Primzahlverteilung – eine Frage der Perspektive
Warum die Tetraktys mit den Primzahlen zu tun haben soll, warum Fachmathematiker davon wenig halten, und warum es sich trotzdem lohnt, darauf zu bestehen.
Die pythagoreische Tetraktys mit der Verteilung der Primzahlen in Verbindung zu bringen, ist für Berufsmathematiker kein Diskussionsthema. Gerade diese Verbindung ist aber der Kern der hier vorgestellten Gedanken.
Zahlen sind Mengen
Was meinen wir eigentlich mit Zahlen? Zahlzeichen sind Symbole für Mengen, abhängig von einem frei gewählten Stellenwertsystem, bei uns dem Zehnersystem. Wer das Wesen der Zahl erforschen will, muss die Zeichen auf den Naturzustand zurückführen, auf Punkt, Linie, Fläche und Körper, auf die figurierten Zahlen. Das haben schon die Pythagoreer erkannt. Und gerade die Primzahlen, der heilige Gral der Zahlentheorie, sind reine Geometrie: Dreizehn Punkte bleiben eine prime Menge, wie immer man sie schreibt. Wer sich für Primzahlen interessiert, ohne die Geometrie dahinter zu kennen, ist deshalb stark im Nachteil (siehe Zahlentheorie + Geometrie = Philosophie).
Die vollkommenste Symmetrie sind Kreis und Kugel. Daraus erklärt sich auch, warum die Kreiszahl π in Eulers Formeln über die Primzahlen auftaucht, die zur Riemannschen Vermutung führen. Die Rubrik Zahlentheorie betrachtet deshalb Punktabstände auf der Zahlengeraden und im Koordinatensystem, die Zahl und ihre Teiler. Die Rubrik Geometrie betrachtet sie im Raum: Simplexe, Kugelpackungen, platonische Körper. Jeder neue Punkt auf dem Kreis eines Simplex ist ein Sprung in die nächste Dimension, und Simplexe haben unmittelbar mit den Primzahlen zu tun.
Der Simplex: Jeder neue Punkt auf dem Kreis wird mit allen anderen verbunden, ein Sprung in die nächste Dimension.
Der naheliegende Einwand
Ein Einwand kommt immer wieder: Gängige Verschlüsselungen beruhen auf der Zerlegung großer Zahlen in Primfaktoren. Wer in den Primzahlen eine Struktur fände, könnte viele Schlüssel brechen. Daran hätten so viele Leute Interesse, dass es längst geschehen und veröffentlicht wäre.
Die Antwort: Das Problem der Primzahlverteilung ist zu einem guten Teil ein Verständigungsproblem.
Viele Entdecker, wenig Austausch
Die geometrischen Zusammenhänge sind nach dieser Sicht einer kleinen Gruppe von Menschen durchaus bekannt, werden aber nicht breit bekannt gemacht. Die zahlentheoretischen Zusammenhänge stecken bereits im Sieb des Eratosthenes. Das Sieb wurde bisher nur als Werkzeug zum Aussortieren der Nichtprimzahlen benutzt, seine Bedeutung aber nicht erkannt. Es gibt Varianten des Siebs, die zum Aussieben ungeeignet sind, aber viel mehr über den Charakter der Zahlen verraten.
Es gibt mehrere Privatgelehrte, die jeweils einen Teil dieser Ordnung gesehen haben:
- Felix Stoffel veröffentlichte 2010 eine Einteilung der Primzahlen nach einem 30er-Raster in „vier Primzahl-Temperamente“. Er hat damit eine Variante des Siebs gefunden. Jedes richtige System der Primzahlabstände muss das Sieb enthalten, sonst wäre es falsch.
- Peter Plichta entwickelte das Primzahlkreuz und stellte die Zahl 24 in den Mittelpunkt.
- Ein pensionierter Chefkonstrukteur einer Druckmaschinenfirma entdeckte ebenfalls ein 30er-Raster mit allen Primzahlplätzen.
Was dabei übersehen wird: Diese Raster sind „dezimal codiert“. Das wird erst sichtbar, wenn man das Dezimalsystem verlässt und die Geometrie der Simplexe zu Hilfe nimmt. Wären die Freizeitforscher offener füreinander und arbeiteten sie mehr zusammen, wäre das Rätsel längst gelöst. Berufsmathematiker dagegen riskieren ihren Ruf, wenn sie sich von den Axiomen ihres Fachs entfernten.
Die Architektur zwischen den Primzahlen
Der inhaltliche Kern des Einwands ist ein anderer. Die Mathematik richtet ihren Blick auf die Primzahlen selbst. Die Zahlen dazwischen nimmt sie nur am Rande wahr. Die Primzahlen allein zu betrachten heißt aber, den größten Teil des Bildes auszublenden.
Die These: Die Verteilung der Primzahlen wird von einem System bestimmt, das aus einer unendlichen Folge immer größerer Raster besteht. Diese Raster werden von den durch drei teilbaren Zahlen und von den „leeren“ Primzahlplätzen gebildet. Da sich alle Zahlen aus Primfaktoren zusammensetzen, gelten die Primzahlen als Ursache aller anderen. Aber eine unregelmäßige Verteilung kann nicht von den Primzahlen selbst verursacht sein. Symmetrie ist das oberste Gesetz in Natur und Physik, als Gleichgewicht der Kräfte. Symmetrien gibt es auch unter den Zahlen, und dass Primzahlen so oft paarweise auftreten, ist eine davon. Wenn die Primzahlen unregelmäßig verteilt sind, können sie die Symmetrieachsen nicht selbst bilden.
Das Bild dafür: Die Primzahlen sind nicht das Gebäude, sondern das, was zwischen seinen Mauern übrig bleibt.
Am falschen Ende geforscht
Allzu oft wird am falschen Ende des Zahlenstrahls gesucht. Immer größere Primzahlen zu finden ist zu einem Sport geworden, doch was verraten diese Riesen über die Primzahlen? Wer die Kombinatorik der Zahlen verstehen will, muss zur Quelle gehen, zu den ersten Zahlen, aus denen alle weiteren folgen. Um Preisgeld oder Medaillen geht es dabei nicht, niemand wird im Alleingang in den Olymp der Mathematik aufsteigen. Den Ruhm könnte man ohnehin einer Gruppe zusprechen, die vor rund 2500 Jahren lebte und heute meist als Schar mystischer Schwärmer in der Geschichte der Mathematik steht: den Pythagoreern. Was zählt, ist die Erkenntnis selbstständig denkender Menschen.
Warum ist der Zusammenhang von Zahlentheorie und Geometrie in der Schule kein Thema? Gerade für Schüler, die sich mit Mathematik schwertun, wäre die Geometrie der Simplexe ein anschaulicher Zugang zu den sonst so abstrakten Zahlen. Und das Lambdoma, bekannt fast nur aus Musiktheorie und Harmonik, ist für das Verständnis der Primzahlen eigentlich unverzichtbar (siehe Das Lambdoma), ganz zu schweigen von seinen musikalischen Seiten, die unmittelbar in die Physik führen.
Primzahlen in der Natur
Eine zweiteilige Dokumentation von 3sat aus dem Jahr 2010, Die Code-Knacker, erzählt von der Riemannschen Vermutung, die viele Mathematiker umgetrieben hat. Schon Leonhard Euler entdeckte den Zusammenhang zwischen den Primzahlen und der Kreiszahl π, also der Geometrie des Kreises (siehe Die Kreiszahl π). Der zweite Teil zeigt, dass die Verteilung der Primzahlen auch in der Physik eine Rolle spielt: Die Abstände der Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion folgen derselben Statistik wie die Energieniveaus schwerer Atomkerne, und Mathematiker und Physiker arbeiten zusammen, um dem auf den Grund zu gehen.
Und ein Denkanstoß zum Schluss: Wenn man jahrhundertelang vergeblich nach einer Lösung sucht, wäre dann nicht ein anderer Ansatz angebracht?
Weiter mit Die Ordnung der Primzahlen.