Einführung

Vom Punkt zum Körper

Die vier Reihen der Tetraktys als die vier Stufen des Raumes, und wie aus gestapelten Dreiecken ein Tetraeder wird.

Eine der ältesten Deutungen der Tetraktys liest ihre vier Reihen als Stufen der Dimension:

1. Ein Punkt hat keine Ausdehnung.
2. Zwei Punkte bestimmen eine Linie, die erste Dimension.
3. Drei Punkte, die nicht auf einer Linie liegen, spannen eine Fläche auf, ein Dreieck.
4. Vier Punkte, die nicht in einer Ebene liegen, schließen einen Körper ein, das Tetraeder.

Mit vier Punkten ist also der dreidimensionale Raum vollständig. Das Tetraeder ist der einfachste Körper, den es gibt: Es hat vier Ecken, sechs Kanten und vier Dreiecksflächen, und jede Ecke ist mit jeder anderen verbunden.

Eine alte Lehre

Diese Deutung ist alt und gut belegt. Speusippos, Platons Neffe und sein Nachfolger an der Akademie, schrieb ein Buch Über die pythagoreischen Zahlen, von dem ein längeres Stück erhalten ist. Darin heißt es, die Eins sei der Punkt, die Zwei die Linie, die Drei das Dreieck und die Vier die Pyramide, und jede davon sei die erste ihrer Art. Darum, so Speusippos, sei die Zehn vollkommen, denn sie enthalte in 1 + 2 + 3 + 4 alle Stufen vom Punkt bis zum Körper.

Euklid beginnt seine Elemente um 300 v. Chr. mit denselben Stufen: „Ein Punkt ist, was keine Teile hat. Eine Linie ist breitenlose Länge.“ Danach folgt die Fläche, der Körper erst im elften Buch. Und noch 1730 antwortet der Lehrling in Samuel Prichards Freimaurerkatechismus auf die Frage nach den vier Grundsätzen der Maurerei: „Punkt, Linie, Fläche und Körper“, die Linie sei „Länge ohne Breite“, beinahe wörtlich wie bei Euklid (siehe Polygone und Sternpolygone in der Freimaurerei).

Warum hört es bei vier auf? Aristoteles gibt am Anfang seiner Schrift Über den Himmel die Antwort: Eine Größe kann sich in eine, zwei oder drei Richtungen erstrecken, und mehr gibt es nicht. Der Körper ist deshalb vollständig, „denn die Drei ist alles“. Mit dem Punkt als Anfang sind es vier Stufen. Erwogen hat man eine vierte Richtung schon früher, doch erst die Mathematik des 19. Jahrhunderts hat eine Geometrie mit beliebig vielen Dimensionen ausgearbeitet (siehe unten).

Die Tetraktys im Raum

Man kann die Figur auch wörtlich in den Raum heben. Dazu legt man Kugeln in eine Dreiecksform aus 10 Kugeln, darauf eine Schicht aus 6, darauf 3 und obenauf eine einzelne. Es entsteht eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche, ein Tetraeder aus Kugeln. Jede Schicht ist dabei selbst eine Dreieckszahl.

Schichten

Jede Schicht ist ein Punktedreieck. Zusammen ergeben 1 + 3 + 6 + 10 = 20 Kugeln ein Tetraeder. Ziehen dreht das Modell.

Die Gesamtzahlen heißen Tetraederzahlen: 1, 4, 10, 20, 35, 56 … Auffällig ist, dass die Zehn hier gleich zweimal auftaucht: als vierte Dreieckszahl und als dritte Tetraederzahl.

$$\mathrm{Te}(n) = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$$

Die Anordnung im Modell ist übrigens kein Zufall. So stapelt ein Obsthändler Orangen, und so ordnen sich in vielen Metallen die Atome an. Es ist die dichteste Art, gleich große Kugeln zu packen. Johannes Kepler vermutete das schon 1611. Bewiesen hat es erst der amerikanische Mathematiker Thomas Hales, der 1998 einen Beweis vorlegte, der sich auf umfangreiche Computerrechnungen stützt. Die Gutachter konnten ihn nach Jahren nur „zu 99 Prozent“ bestätigen. Deshalb ließ Hales ihn mit einem Team im Projekt Flyspeck vollständig von Computerprogrammen nachprüfen, die jeden logischen Schritt kontrollieren. Das gelang 2014, veröffentlicht wurde es 2017. Gut vierhundert Jahre nach Kepler ist die Vermutung damit endgültig ein Satz.

Und weiter?

Das Muster bricht beim Tetraeder nicht ab. Nimmt man einen fünften Punkt hinzu und verbindet ihn mit allen vier Ecken, entsteht die vierdimensionale Entsprechung des Tetraeders. Solche Figuren heißen Simplexe. Man kann sie nicht mehr bauen, aber zeichnen, und dabei zeigen sie eine überraschende innere Ordnung. Davon handelt die nächste Seite.

Quellen und Literatur

Quellen

• Speusippos, Fragment aus Über die pythagoreischen Zahlen, überliefert in den Theologumena arithmeticae
• Euklid, Elemente I, Definitionen 1 und 2
• Aristoteles, Über den Himmel I 1, 268a
• Samuel Prichard, Masonry Dissected, London 1730
• Thomas C. Hales u. a., A formal proof of the Kepler conjecture, Forum of Mathematics, Pi 5, 2017