Simplexe und Primzahlen in der Divisionstabelle
Die Figuren der Simplexe lassen sich in eine Tabelle aller Brüche auffächern. Die vier Startfiguren bilden darin ein Raster, und die teilerfremden Felder haben die Dichte 6/π².
Geometrie und Zahlentheorie lassen sich eigentlich nicht trennen. Beide bedingen einander und sind als Einheit zu sehen. Am deutlichsten wird das in der Divisionstabelle: einer Tabelle, in der jede Spalte eine Zahl n und jede Zeile einen Teiler k trägt. In der Harmonik heißt dieselbe Tabelle Lambdoma (siehe Das Lambdoma).
Die Figuren auffächern
In jedes Feld (n, k) gehört eine Figur: das n-Eck mit jedem k-ten Punkt verbunden. Nach ihrer Teilbarkeit gefärbt, zeigt die Tabelle, wie die vier Startfiguren verteilt sind.
Die ersten Felder der Divisionstabelle mit ihren Figuren. Spalte = Zahl n, Zeile = Teiler k. Figuren gibt es nur, solange n : k mindestens 2 ist.
Im Großen zeigt die Färbung ein strenges Muster:
Die Divisionstabelle bis 60 × 60 (mit dem Regler bis 200 × 200). Blasse Felder liegen jenseits der Schranke n : k = 2, wo es keine Sternfiguren mehr gibt.
- Die Zeile k = 1 enthält die Zahlen selbst, die Polygone.
- Teilbare Felder (gelb) liegen auf Strahlen, die vom Ursprung ausgehen.
- Teilerfremde Felder (rot) sind neue Verhältnisse, die sich nicht kürzen lassen.
- Felder mit gemeinsamem Teiler, aber nicht teilbar (türkis) wiederholen einen schon bekannten Bruch.
Türkis und Gelb markieren also Brüche, die schon früher vorkamen. Rot markiert jeweils eine neue Konstellation.
Das Muster zwischen den Primzahlen
In einem Roman von Mark Haddon sagt der junge Erzähler sinngemäß, Primzahlen seien das, was übrig bleibt, wenn man alle Muster weggenommen hat. Genau darum geht es hier: Das System hinter den Primzahlen versteht nur, wer das ganze Muster zwischen ihnen untersucht, mit allen Brüchen und vor allem mit der Geometrie dahinter. Die Seite divisorplot.com zeigt eine vereinfachte Fassung, in der statt der Brüche nur die Teiler Zeile für Zeile eingetragen sind, eine elegante Veranschaulichung des Siebs des Eratosthenes (siehe Links).
Diese Tabelle ist nichts anderes als das Lambdoma der Musiktheorie und Harmonik (siehe Das Lambdoma und Alles ist Frequenz). In der Mathematik kennt man die Anordnung als Schema von Georg Cantor, der damit zeigte, dass sich die rationalen Zahlen abzählen lassen. Man sollte sich von der schlichten Anordnung nicht täuschen lassen: Sie ist eine vielschichtige Matrix. Wer Zahlentheorie ohne sie betreibt, ist im Nachteil, und wer sie kennt, aber nicht die Geometrie dahinter, kann nicht ermessen, was aus ihr folgt.
Die Eins in der Mitte
Um 45° gekippt, zeigt die linke Achse die Brüche 1/1, 1/2, 1/3 …, die gegen null gehen, die rechte die Brüche 1/1, 2/1, 3/1 …, die ins Unendliche wachsen. Wo das unendlich Kleine und das unendlich Große aufeinandertreffen, in der Mitte, ergibt jeder Bruch 1: 1/1, 2/2, 3/3 … Die Tabelle ist um den Wert 1 ausbalanciert, die Eins ist ihre Symmetrieachse, und die Kehrwerte links und rechts von ihr heben sich paarweise auf.
Die Achsen mit den Werten 1/2 und 2/1 teilen das Lambdoma noch einmal. Das scheint belanglos, weil man jeden Bereich beliebig weiter teilen könnte. Doch nur die Brüche oberhalb von 2/1 beschreiben die Teilbarkeit ganzer Zahlen mit Figuren, denn unterhalb der Schranke 2 gibt es keine Sternvielecke mehr (siehe Der Schlüssel zur Tetraktys). 1/2 und 2/1 teilen das Lambdoma in vier Bereiche, und im vierten, dem Viertel oberhalb von 2/1, ist man mitten in der Tetraktys und bei den Primzahlen. Nur dieses Viertel stimmt vollständig mit der Geometrie der Simplexe überein (siehe Simplex – die feste Form der Zahl).
Wiederholungen und der Sechsertakt
Am dichtesten liegen gleiche Werte auf der Mittelachse, wo jeder Bruch 1 ergibt. Auf den Achsen 1/2 und 2/1 ist es nur noch jeder zweite, und so fort. Markiert man alle Werte, die sich wiederholen, entsteht ein vollkommen symmetrisches Muster, das ein wenig an das Pascalsche Dreieck und damit an das Sierpinski-Dreieck erinnert (siehe Fraktale Vielecke). In ihm erkennt man den Sechsertakt der Primzahlzwillinge wieder, einschließlich der unechten Primzahlen.
Eine Primzahl erkennt man daran, dass ihre Zeile und Spalte nur neue Werte enthalten, außer auf der Mittelachse: 2/2, 3/3, 5/5, 7/7 … Außer 2 und 3 liegen alle Primzahlen im Sechsertakt 6n ± 1 nach Leibniz, und auch die zusammengesetzten Zahlen auf diesen Plätzen, 25, 35, 49, 55 …, ordnen sich in dieses Raster ein. Man sollte sie nicht übersehen, wenn man der Verteilung der Primzahlen auf den Grund gehen will, denn sie weisen jeder allein stehenden Primzahl ihren fehlenden Zwilling zu.
Es gibt genau drei Arten, wie eine Zahl zu einem Teiler stehen kann, die drei Farben der Tabelle. Die teilerfremden Felder sind zugleich die Brüche, die zum ersten Mal auftreten, im wörtlichen Sinn „prim“, und sie hängen mit der Zwillingsbildung auf beiden Achsen zusammen. Die beiden anderen Konstellationen markieren zusammen die wiederholten Brüche, und dieses Muster ist spiegelsymmetrisch: Vertauscht man Zähler und Nenner, wird aus „teilbar“ ein „gemeinsamer Teiler“. Nur die gelben Felder, „teilbar“, liefern die ganzzahligen Ergebnisse, mit denen das Sieb des Eratosthenes jede Nichtprimzahl in Primfaktoren zerlegt. Auffällig in der großen Tabelle: Die türkisfarbenen Felder oberhalb des Quotienten 2 laufen im Vierertakt und beginnen bei der Zahl 10 mit dem Teiler 4. Die Primzahlzwillinge links und rechts der durch 6 teilbaren Zahlen ergeben Zwölfer-Symmetrien. Schwieriger zu durchschauen sind die Dreierstrukturen, die anfangs noch dem Sechsertakt folgen, bevor sich die Muster überlagern. Die Unregelmäßigkeiten, die daraus folgen, sind nur auf den ersten Blick chaotisch.
Die Dichte 6/π²
Eine bekannte Tatsache aus der Zahlentheorie: Wählt man zwei natürliche Zahlen zufällig aus, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie teilerfremd sind,
6/π² ≈ 60,8 %
Genau das ist der Anteil der roten Felder in der Divisionstabelle, je größer die Tabelle, desto genauer. Die Anzeige unter der Grafik zeigt, wie sich der Wert annähert.
Hier liegt eine Brücke: In einer Tabelle über Teilbarkeit taucht die Kreiszahl auf. Das passt zur These, dass die Simplexe, als Figuren im Kreis, das Wesen von π ausdrücken (siehe Simplexe und die Kreiszahl π).
Die Pentagramme in der Tabelle
Die Unordnung der Primzahlen hängt an den Koordinaten mit dem Quotienten 2,5. In der Divisionstabelle sind das die Felder 5/2, 10/4, 15/6, 20/8, 25/10 … Die zugehörigen Figuren setzen sich ausschließlich aus Pentagrammen zusammen:
- 25 : 10 = 2,5 ergibt 5 Pentagramme,
- 35 : 14 = 2,5 ergibt 7 Pentagramme,
- 45 : 18 = 2,5 ergibt 9 Pentagramme,
- 55 : 22 = 2,5 ergibt 11 Pentagramme.
Der 25-Eck-Simplex. Die Figur 25/10 besteht aus fünf Pentagrammen. 25 ist die erste Zahl, bei der ein Zwillingsplatz im Sechsertakt keine Primzahl trägt.
Die Zähler liegen immer 10 auseinander, die Nenner immer 4. Das Pentagramm mit seinen Überschneidungen ist damit der „Grenzüberschreiter“ der Tetraktys und wird in den folgenden Zahlenbereichen zur Leitfigur. Sein Quadrat, 25, leitet die Unordnung der sich überlagernden Raster ein.
Ein weiterer Befund: Innenwinkelsumme (in Vollkreisen) und Quotient stimmen nur bei vier Figuren überein: 16/4, 18/3, 18/6 und 25/10. Die letzte von ihnen ist die einzige mit gebrochenem Wert, 2,5. Das erinnert daran, dass die 10 die einzige Zahl ist, deren Simplex genauso viele Vollkreise wie Ecken hat (siehe Winkelsummen und Vollkreise).
Selbst zeichnen
Diese Geometrie ist zwingend und nicht beliebig, genau wie die Kreiszahl π. Deshalb existieren das Sieb des Eratosthenes und die Tetraktys unabhängig von jedem Zählsystem, auch wenn die Geometrie selbst in Zehnerschritten gegliedert ist. Das gibt auch scheinbar spekulativen Lehren wie der Kabbala mit ihren zehn Sephirot in vier Welten einen sachlichen Hintergrund. Ein Baum göttlicher Ausflüsse ergäbe wenig Sinn, wenn mit der Zehn nur das Zählen an den zehn Fingern gemeint wäre.
Der Königsweg zum Verständnis ist, selbst Simplexe zu zeichnen und nachzuzählen, aus welchen Sterntypen sie bestehen. Wer die Lage der Sternpolygone nicht selbst prüft, muss den Ausführungen vertrauen. Überzeugend ist nur, was man sich selbst erarbeitet hat.
Nichtkommutative Geometrie
Zum Schluss ein Ausblick: In den 1980er-Jahren begründete Alain Connes die nichtkommutative Geometrie, einen Zweig der Mathematik, der Zahlentheorie und Teilchenphysik miteinander verbindet. Neuere Forschung vermutet, dass die Primzahlfrage ein Gegenstück in der Physik hat. Daraus würde folgen, dass die Divisionstabelle und die Kreisgeometrie der Simplexe mit der Teilchenphysik und damit mit unserer erfahrbaren Welt in direkter Beziehung stehen. Das entspräche der Weltsicht der Pythagoreer vor 2500 Jahren. Mehr dazu unter Alles ist Zahl – alles ist Frequenz.