Quasikristalle – die verbotene Fünf
Kristalle können keine fünfzählige Symmetrie haben, lehrte die Kristallographie. 1982 fand Dan Shechtman sie doch. Die Ordnung dahinter ist die der Penrose-Pflasterung und des Goldenen Schnitts.
Mit Fünfecken lässt sich die Ebene nicht lückenlos und regelmäßig pflastern. Das gehört zu den ältesten Einsichten der Geometrie, und auf dieser Seite ist es das Kennzeichen des Pentagramms als „Grenzüberschreiter“ (siehe Kreis, Dreieck und Quadrat). Die Kristallographie hat daraus ein Gesetz gemacht, die kristallographische Restriktion: Ein Kristall, dessen Muster sich regelmäßig wiederholt, kann nur Symmetrien der Ordnung 1, 2, 3, 4 und 6 haben. Eine Fünf ist verboten.
Die Entdeckung
Am 8. April 1982 untersuchte der israelische Materialforscher Dan Shechtman eine rasch abgekühlte Legierung aus Aluminium und Mangan im Elektronenmikroskop. Das Beugungsbild zeigte zehn helle Punkte im Kreis, eine zehnzählige, also fünfzählige Symmetrie. In sein Notizbuch schrieb er „10 fold???“. Nach der geltenden Lehre konnte es so etwas nicht geben.
Die Fachwelt reagierte abweisend. Shechtman wurde gebeten, seine Forschungsgruppe zu verlassen, und der zweifache Nobelpreisträger Linus Pauling spottete, es gebe keine Quasikristalle, nur Quasi-Wissenschaftler. Erst 1984 konnte Shechtman mit Kollegen veröffentlichen. Nach und nach fanden andere Labore dasselbe, 1992 änderte die Internationale Union für Kristallographie ihre Definition des Kristalls, und 2011 erhielt Shechtman den Nobelpreis für Chemie. 2009 fand man sogar einen natürlichen Quasikristall, in einem Meteoriten aus dem Nordosten Russlands.
Ordnung ohne Wiederholung
Die Auflösung des Rätsels: Quasikristalle sind streng geordnet, aber ihr Muster wiederholt sich nie genau. Das mathematische Vorbild dafür hatte der Physiker Roger Penrose schon 1974 gefunden. Mit nur zwei Rauten, einer dicken mit Winkeln von 72° und 108° und einer dünnen mit 36° und 144°, lässt sich die Ebene lückenlos pflastern, aber nie periodisch. Überall findet man fünfzählige Sterne und Zehnecke.
Eine Penrose-Pflasterung aus dicken (gold) und dünnen (blau) Rauten. Jede Stufe teilt die Rauten nach festen Regeln in kleinere. Das Verhältnis von dicken zu dünnen Rauten nähert sich dem Goldenen Schnitt.
Der Goldene Schnitt steckt überall in dieser Pflasterung: in den Winkeln der Rauten, in ihrem Flächenverhältnis und im Verhältnis ihrer Anzahlen, das sich mit jeder Stufe φ = 1,618 … nähert. Dieselben Verhältnisse zeigt das Beugungsbild der echten Quasikristalle. Die Zahl, die im Pentagramm die unendliche Selbstähnlichkeit erzeugt (siehe Das Pentagramm und der Goldene Schnitt), ordnet hier die Atome einer Legierung.
Ein alter Vorläufer
Lange vor Penrose haben Menschen mit solchen Mustern gearbeitet. Kepler zeichnete in seiner Harmonice Mundi von 1619 Flächen aus Fünfecken, Pentagrammen und Zehnecken und kam einer nichtperiodischen Pflasterung erstaunlich nahe. Die Physiker Peter Lu und Paul Steinhardt zeigten 2007, dass Mosaike an islamischen Bauten wie dem Darb-i-Imam-Schrein in Isfahan (1453) mit wenigen Grundformen fast vollkommene quasikristalline Muster bilden, rund fünfhundert Jahre vor ihrer mathematischen Beschreibung.
Die Fünf, die in der Ebene und im Raum keine regelmäßige Wiederholung zulässt, erzeugt also keine Unordnung, sondern eine andere, höhere Ordnung: nie gleich und doch nach strengem Gesetz. Genau so beschreibt diese Seite die Rolle der Fünf in der Verteilung der Primzahlen (siehe Die Unordnung der Primzahlen).