Der Schlüssel zur Tetraktys
Es gibt nur drei Arten, wie eine Zahl zu einem Teiler stehen kann. Zusammen mit der Zahl selbst ergeben sie vier Grundfiguren, und die Zehn ist die erste Zahl, die alle vier enthält.
Welche Geometrie könnte Zahlen besser darstellen als Vielecke, deren Eckenzahl eine natürliche Zahl ist? Vielecke mit allen eingezeichneten Sternen, die Simplexe, sind gleichsam die Fleischwerdung der Zahlen (siehe Simplex – die feste Form der Zahl).
Verbindet man in einem regelmäßigen n-Eck jeden k-ten Eckpunkt, entsteht eine Figur, die man {n/k} schreibt. Welche Art von Figur das wird, hängt allein davon ab, wie n und k zueinander stehen. Jede Figur im Simplex beschreibt also das Teilungsverhalten der Zahl n.
Ein Beispiel: 6 ist durch 2 und durch 3 teilbar. Im Sechseck ergibt „jeden zweiten Punkt verbinden“ zwei Dreiecke (2 × 3), „jeden dritten Punkt verbinden“ drei Linien durch die Mitte (3 × 2).
Drei Teilbarkeiten, vier Figuren
Zwischen einer natürlichen Zahl und einem möglichen Teiler gibt es genau drei Beziehungen:
- Die Zahl ist durch den Teiler teilbar.
- Die Zahl und der Teiler sind teilerfremd, haben also keinen gemeinsamen Teiler außer 1.
- Die Zahl ist nicht teilbar, hat mit dem Teiler aber einen gemeinsamen Teiler größer als 1.
Nimmt man die Zahl selbst hinzu, das einfache Vieleck ohne Teiler, erhält man vier Grundfiguren. Jede von ihnen tritt zum ersten Mal bei einer bestimmten Zahl auf. Diese ersten Vorkommen heißen hier die Startfiguren:
Die vier Startfiguren: das Dreieck (3), das doppelte Dreieck oder Hexagramm (6 : 2), das Pentagramm (5 : 2) und das doppelte Pentagramm (10 : 4).
So liest man die Figuren
Alle Figuren entstehen nach derselben Regel. Man setzt n Punkte gleichmäßig auf einen Kreis, beginnt bei einem Punkt und verbindet ihn mit dem k-ten Punkt weiter, von dort wieder mit dem k-ten und so fort, bis man zum Anfang zurückkommt. Kommt man zurück, bevor alle Punkte erreicht sind, beginnt man beim nächsten freien Punkt eine weitere Figur derselben Art. Geschrieben wird das als n/k, und die Zahl unter jeder Figur ist der Quotient n : k.
Selbst ausprobieren: n und k wählen und „Zeichnen“ drücken. Die Linien entstehen in der Reihenfolge, in der man sie mit dem Stift ziehen würde. Jede neue Farbe ist ein Neuanfang, weil sich die Figur geschlossen hat, bevor alle Punkte erreicht waren.
Die vier Startfiguren sind jeweils das erste Beispiel ihrer Art, bei dem eine Fläche entsteht:
- Dreieck, 3/1. Drei Punkte, jeden Nachbarn verbinden. Ein Punkt und eine Strecke umschließen noch keine Fläche, das Dreieck ist das erste Vieleck überhaupt. Quotient 3.
- Doppeltes Dreieck, 6/2. Sechs Punkte, jeden zweiten verbinden. Nach drei Schritten ist man wieder am Anfang, obwohl erst drei Punkte erreicht sind. Also beginnt man beim nächsten Punkt ein zweites Dreieck: zusammen der Sechsstern, weil 6 durch 2 teilbar ist. Das kleinere 4/2 ergäbe nur zwei Linien ohne Fläche. Quotient 3.
- Pentagramm, 5/2. Fünf Punkte, jeden zweiten verbinden. Man erreicht alle fünf Punkte in einem einzigen Zug und umrundet dabei die Mitte zweimal, weil 5 und 2 keinen gemeinsamen Teiler haben. Mit weniger als fünf Punkten ist kein Stern möglich. Quotient 2,5.
- Doppeltes Pentagramm, 10/4. Zehn Punkte, jeden vierten verbinden. 10 ist nicht durch 4 teilbar, aber beide sind durch 2 teilbar. Deshalb schließt sich der Stern schon nach fünf Punkten, und ein zweites Pentagramm füllt die übrigen fünf. Das ist die kleinste Zahl, bei der diese Art auftritt. Quotient 2,5.
Die Figuren sind also keine willkürliche Auswahl. Sie ergeben sich zwangsläufig, wenn man nach der jeweils kleinsten Zahl fragt, bei der eine der vier möglichen Beziehungen zwischen Zahl und Teiler zum ersten Mal als Figur sichtbar wird.
| Figur | erstes Auftreten | Teilbarkeit |
|---|---|---|
| Polygon | 3 | die Zahl selbst, ohne Teiler |
| Polygon mehrfach | 6 : 2 = 3 | teilbar |
| Sternpolygon | 5 : 2 = 2,5 | teilerfremd |
| Sternpolygon mehrfach | 10 : 4 = 2,5 | nicht teilbar, gemeinsamer Teiler 2 |
Hinzu kommen bei geraden Zahlen die Linien durch den Mittelpunkt (k = n/2). Sie haben keine Fläche und gehören zur zweiten Gruppe, denn n ist durch k teilbar.
Warum die Zehn
Das Zehneck ist die erste Zahl, deren Simplex alle vier Grundfiguren zugleich enthält:
- 10 : 1 ergibt das Zehneck selbst, das Polygon.
- 10 : 2 ergibt zwei Fünfecke, ein Polygon mehrfach.
- 10 : 3 ergibt einen Stern, der sich in einem Zug zeichnen lässt, ein Sternpolygon.
- 10 : 4 ergibt zwei Pentagramme, ein Sternpolygon mehrfach.
- 10 : 5 ergibt fünf Linien durch die Mitte, den Linienstern.
Dabei lohnt ein Blick darauf, wie oft man beim Zeichnen die Mitte umrundet. Verbindet man jeden zweiten Punkt, fährt man zweimal um die Mitte und erhält zwei Fünfecke. Beim dritten Punkt umrundet man die Mitte dreimal und zeichnet den Stern in einem Zug. Beim vierten viermal, und es entsteht die letzte mögliche Sternfigur im Zehneck, zwei Pentagramme. Beim fünften Punkt bleiben nur noch Linien, die genau durch die Mitte laufen, den „Nullpunkt“. Diese Liniensterne haben in mehrfacher Hinsicht einen Null-Status. Rechnerisch: 10 : 1 = 10, 10 : 2 = 5, 10 : 3 = 3,33…, 10 : 4 = 2,5 und 10 : 5 = 2, das wieder der zweiten Art entspricht.
Man bedenke: Die drei Beziehungen sind die einzig möglichen, in denen natürliche Zahlen als Zahl und Teiler zueinander stehen.
Vier Grundfiguren, zum ersten Mal vereint in der Zahl Zehn: der eigentliche Schlüssel zur Tetraktys 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Aber eben nur der Schlüssel: Mit ihm ist die Tetraktys nicht erledigt, hier fängt sie erst an. Schon aus dieser Geometrie heraus spielt die Zehn im System der Primzahlverteilung die führende Rolle, völlig unabhängig vom Dezimalsystem. Nach der Zehn beginnt ein System von Rastern und symmetrischen Strukturen, in dem die Zahlen 10 und 4 den Primzahlen ihre Plätze zuweisen.
Der Simplex eines frei wählbaren n-Ecks, zerlegt in seine Figuren. Unter jeder Figur steht der Quotient n : k. Ab n = 10 kommen in jedem geraden Simplex alle vier Startfiguren vor.
Ein wichtiger Nachtrag: Warum erst die Zehn?
Genau genommen ist die Zehn nicht die erste Zahl, bei der die dritte Beziehung auftritt, „nicht teilbar, aber mit gemeinsamem Teiler“. Nimmt man als Teiler jeweils die kleinstmögliche passende Zahl, sieht die Reihe so aus:
| Zahl | kleinster passender Teiler | Quotient | Lage |
|---|---|---|---|
| 6 | 4 (gemeinsamer Teiler 2) | 1,5 | unter der Schranke 2 |
| 8 | 6 (gemeinsamer Teiler 2) | 1,33 | unter der Schranke 2 |
| 9 | 6 (gemeinsamer Teiler 3) | 1,5 | unter der Schranke 2 |
| 10 | 4 (gemeinsamer Teiler 2) | 2,5 | über der Schranke 2 |
Die Zahlen 1, 2 und 3 kommen dafür naturgemäß nicht in Frage, 5 und 7 sind Primzahlen. Entscheidend ist die Schranke 2. Unterhalb von ihr, bei Quotienten kleiner als 2, lässt sich eine Zahl ohnehin nicht mehr in mindestens zwei ganze Teile größer als 1 zerlegen. Für die Frage der Primzahlen spielen diese Fälle deshalb keine Rolle. Die erste Konstellation oberhalb der Schranke ist 10 : 4 = 2,5, und 2,5 × 10 = 25 ist die erste Zahl auf einem Zwillingsplatz 6n ± 1, die keine Primzahl ist.
Dazu passt die Geometrie: Die Simplexe enden beim Teiler n/2, bei den Linien durch den Mittelpunkt des Kreises. Alles, was danach käme, wäre nur Wiederholung. Die Linie durch die Mitte ist also nicht nur eine geometrische Grenze, sie ist dieselbe Schranke 2 wie in der Zahlentheorie. In der Divisionstabelle nehmen die Quotienten oberhalb dieser Schranke genau ein Viertel aller Felder ein, 1 : 4 (siehe Divisionstabelle). So eng stimmen Geometrie und Zahlentheorie hier überein.
Ob all das etwas mit dem zu tun hat, was die Pythagoreer vor 2500 Jahren Tetraktys nannten? Eine erstaunlich klare Antwort geben die Sätze des Speusippos über die pythagoreischen Zahlen (siehe Die antiken Quellen).
Eine auffällige Parallele
Die Startfiguren wiederholen ein Muster der Dreieckszahlen, wenn man sie nach der Größe ihrer Zahl ordnet, 3, 5, 6, 10. Die 6 ist die dritte Dreieckszahl, und das Hexagramm (das doppelte Dreieck) ist die dritte Startfigur. Die 10 ist die vierte Dreieckszahl, und das doppelte Pentagramm ist die vierte Startfigur.
Polygone und einfache Sternpolygone sind nach dieser Deutung gleichsam das Grundrauschen. Die mehrfachen Figuren dagegen bilden ein ordnendes Raster in der Menge der Zahlen: Polygon und Polygon mehrfach liegen in der Divisionstabelle zeilenweise, die Sternfiguren als Flächenraster. Wie daraus die Ordnung und Unordnung der Primzahlen folgt, zeigt die Rubrik Zahlentheorie.