Bemerkenswertes zur Zahl 24
1 × 2 × 3 × 4 = 24. Vier Sechsertakte vor der 25, 24 Symmetrien des Tetraeders, 24 Kanten im Urfraktal und die Kusszahl der vierten Dimension.
Die Tetraktys hat zwei Gesichter, die Summe und das Produkt:
1 + 2 + 3 + 4 = 10
1 × 2 × 3 × 4 = 24
Die 24 ist die letzte Zahl vor 25 = 5 × 5, der Stelle, an der die Ordnung der Primzahlzwillinge aufbricht. Die 24 taucht an erstaunlich vielen Stellen auf.
In der Zahlentheorie
- Vier Sechsertakte. Bis 24 gibt es genau vier Sechsertakte, und in allen sind die Zwillingsplätze vollständig mit Primzahlen besetzt. Die Unordnung beginnt mit 25.
- Sieben Primzahlen. Bis 24 liegen genau sieben Primzahlen im Sechsertakt (5, 7, 11, 13, 17, 19, 23). Mit 1, 2 und 3 sind es zehn.
- p² − 1. Nimmt man eine Primzahl größer als 3, quadriert sie und zieht 1 ab, ist das Ergebnis immer durch 24 teilbar: 5² − 1 = 24, 7² − 1 = 48, 11² − 1 = 120. Das folgt aus dem Sechsertakt, denn jede solche Primzahl ist 6n ± 1.
- Primzahlkreuz. In Ringen zu 24 liegen alle Primzahlen ab 5 auf acht Strahlen (siehe Primzahlkreuz).
Die ersten acht Sechsertakte. Bis 24 sind alle Zwillingsplätze Primzahlen. Die 25 ist der erste leere Platz.
Warum p² − 1 durch 24 teilbar ist
Der Beweis ist kurz und schön. Nach der dritten binomischen Formel ist
p² − 1 = (p − 1) · (p + 1)
Weil p > 3 eine Primzahl ist, ist p ungerade, also sind p − 1 und p + 1 zwei benachbarte gerade Zahlen. Von zwei benachbarten geraden Zahlen ist eine durch 4 teilbar, das Produkt also durch 8. Außerdem ist von den drei aufeinanderfolgenden Zahlen p − 1, p und p + 1 eine durch 3 teilbar, und das kann nicht p sein. Also ist das Produkt auch durch 3 teilbar, insgesamt durch 24. Weil 5² − 1 = 24 ist, gibt es keinen größeren Teiler, der immer passt. (Nach einer Darstellung von Werner Brefeld, siehe Links.)
Die Quotienten (p² − 1) : 24 sind 1, 2, 5, 7, 12, 15 … Das sind die verallgemeinerten Fünfeckszahlen n · (3n − 1) : 2 für n = 1, −1, 2, −2, 3, −3 … Schreibt man p = 6n ± 1, folgt das direkt. Ob diese Fünfeckszahlen etwas mit dem Pentagramm zu tun haben, das in den Simplexen gleich nach der 24 die Unordnung einleitet (2,5 · 10 = 25), wäre zu untersuchen. Die 5 ist die erste Primzahl auf einem Zwillingsplatz 6n ± 1, die 25 die erste Nichtprimzahl auf einem solchen Platz.
Quadrate, Ringe und die 24
Legt man Quadrate mit ungerader Seitenlänge ineinander, hat jeder Ring um das Quadrat der Seitenlänge 2k − 1 genau 8k Felder: 8, 16, 24, 32 … Lässt man nun alle durch drei teilbaren Seitenlängen weg, bleiben genau die Zwillingsplätze 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19 … übrig, einschließlich der 1, aber ohne 2 und 3. Die Felder zwischen zwei aufeinanderfolgenden dieser Quadrate sind immer ein Vielfaches von 24:
| Seiten | Felder dazwischen | geteilt durch 24 |
|---|---|---|
| 1 → 5 | 24 | 1 |
| 5 → 7 | 24 | 1 |
| 7 → 11 | 72 | 3 |
| 11 → 13 | 48 | 2 |
| 13 → 17 | 120 | 5 |
| 17 → 19 | 72 | 3 |
| 19 → 23 | 168 | 7 |
| 23 → 25 | 96 | 4 |
Im Wechsel ergeben sich die Folgen 1, 2, 3, 4 … (zusammengezählt die Dreieckszahlen) und 1, 3, 5, 7 … (zusammengezählt die Quadratzahlen). Zwei Grundformen der figurierten Zahlen stecken so in einer einzigen Figur.
Pyramidenzahlen und die 24
Stapelt man Kugeln zur quadratischen Pyramide, wie Kanonenkugeln oder Orangen, ergeben sich die Pyramidenzahlen 1, 5, 14, 30 … mit der Formel
P(n) = n (n + 1) (2n + 1) : 6
Für n = 24 ist P(24) = 24 · 25 · 49 : 6 = 4900 = 70², denn 24 : 6 = 4, 25 und 49 sind selbst Quadratzahlen. Ein Stapel aus 4900 Kugeln lässt sich also auch flach zu einem Quadrat von 70 × 70 legen. Édouard Lucas fragte 1875, ob es weitere solche Fälle gibt, und G. N. Watson bewies 1918: Außer der 1 ist 24 die einzige Höhe, bei der die Pyramide eine Quadratzahl ergibt.
Fibonacci-Zahlen und die 24
Bildet man von den Fibonacci-Zahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 … die einstellige Quersumme, wiederholt sich die Folge ohne Ende im Takt von 24:
Stellt man die ersten zwölf den zweiten zwölf gegenüber, ergänzen sie sich jeweils zu 9, nur am Ende stehen zwei Neunen übereinander. Quersummen hängen allerdings vom Zählsystem ab: Es ist die Neunerprobe, denn eine Zahl und ihre Quersumme unterscheiden sich im Zehnersystem immer um ein Vielfaches von 9. Weil diese Seite gerade die „Dezimalcodierung“ der Simplexe und ihre Verbindung zur 24 zum Thema hat, verdient diese Tatsache trotzdem Beachtung. Die Fibonacci-Folge steht ihrerseits im Pascalschen Dreieck und hängt mit dem Goldenen Schnitt zusammen (siehe Pentagramm und Goldener Schnitt).
In der Geometrie
- Das Urfraktal des Tetraeders hat 10 Ecken und 24 Kanten (siehe Die lückenlose Raumfüllung).
- Das Kuboktaeder, die Anordnung von zwölf Kugeln um eine, hat 24 Kanten. Das Sterntetraeder hat 24 Dreiecksflächen.
- Würfel und Oktaeder: 6 × 4 = 8 × 3 = 24.
- Parkettierungen: Alle Vielecke, die in regelmäßigen und archimedischen Pflasterungen vorkommen, haben eine Eckenzahl, die 24 teilt: 3, 4, 6, 8, 12 (siehe Kreis, Dreieck und Quadrat).
- Kusszahl: Im vierdimensionalen Raum berühren genau 24 Kugeln eine weitere (siehe Kusszahlen).
Symmetrien des Tetraeders und Gruppentheorie
Einen weiteren Zugang bietet die Gruppentheorie, die Grundlage der modernen Symmetrieforschung. Eine „Gruppe“ ist dort die Menge aller Drehungen und Spiegelungen, die eine Figur auf sich selbst abbilden, sodass sie sich nicht verändert. Komplexe Symmetrien lassen sich aus mehreren Gruppen zusammensetzen.
Das Tetraeder hat 12 Drehungen. Zusammen mit den 12 Abbildungen, die Spiegelungen enthalten (6 Ebenenspiegelungen und 6 Drehspiegelungen), sind es 24. Anders gerechnet: Das Dreieck hat 3 Drehungen und 3 Spiegelungen, und mal die 4 Flächen des Tetraeders ergibt wieder 24. Das sind genau alle Möglichkeiten, die vier Ecken anzuordnen: 1 × 2 × 3 × 4.
Verwandte Themen und Schnittstellen: die „Anatomie des Raumes“ mit dem kubischen Kristallsystem, das Leech-Gitter in der Dimension 24 und die Ordnung der Primzahlen. Außerdem gibt es eine gedankliche Verbindung zum Sefer Jezira, in dem Permutation und Kombinatorik, die Werkzeuge der Gruppentheorie, im Mittelpunkt eines Schöpfungsakts stehen. Daraus ergeben sich zwei Thesen: dass die jüdische Geheimlehre dem Platonismus und Pythagoreismus sehr nahesteht, und dass antike Denker die „moderne“ Gruppentheorie vielleicht schon bewusst angewendet haben.
Auffällig ist, dass auch Peter Plichta die 24 mit einem vierdimensionalen Raum in Verbindung bringt und dem Sierpinski-Dreieck eine wichtige Rolle gibt, Kusszahlen und Kugelpackungen aber gar nicht erwähnt. Seine Theorien sind älter als der Beweis, dass die Kusszahl in vier Dimensionen genau 24 ist (Oleg Musin, 2003). Ob hier ein direkter Zusammenhang besteht, wäre zu untersuchen. Zum Schluss noch einmal die beiden Gesichter der Tetraktys nebeneinander: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 und 1 × 2 × 3 × 4 = 24.
In Symbolik und Kalender
Die 24 Stunden des Tages, die 24 Ältesten der Offenbarung, der 24. Dezember und der 24. Juni als Johannistag: Diese Spuren behandelt Der Thron Gottes und die Zahl 24. Dabei ist ein nüchterner Einwand zu bedenken: Wer eine Zeiteinteilung erfindet, wählt aus praktischen Gründen eine gerade, hoch zusammengesetzte Zahl, um Brüche zu vermeiden. Die 24 wäre ein Favorit, ganz ohne tiefere Gründe.