Die Trojaner – das gleichseitige Dreieck am Himmel
Sonne, Jupiter und tausende Asteroiden bilden gleichseitige Dreiecke. Lagrange fand diese Lösung 1772, 1906 wurde der erste Trojaner entdeckt.
Zwei Körper, die sich gegenseitig anziehen, umkreisen einander auf Ellipsen. Das hat Newton vollständig gelöst. Schon bei drei Körpern gibt es keine allgemeine Lösung mehr, ihre Bahnen können beliebig verwickelt werden. Umso bemerkenswerter ist, dass es zwei einfache Ordnungen gibt, in denen drei Körper für immer ihre Form behalten: die Linie und das Dreieck.
Linie und Dreieck
Leonhard Euler fand 1767 Lösungen, in denen die drei Körper auf einer Geraden liegen und sich gemeinsam drehen. Joseph-Louis Lagrange fand 1772 die zweite Art: Die drei Körper stehen an den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks, und das Dreieck dreht sich als Ganzes, ohne seine Form zu ändern. Das gilt, wie groß die drei Massen auch sind.
Ist einer der Körper sehr klein, etwa ein Asteroid neben Sonne und Jupiter, gibt es fünf Orte, an denen er mit den beiden großen mitlaufen kann, die Lagrange-Punkte. L1, L2 und L3 liegen auf der Linie durch Sonne und Jupiter, das sind Eulers Lösungen. L4 und L5 liegen 60 Grad vor und hinter Jupiter auf seiner Bahn, dort bilden Sonne, Jupiter und Asteroid ein gleichseitiges Dreieck.
Sonne (gold), Jupiter (rot) und die Trojaner an L4 und L5. Mit Jupiter mitgedreht stehen die beiden Dreiecke still, und man sieht die Asteroiden langsam um L4 und L5 pendeln. Von außen gesehen dreht sich die ganze Figur um die Sonne. Vereinfacht, mit kreisförmiger Bahn.
Die Punkte auf der Linie sind instabil. Ein Körper, der dort ein wenig verschoben wird, driftet fort. Die Dreieckspunkte L4 und L5 dagegen sind stabil, solange der größere Körper mindestens etwa 25-mal so schwer ist wie der mittlere. Die Sonne ist rund tausendmal so schwer wie Jupiter, also halten sich dort Asteroiden über Milliarden Jahre. Sie stehen nicht genau auf den Punkten, sondern pendeln in weiten Bögen um sie herum, ein Umlauf dieses Pendelns dauert rund 150 Jahre.
Die Trojaner
Lagranges Lösung war mehr als hundert Jahre lang reine Mathematik. 1906 entdeckte Max Wolf in Heidelberg einen Asteroiden 60 Grad vor Jupiter und nannte ihn Achilles. Bald folgten weitere, und man benannte sie nach den Helden des Trojanischen Krieges: Vor Jupiter, bei L4, liegt das Lager der Griechen, hinter ihm, bei L5, das der Trojaner. Zwei Namen wurden vergeben, bevor die Regel feststand, und so steht Hektor im griechischen Lager und Patroklos im trojanischen.
Heute kennt man weit über zehntausend Jupiter-Trojaner. Seit 2021 ist die Raumsonde Lucy unterwegs, die ab 2027 mehrere von ihnen besuchen soll. Sie gelten als unveränderte Reste aus der Entstehungszeit der Planeten.
Dreiecke überall
Trojaner gibt es nicht nur bei Jupiter. Neptun und Mars haben ihre eigenen, und auch die Erde führt mindestens zwei kleine Begleiter an ihrem Punkt L4 mit, 2010 TK7 und 2020 XL5. Die Saturnmonde Tethys und Dione teilen ihre Bahnen jeweils mit zwei winzigen Monden, die 60 Grad vor und hinter ihnen laufen.
Die Raumfahrt nutzt die Punkte auf der Linie. Das Weltraumteleskop James Webb steht nahe dem Punkt L2 von Sonne und Erde, 1,5 Millionen Kilometer von der Erde entfernt, das Sonnenobservatorium SOHO nahe L1.
Was das bedeutet
In der Tetraktys folgt auf den Punkt die Linie und auf die Linie das Dreieck (siehe Vom Punkt zum Körper). Dieselbe Folge zeigt die Mechanik des Himmels: Drei Körper können ihre Form nur als Linie oder als Dreieck bewahren, und nur das Dreieck ist stabil. Das gleichseitige Dreieck, die erste Fläche der Pythagoreer, ist die einfachste dauerhafte Ordnung, die drei Himmelskörper miteinander eingehen können.