Zahlentheorie

Das Primzahlkreuz von Peter Plichta

Die Zahlen in Ringen zu 24 angeordnet. Alle Primzahlen ab 5 liegen auf nur acht Strahlen, die ein Kreuz bilden.

Der Chemiker und Privatgelehrte Peter Plichta (geboren 1939) machte in den 1990er-Jahren das Primzahlkreuz bekannt. Man ordnet die natürlichen Zahlen in konzentrischen Ringen zu je 24 an. Dann liegen alle Primzahlen ab 5 auf nur acht der 24 Strahlen, nämlich auf denen mit dem Rest 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19 oder 23 beim Teilen durch 24. Je zwei dieser Strahlen liegen einander gegenüber, und zusammen bilden sie ein Kreuz.

Die Zahlen 1 bis 192 in Ringen zu 24. Rot: Primzahlen. Hellrot: Zahlen auf den acht Strahlen, die keine Primzahlen sind, beginnend mit 25 = 5 × 5.

Dass alle Primzahlen größer als 3 auf diesen acht Strahlen liegen, folgt direkt aus dem Sechsertakt: 24 = 4 × 6, und die acht Reste sind genau die Zahlen unter 24, die weder durch 2 noch durch 3 teilbar sind. Auf den Strahlen liegen aber auch Nichtprimzahlen, die ersten sind 25, 35, 49 und 55. Das sind dieselben „Pseudoprimzahlen“, die unter Die Unordnung der Primzahlen beschrieben sind.

Einordnung

Plichtas Entdeckung und die Bedeutung, die er der Zahl 24 gab, verdienen Anerkennung. Zu kritisieren ist aber, dass daraus eine Art Glaubenslehre geworden ist, die andere Zugänge ausblendet. Als ein Ruheständler Plichta auf das 30er-Raster der Primzahlen hinwies, das ebenfalls alle Primzahlplätze enthält, soll dieser kein Interesse gezeigt haben.

Die Fachwelt ignoriert Plichtas Primzahlkreuz und seine These von der Schlüsselrolle der 24. Wer seine Bücher nicht gelesen hat, sollte mit einem Urteil vorsichtig sein. Wer sie liest, ahnt allerdings, warum: manche Herleitungen nach dem Analogieprinzip halten keiner Prüfung stand, Deutungen, wie sie hier unter Mystik und Philosophie stehen, gehören nicht in ein Fachbuch, und Privates und Fachliches gehen ständig durcheinander, in einem Ton, der viele Leser abschreckt. Das sollte aber nicht dazu verleiten, auch die sachlichen Inhalte abzutun. Plichta ist vor allem Chemiker und sucht Entsprechungen zwischen Primzahlkreuz und Atombau. Ganz aus der Luft gegriffen ist das nicht, wie die Verbindung der Riemannschen Vermutung mit der Physik zeigt, über die sich Mathematiker und Physiker inzwischen rege austauschen (siehe Primzahlverteilung – eine Frage der Perspektive).

Warum gerade 24?

Auf die Frage, warum die Primzahlen direkt nach der 24 unregelmäßig werden, gibt das Kreuz keine Antwort. Die Einteilung in 24 ergibt dennoch Sinn:

• Bis 24 sind die Primzahlzwillinge lückenlos geordnet.
• Innerhalb der 24er-Abschnitte gibt es eine Primzahlcodierung: Für jede Primzahl p über 3 ist p² − 1 durch 24 teilbar.
• Innerhalb der 24er-Abschnitte gibt es auch eine Dezimalcodierung.

p	p² − 1	als Vielfaches von 24
5	24	1 · 24
7	48	2 · 24
11	120	5 · 24
13	168	7 · 24
17	288	12 · 24
19	360	15 · 24

Der Grund: p − 1 und p + 1 sind zwei aufeinanderfolgende gerade Zahlen, eine davon durch 4 teilbar, und eine der drei Zahlen p − 1, p, p + 1 ist durch 3 teilbar, aber nicht p.

Hinter dem Kreuz steht eine einfache Ordnung. Teilt man die natürlichen Zahlen in drei Gruppen, je nach Rest bei der Division durch drei, springen die Gruppen mit Rest 1 und Rest 2 paarweise, die durch drei teilbaren Zahlen stehen still und sind gleichmäßig verteilt. Weil sich diese Ordnung spiegelt, entsteht der Sechsertakt. Das ist aber erst die Spitze des Eisbergs, oder vielleicht das Fundament. Plichtas Gedanken zum Sechsertakt nach Leibniz und zur 24 sind in Die Ordnung der Primzahlen aufgenommen, ebenso die Frage, ob die 1 eine Primzahl ist, und die Sonderrolle von 2 und 3. Schon Philolaos unterschied an der Zahl zwei eigene Formen, das Ungerade und das Gerade, und eine dritte, aus beiden gemischte, das Gerad-Ungerade, jede mit vielen Gestalten (siehe Die antiken Quellen).

Man könnte meinen, diese Ordnung hänge nur an unserem Zehnersystem und in anderen Zählsystemen gälten andere. Das ist falsch. Sie beruht auf einer strengen Drehmatrix, die sich vollständig mit den Teilereigenschaften der Simplexfiguren deckt, und es gibt nur eine Geometrie der Simplexe, nicht für jedes Zählsystem eine eigene (siehe Simplex – die feste Form der Zahl). Ob man darin eine Spitzfindigkeit sieht oder ein universelles Prinzip, muss jeder selbst entscheiden, nachdem er es nachgeprüft hat.

Das Koordinatensystem unter Tetraktys und kartesisches Koordinatensystem erinnert an das Primzahlkreuz und behandelt dasselbe Thema, ist aber ganz anders aufgebaut.

Warum gerade die 24 so viele Rollen spielt, fasst Die Zahl 24 zusammen.