentagramm, ein Grenzüberschreiter, weil es den rechten Winkel überschreitet, und zugleich selbst begrenzt, weil es sich dem Raum fügen muss (siehe Das Pentagramm und der Goldene Schnitt).
Auf diese Einsicht spielt ein Wort Bernhards von Clairvaux (1090–1153) an. Auf die Frage, was Gott sei, antwortet er: Länge, Breite, Höhe und Tiefe.
Alle weiteren Ordnungen, die aus der Tetraktys folgen, sind ebenfalls viergliedrig. Es geht um die Kombinatorik, die sich aus den natürlichen Zahlen zwangsläufig ergibt und sich nur durch eine Geometrie erfahren lässt, die unmittelbar Ausdruck der Zahl ist.
Hexagramm und Pentagramm
Die „Tetraktys des Raumes“ als erste Ursache aller Verkörperung erscheint in der Kombinatorik wie in der Geometrie als unbegrenzt, ruhend und kristallin. Ihr Zeichen ist das Hexagramm, der Sechsstern, als Bild für die Verbindung von Energie und unbegrenztem Raum. Daran lässt sich auch die religiöse Deutung von Schöpfung und Sündenfall, von Gott und Welt festmachen.
Das Pentagramm dagegen, der Fünfstern, steht für das bewegte, flüchtige Werden und Vergehen, die Verbindung von Zeit und Materie und damit das begrenzende Prinzip des Lebens, das sich auch in den Proportionen des Goldenen Schnitts zeigt.
Die vier Startfiguren: Dreieck, Hexagramm, Pentagramm und doppeltes Pentagramm. Die Hermetik ordnet ihnen die vier Elemente zu.
Den vier Startfiguren lassen sich die vier Elemente Feuer, Luft, Wasser und Erde zuordnen. Das ist wenig bekannt und mag verwirren. Vergleicht man aber die überlieferten Zeichen der Elemente mit diesen vier Figuren, erkennt man in ihnen eine vereinfachte Form (siehe Das Tetraktys-Analogieschema).
Was mit der Zehn gemeint ist
Die Pythagoreer waren Schule der Wissenschaft und religiöser Geheimbund zugleich, in einer Zeit, als Wissenschaft, Philosophie, Magie und Religion noch keine getrennten Wege gingen. Ihr Eid galt dem, „der unserer Seele die Tetraktys übergab, die Quelle und Wurzel der ewig strömenden Natur“, also Pythagoras selbst. Die Zeugnisse zur Tetraktys selbst sind spät: der Eid, Lukian, Theon von Smyrna und Iamblichos. Von Philolaos ist das Lob der Zehnzahl überliefert (siehe Die antiken Quellen), dazu die Überlieferung, das Pentagramm sei ihr Erkennungszeichen gewesen.
Für das Zehn-Punkte-Dreieck gibt es zwei verbreitete Deutungen. Die eine sieht darin die harmonischen Verhältnisse der Musik, die andere die Sprünge der Dimensionen, Punkt, Linie, Fläche, Körper. In keiner der beiden hat die Zehn als Summe eine erkennbare Bedeutung. In der Zahlensymbolik dagegen findet man einen deutlichen Hinweis: die vier Welten und die zehn Sephirot des kabbalistischen Lebensbaums und das ihm entsprechende Tarot, wobei die vier Welten den vier Elementen entsprechen.
Es gibt eine saubere Verbindung zwischen den beiden Deutungen. Punkt, Linie, Fläche und Körper sind der Beginn einer unendlichen Kette von Figuren, und diese Kette entspricht den natürlichen Zahlen: Die Zahl der Ecken ist die Zahl selbst, die Linien durch das Vieleck zeigen ihre Teiler. Das sind die Simplexe.
Die geometrische Zahlenkette: Punkt, Linie, Dreieck, Tetraeder (als Viereck mit Diagonalen), und so weiter. Jede Figur zeigt die Teilbarkeit ihrer Zahl.
Zerlegt man sie in ihre Vielecke und Sternpolygone und ordnet diese in einer Divisionstabelle an, zeigt sich: Es gibt genau vier Typen, entsprechend den Teilbarkeiten der Zahlentheorie. In der Musiktheorie heißt dieselbe Tabelle Lambdoma, das wichtigste Diagramm der harmonikalen Forschung. Hier treffen sich die beiden Deutungen.
Einer der vier Typen ist das Pentagramm, 5 : 2 = 2,5. Und 2,5 × 10 = 25 ist die erste Zahl auf einem Zwillingsplatz, die keine Primzahl ist. Die teilenden Zahlen 1, 2, 3 und 4 sichern den Sechsertakt der Primzahlzwillinge, ab der teilenden Primzahl 5 werden die Kanäle dieses Takts „verstopft“ (siehe Das Sieb des Eratosthenes). Die Zehn ist die erste Zahl, die den vierten Typ enthält, 10 : 4 = 2,5, zwei Pentagramme, und damit alle vier vereint (siehe Der Schlüssel zur Tetraktys). Es geht dabei immer um Verhältnisse. Das Zehnersystem hat damit nichts zu tun, die Geometrie beweist es.
Die Divisionstabelle als Sprache
Die Sternpolygone füllen die Tabelle nur zu einem Viertel, nämlich bis zum Quotienten 2, der Diagonale mit den Liniensternen.
Die Divisionstabelle mit den vier Figurentypen als Farben. Sternfiguren gibt es nur bis zum Quotienten 2, also in einem Viertel der Tabelle.
Zähler- und Nennerreihe stehen einander gleichwertig gegenüber und sind beliebig austauschbar. Erst der menschliche Geist teilt der einen Seite das aktive, der anderen das passive Prinzip zu. Die Ursache der Vierheit liegt also in den geraden und ungeraden Zahlen, und zwar in beiden Reihen, und diese Verdopplung zeigt sich zwangsläufig in den Quotienten. „Unendlich groß“ ist die Reihe der Zahlen, „unendlich klein“ die Reihe der Teiler. Zwischen ihnen stehen 2/1 und 1/2, die gedoppelte und die geteilte Einheit, im Verhältnis 4 : 1. Philosophisch gesprochen: Die geteilte und die gedoppelte Einheit vermitteln zwischen dem unendlich Kleinen und dem unendlich Großen.
Auch die Tabelle selbst ist viergliedrig. Die Mathematik nennt zwar nur drei Teilbarkeiten, aber für die Pythagoreer war die Eins keine Zahl, sondern der Urgrund, und doch ist sie die erste einer vierteiligen Tetraktys. Man kann das farbige Muster auch als Interferenzmuster lesen, das entsteht, wenn zwei gleichwertige Zahlenreihen wie zwei Wellen aufeinandertreffen (siehe Alles ist Zahl – alles ist Frequenz).
Eine Tabelle im rechten Winkel ist nur einer von vier Quadranten eines Koordinatensystems. Der Division steht die Multiplikation gegenüber, der Addition die Subtraktion: Auch die vier Grundrechenarten bilden eine Tetraktys (siehe Tetraktys und kartesisches Koordinatensystem). Dieses Koordinatensystem gleicht dem vierpoligen Magneten der Rosenkreuzer (siehe Die geheimen Figuren der Rosenkreuzer) und einem Templerkreuz, und es erinnert an das Primzahlkreuz von Peter Plichta. Ursache und Wirkung, aktiv und passiv sind darin umkehrbar.
Was die Tetraktys sein könnte
Der Versuch einer Umschreibung: Die pythagoreische Tetraktys ist das allgemeine, viergliedrige, hierarchisch-fraktale Ordnungsgefüge, das aus der Drehung der Kreisläufe und der Kombinatorik von Mengen folgt, dargestellt als Punkte, Ecken, Kreise und Kugeln. Sie zeigt sich in Symmetrien wie den fraktalen Vielecken, in den Kristallgittern der Kugelpackungen, in den platonischen Körpern, und sie entsteht aus Kreis und Kugel in beliebig vielen Dimensionen, deren ebene Abbilder die Simplexe sind (siehe Simplex – die feste Form der Zahl). Wie sich das in der Verteilung der Primzahlen und in der Kreiszahl π zeigt, behandelt die Rubrik Zahlentheorie.
Das Pentagramm im Leben
Zum Schluss eine Beobachtung, die man leicht für eine nachträglich zurechtgelegte Analogie halten könnte. Blickt man entlang der Achse auf die DNA, das Erbmolekül, sieht man einen zehnzähligen Querschnitt: Eine volle Windung der Doppelhelix hat rund zehn Basenpaare, und die Anordnung lässt sich als zwei ineinander verschränkte Fünfecke oder als doppeltes Pentagramm lesen. Die Länge einer Windung und der Durchmesser der Helix, etwa 34 und 20 bis 21 Ångström, stehen ungefähr im Goldenen Schnitt, und 21 und 34 sind aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen.
Das doppelte Pentagramm 10/4. Ein Querschnitt durch die DNA zeigt eine ähnliche zehnzählige Figur. Mit „Zeichnen“ entsteht sie Linie für Linie.
Für die Tetraktys und die Primzahlen ist daran vor allem der Gedanke reizvoll, dass sich gerade das Prinzip des Lebens, das seit jeher das Pentagramm verkörpert, in der Figur 10 : 4 zeigt, der ersten, in der alle vier Typen zusammenkommen. Ein Beweis ist das nicht, aber ein Hinweis, der zum Weiterdenken einlädt. Einen guten Einstieg in die Geometrie des Pentagramms in der Natur gibt eine Dokumentation des Bildungssenders BR-alpha.
Dieselbe Verbindung von Zehn und Pentagramm zeigt ein berühmter kabbalistisch-rosenkreuzerischer Kupferstich von Heinrich Khunrath aus dem Jahr 1595: in der Mitte der „Gottmensch“ Adam Kadmon im flammenden Fünfstern, ringsum zehn Kreise, die zehn Sephirot, und darüber der Gottesname in Form einer Tetraktys (siehe Die Kabbala).