Zahlentheorie

Tetraktys und kartesisches Koordinatensystem

Die vier Grundrechenarten in den vier Quadranten eines Koordinatensystems. Um Primzahlen zu verstehen, muss man zwischen Rechnen und Zeichnen hin- und herschalten.

Eine Tetraktys steckt auch in den vier Grundrechenarten. Man zeichnet ein kartesisches Koordinatensystem:

• Die beiden Achsen tragen die natürlichen Zahlen, im vollständigen Koordinatensystem auch die negativen. Vom Nullpunkt aus entsprechen sie Addition und Subtraktion.
• Jeder der vier Quadranten ist eine Multiplikations- und zugleich eine Divisionstabelle. Division und Multiplikation bedingen einander.
• Die Felder innerhalb der Quadranten werden nach den drei Teilbarkeiten gefärbt, genau wie in der Divisionstabelle.

Größe

k = 1: die Zahl selbstteilbarteilerfremdgemeinsamer Teiler, nicht teilbar

Ein Quadrant: die Divisionstabelle, gefärbt nach Teilbarkeit. Im vollständigen Koordinatensystem wiederholt sich dieses Muster gespiegelt in allen vier Quadranten.

Der Zahlenstrahl selbst und die drei Teilbarkeiten ergeben zusammen die vier Grundfiguren aus Der Schlüssel zur Tetraktys.

Vier Quadranten, vier Vorzeichen

Das Koordinatensystem mit vier Quadranten, wie wir es heute zeichnen, entstand erst nach Descartes. Er selbst arbeitete fast nur mit positiven Werten, denn negative Zahlen galten zu seiner Zeit noch vielen als „falsche“ Zahlen. Erst mit ihnen wird das Kreuz der Achsen vollständig, und die vier Quadranten bekommen eine eigene Ordnung, die sich an den Vorzeichen zeigt.

Multipliziert man die beiden Koordinaten eines Punktes, entscheidet der Quadrant über das Vorzeichen. Die beiden Quadranten mit gleichen Vorzeichen liegen einander gegenüber und ergeben plus, die beiden mit ungleichen ergeben minus. So zeigt das Bild, warum minus mal minus plus ergibt.

Die Achsen trennen die Ebene in vier Felder, und je zwei davon gehören zusammen. Das ist im Kleinen wieder das Schema, das auf dieser Website oft begegnet: eine Mitte, der Nullpunkt, zwei Gegensätze, plus und minus, und vier Felder, in denen sie sich verbinden. Ein Punkt im dritten Quadranten ist das Spiegelbild eines Punktes im ersten, gespiegelt am Nullpunkt, und sein Produkt bleibt dasselbe. Was beim Rechnen eine Regel ist, die man auswendig lernt, ist in der Zeichnung eine Symmetrie, die man sieht.

Punkte statt Ziffern

Die Botschaft dieses Kapitels ist methodisch. Um die Primzahlen wirklich zu verstehen, muss man gedanklich von der Arithmetik auf die Geometrie umschalten und zurück. Zahlen müssen durch Punkte oder andere Figuren ersetzt werden, die in einem Verhältnis zueinander stehen. Nur so entgeht man den Täuschungen eines Zählsystems. Das hatten schon die Pythagoreer erkannt, die mit Steinchen rechneten. Reines Rechnen verstellt hier oft den Blick, den eine einfache Zeichnung freigibt.

Das Koordinatensystem erinnert an das Primzahlkreuz von Peter Plichta und behandelt dasselbe Thema, ist aber ganz anders aufgebaut.

Quellen und Literatur

Quellen

• René Descartes, La Géométrie, Anhang zum Discours de la méthode, Leiden 1637

Zum Weiterlesen

• Peter Plichta, Das Primzahlkreuz, Düsseldorf 1991