Geometrie

Das Pentagramm und der Goldene Schnitt

Im Pentagramm steckt ein kleineres Fünfeck, darin wieder ein Pentagramm, ohne Ende. Alle Strecken stehen im Goldenen Schnitt zueinander, und an dieser Figur erkannten die Pythagoreer vielleicht zum ersten Mal, dass es Verhältnisse gibt, die keine Zahl ausdrückt.

Das Pentagramm war das Erkennungszeichen der Pythagoreer. Man zeichnet es, indem man in einem regelmäßigen Fünfeck jeden zweiten Eckpunkt verbindet, in einem einzigen Zug. Es ist das erste Sternpolygon überhaupt, {5/2}, und damit die erste in einem Zug gezeichnete Figur, die sich selbst schneidet (siehe Simplexe und Sternpolygone).

Punkte

Der Simplex des Fünfecks: Fünfeck und Pentagramm, zusammen alle zehn Verbindungen zwischen fünf Punkten.

Eine Figur, die sich selbst enthält

Die fünf Schnittpunkte der Linien bilden in der Mitte ein kleineres Fünfeck. Es steht auf dem Kopf. Verbindet man in ihm wieder jeden zweiten Punkt, entsteht ein kleineres Pentagramm, in dessen Mitte wieder ein Fünfeck liegt, und so weiter ohne Ende. Jede Stufe ist eine verkleinerte, gedrehte Kopie der vorigen, um den Faktor $\varphi^{2} \approx 2{,}618$ kleiner. Das Pentagramm ist damit ein einfaches Fraktal, verwandt mit den fraktalen Vielecken, in denen ab dem Fünfeck die Überschneidungen beginnen.

Tiefe Strecken markieren

d Diagonales Seitexyd : s = s : x = x : y = φ ≈ 1,618

Pentagramme ineinander, mit dem Regler bis zur fünften Stufe. Die beiden Schnittpunkte teilen die Diagonale d in x, y und x. Darunter liegen die Längen nebeneinander: d, die Seite s = x + y, dann x und y. Jede ist das φ-Fache der nächsten.

Der Goldene Schnitt

Eine Diagonale des Fünfecks wird von den beiden anderen Linien, die sie kreuzt, in drei Stücke geteilt: außen zwei gleiche Stücke x, in der Mitte ein kürzeres y. Zwischen diesen Strecken herrscht immer dasselbe Verhältnis:

$$\frac{d}{s} = \frac{s}{x} = \frac{x}{y} = \varphi$$

Dabei ist d die Diagonale und s die Seite des Fünfecks. Die Zahl $\varphi$ heißt Goldener Schnitt:

$$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}6180339887\ldots$$

Eine Strecke ist im Goldenen Schnitt geteilt, wenn sich das Ganze zum größeren Teil verhält wie der größere Teil zum kleineren. Das Pentagramm teilt jede seiner Linien genau so, an jeder Stelle und auf jeder Stufe.

$\varphi$ hat bemerkenswerte Eigenschaften. Sein Quadrat ist um genau eins größer, sein Kehrwert um genau eins kleiner:

$$\begin{gathered} \varphi^2 = \varphi + 1 \approx 2{,}618 \\ \frac{1}{\varphi} = \varphi - 1 \approx 0{,}618 \end{gathered}$$

Als Kettenbruch ist $\varphi$ die einfachste aller Zahlen, nur Einsen: 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Gerade deshalb lässt es sich durch Brüche so schlecht annähern wie keine andere Zahl. Die besten Näherungen liefern die Fibonacci-Zahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 …, bei denen jede die Summe der beiden vorigen ist:

Die Quotienten pendeln um $\varphi$ und kommen ihm immer näher, ohne es je zu erreichen. Auffällig: Die ersten Brüche der Reihe, 2 : 1 und 3 : 2, sind Oktave und Quinte, die Intervalle der Tetraktys.

Das Geheimnis des Hippasos

Im Pentagramm steckt eine Entdeckung, die das pythagoreische Weltbild erschütterte. Wenn alles Zahl ist, müssten sich Seite und Diagonale des Fünfecks wie zwei ganze Zahlen verhalten. Das tun sie nicht. Versucht man, beide mit einem gemeinsamen Maß zu messen, zieht man die Seite von der Diagonale ab und erhält x, zieht x von der Seite ab und erhält y, und findet sich im kleineren Pentagramm in der Mitte wieder, vor derselben Aufgabe. Das Verfahren endet nie. Es gibt kein gemeinsames Maß, das Verhältnis ist irrational.

Stufen

Die Wechselwegnahme im Pentagramm. Die Diagonale (rot) minus die Seite (türkis) ergibt die Diagonale des inneren Fünfecks, die Seite minus diesen Rest seine Seite. Mit jeder Stufe landet man im nächstkleineren Pentagramm, die Reste werden kleiner, aber nie null.

Die spätere Überlieferung erzählt, ein Pythagoreer habe diese Einsicht verraten und sei dafür bestraft worden. Die moderne Forschung verbindet das oft mit Hippasos von Metapont, den Iamblichos allerdings wegen des Dodekaeders im Meer umkommen lässt (siehe Pythagoras: der Naturforscher). Dass er die Irrationalität gerade am Pentagramm entdeckte, vermutete der Philologe Kurt von Fritz 1945. Belegt ist es nicht, aber es liegt nahe, denn das Pentagramm führt einem die unendliche Wiederholung vor Augen.

Der Grenzüberschreiter

Auf dieser Seite erscheint das Pentagramm immer wieder an derselben Stelle: dort, wo eine geschlossene Ordnung aufbricht.

• Als Bruch ist es 5 : 2 = 2,5, und 2,5 × 10 = 25 ist die Zahl, bei der die Ordnung der Primzahlzwillinge endet.
• Mit Fünfecken lässt sich weder die Ebene noch der Raum lückenlos füllen. Das Fünfeck liegt zwischen den pflasterbaren Vielecken Viereck und Sechseck (siehe Kreis, Dreieck und Quadrat). Ganz ohne Ordnung bleibt die Fünf dabei aber nicht: Mit zwei Rauten im Goldenen Schnitt lässt sich die Ebene doch füllen, nur nie periodisch, und eine verwandte, räumliche Ordnung fand man 1982 in den Quasikristallen.
• Im vierdimensionalen 5-Zeller erscheint es als Projektion und überschreitet die Grenze des Raumes.
• Das Dodekaeder aus zwölf Fünfecken durchbrach die Ordnung der Vier bei den platonischen Körpern, und Ikosaeder und Dodekaeder sind vom Goldenen Schnitt durchzogen (siehe Die platonischen Körper).
• Auch Pflanzen rechnen mit dem Goldenen Schnitt. Sonnenblumenkerne stehen um den Goldenen Winkel von 137,5 Grad versetzt, und ihre Spiralen zählen Fibonacci-Zahlen.

Symbol des Lebens

Weil der Goldene Schnitt in Pflanzen wiederkehrt, in Blattstellungen und Blütenständen, und manche ihn auch in den Proportionen des menschlichen Körpers sehen, was umstritten ist, gilt er in der Hermetik als Prinzip des Lebendigen. Das Pentagramm mit seinen fünf Spitzen wurde spätestens seit der Renaissance als Bild des Menschen gelesen, mit Kopf, Armen und Beinen, und die Fünf als Zahl des Menschen. Die Pythagoreer nannten es nach Lukian Hygieia, Gesundheit, und in der Renaissance schrieb man die Buchstaben dieses Wortes an seine Spitzen. In der Magie wurde es zum Schutzzeichen, bei Eliphas Lévi zum Zeichen des Mikrokosmos. Dass hier die Grenze zwischen Mathematik und Deutung verläuft, sollte man dabei im Blick behalten: Die Verhältnisse im Pentagramm lassen sich beweisen, ihre Bedeutung nicht.

Quellen und Literatur

Quellen

• Euklid, Elemente, um 300 v. Chr., Buch VI, Definition 3, und Buch XIII
• Luca Pacioli, De divina proportione, Venedig 1509
• Lukian, Über einen Fehler beim Grüßen 5 (das Pentagramm als Zeichen der Gesundheit)
• Kurt von Fritz, The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum, Annals of Mathematics 46, 1945
• Dan Shechtman u. a., Metallic Phase with Long-Range Orientational Order and No Translational Symmetry, Physical Review Letters 53, 1984

Zum Weiterlesen

• Mario Livio, Der Goldene Schnitt, München 2003