Simplex – die feste Form der Zahl
Jeder Simplex zeigt das vollständige Teilungsverhalten seiner Zahl. Das macht die Geometrie zu einem zweiten Aggregatzustand der Zahlen.
Welche Geometrie könnte Zahlen besser darstellen als Vielecke, deren Ecken der Zahl entsprechen? Es gibt eine, die es noch besser kann: die Geometrie der Simplexe. Mathematisch sind das vieldimensionale Tetraeder. In der Ebene gezeichnet sind es Vielecke, in denen jede Ecke mit jeder anderen verbunden ist. Dabei entstehen im Inneren Sternpolygone, und sie beschreiben geometrisch, wie die Eckenzahl teilbar ist.
Zahlen erscheinen uns flüchtig, als Zeichen auf dem Papier, die nur im Kopf eine Bedeutung haben. In den Simplexen nehmen sie eine feste Gestalt an. Deshalb kann man sie den festen Aggregatzustand der Zahl nennen, oder, mit einem Augenzwinkern, die Fleischwerdung der Zahl. Ein Beispiel: 6 ist durch 2 und durch 3 teilbar, und im Sechseck zeigt sich das als zwei Dreiecke (2 × 3) und drei Linien durch die Mitte (3 × 2).
Diese Geometrie gibt Orientierung. Wer Zahlen mit Ziffern untersucht, ist an ein Zählsystem gebunden. Eine streng symmetrische Figur dagegen rechnet in keinem Zählsystem und befreit von dessen Denkgrenzen. Umso erstaunlicher ist, dass die Geometrie der Simplexe in Zehnerschritten gegliedert ist. Dem nachzugehen ist ein Hauptanliegen dieser Seite.
Wie das Spiel beginnt
- Die Eins ist ein Punkt in der Mitte des Kreises.
- Mit der Zwei entsteht eine Linie, deren Enden auf dem Kreis liegen.
- Die Drei spannt als erste Zahl eine Fläche mit Innenwinkeln auf.
- Die Vier ist die erste Zahl, in deren Vieleck sich Diagonalen zeichnen lassen. Denkt man die Dimensionssprünge von Punkt, Linie und Fläche weiter, ist sie das Tetraeder, auf eine Kante gesehen.
Jede weitere Ecke ist ein weiterer Dimensionssprung (siehe Multidimensionale Tetraeder). Einen deutlichen Unterschied gibt es zwischen geraden und ungeraden Zahlen: Nur bei geraden Zahlen laufen Linien genau durch den Mittelpunkt. Eine Linie durch die Mitte verbindet zwei Punkte, sie steht für die Zwei.
Eine Zahl, alle ihre Teiler
Die Ecken liegen auf dem Kreisumfang, sie stehen für die Zahl selbst. Die Verbindungen stehen für die möglichen Teiler. Wer eine Figur „jeden k-ten Punkt“ zeichnet, berechnet geometrisch den Bruch n : k:
- Ist n durch k teilbar, zerfällt die Figur in k gleiche Vielecke.
- Sind n und k teilerfremd, entsteht ein einziger Stern, den man in einem Zug zeichnen kann.
- Haben sie einen gemeinsamen Teiler g, ohne dass k n teilt, zerfällt die Figur in g gleiche Sterne.
- Ist k genau die Hälfte von n, laufen alle Linien durch die Mitte.
Wähle eine Zahl und sieh, in welche Figuren ihr Simplex zerfällt. Die Farbe zeigt die Teilbarkeit, die Zahl darunter den Quotienten n : k.
Der Aufbau am 30-Eck
Auf den ersten Blick wirkt ein großer Simplex chaotisch. Denkt man ihn aber vom Umriss nach innen, erkennt man eine strenge Ordnung. Am 30-Eck lässt sie sich gut zeigen. Man beginnt bei einer beliebigen Ecke:
- Jede Ecke mit der nächsten verbinden: ein Umlauf, das 30-Eck selbst.
- Jede zweite Ecke verbinden: Man muss den Kreis zweimal umrunden, bis alle Ecken erfasst sind. Das ist die erste Sternfigur.
- Jede dritte Ecke: drei Umläufe, die zweite Sternfigur.
Und so weiter, 15 Figuren insgesamt. Bei der 15. Figur, jeder 15. Ecke, laufen die Linien durch die Mitte, denn 30 : 15 = 2. Danach würde sich alles in umgekehrter Reihenfolge wiederholen. Die vielen Überschneidungen der Sternfiguren bilden kleine Vierecke, gleichsam ein Koordinatensystem im Kreis. Zwar ist in einem Simplex jede Ecke mit jeder verbunden, aber um die Ordnung dahinter zu sehen, muss man ihn so, als Stapel symmetrischer Figuren, denken.
Der 30-Eck-Simplex. Die Knöpfe blenden die 15 Figuren einzeln ein und aus, vom Umriss bis zu den Linien durch die Mitte.
Die vier Gruppen
Diese Einzelheiten sind wichtig, um die vier Gruppen von Figuren und ihre Entsprechung in der Zahlentheorie zu verstehen (siehe Der Schlüssel zur Tetraktys).
1. Polygon, in einem Zug gezeichnet: die Vielecke selbst, das n-Eck zur Zahl n. Das erste echte Vieleck ist das Dreieck, denn Punkt und Linie umschließen keine Fläche.
2. Sternpolygon, in einem Zug gezeichnet, wenn Zahl und Teiler teilerfremd sind. Simplexe mit einer Primzahl als Eckenzahl bestehen nur aus solchen Figuren, abgesehen von 2 und 3: Linie und Dreieck zeichnet man zwar auch in einem Zug, aber sie sind keine Sterne. Der erste Stern ist das Pentagramm, 5/2 = 2,5. Beim Siebeneck gibt es zum ersten Mal zwei davon: 7/2 = 3,5 und 7/3. Ab sieben hat jede Zahl solche teilerfremden Sterne, auch das 30-Eck. Verbindet man dort jede elfte Ecke, ist der Aufbau Schritt für Schritt ganz unregelmäßig, und das Ergebnis ist doch vollkommen symmetrisch.
3. Polygon mehrfach, ein Stern aus mehreren Vielecken, wenn die Zahl durch den Teiler teilbar ist. Alle Simplexe ab sechs Ecken, deren Eckenzahl keine Primzahl ist, enthalten solche Figuren. Die erste und bekannteste ist das Hexagramm, 6/2 = 3. Zwei Punkte (2/2) oder zwei Linien (4/2) wären zwar auch teilbar, aber keine Vielecke. Das Achteck enthält die zweite Figur dieser Art, 8/2 = 4, zwei Quadrate.
4. Sternpolygon mehrfach, ein Stern aus mehreren Sternen, wenn Zahl und Teiler einen gemeinsamen Teiler haben, ohne dass der Teiler die Zahl teilt. Alle zusammengesetzten Zahlen ab zehn enthalten solche Figuren, mit einer einzigen Ausnahme, der 12. Die erste ist das doppelte Pentagramm, 10/4 = 2,5. Die nächste steht im 14-Eck: 14/4 = 3,5, zwei Siebensterne. Im 30-Eck ergibt jede zwölfte Ecke 30/12 = 2,5, einen Stern aus sechs Pentagrammen.
Selbst ausprobieren: 30/12 zerfällt in sechs Pentagramme, 30/11 wird ein einziger Stern, 14/4 zwei Siebensterne. Mit „Zeichnen“ entstehen die Linien in der Reihenfolge, in der man sie ziehen würde.
Eine Warnung zu den Namen: Die Figur „Polygon mehrfach“ ist streng genommen auch ein Sternpolygon, nur eben eines aus Vielecken. Um Verwechslungen zu vermeiden, hält man sich am besten an die Farben.
Aufgefächert: das Lambdoma
Nun kann man die Figuren aller Simplexe in einem Koordinatensystem auffächern: oben die Zahl, links der Teiler, in jedem Feld die zugehörige Figur, vom Umriss bis zu den Linien durch die Mitte.
Die Figuren der Simplexe 1 bis 14, aufgefächert. Spalte = Zahl, Zeile = Teiler, die Farbe zeigt die Art der Figur.
Kippt man diese Tabelle um 45 Grad, entsteht genau das Lambdoma der Harmonik, das wichtigste Diagramm der Musiktheorie (siehe Das Lambdoma). Auffällig ist, dass nur ein Viertel des Koordinatensystems mit Figuren gefüllt ist. Alle geraden Simplexe enden mit Linien durch den Mittelpunkt, und dieser Linienstern hat immer den Quotienten 2, beginnend mit der Zahl 2 selbst, einer einzelnen Linie. Man könnte das ganze Feld füllen, dann würden sich die Figuren nur wiederholen. Auch die Diagonale, auf der Zahl und Teiler gleich sind, 1/1, 2/2, 3/3 …, hat ihre Entsprechung: In der Harmonik heißt sie die Zeugertonlinie, und alle ihre Felder haben den Wert 1.
Es ist also der Mittelpunkt des Kreises, der die Grenze setzt. Die Linie durch ihn teilt den Kreis in zwei Hälften und entspricht in der Tabelle der Schranke 2, die genau ein Viertel des Feldes abgrenzt. Die Diagonale, die das Feld halbiert, beschreibt eine volle Kreisumdrehung, denn nach der Schranke 2 läuft dieselbe Geometrie spiegelbildlich noch einmal ab, bis zu dieser Diagonale. Unterhalb der Schranke 2 spielen Teilbarkeiten für die Primzahlen keine Rolle mehr, denn dort lässt sich keine Zahl mehr in mindestens zwei ganze Teile größer als 1 zerlegen. Dass gerade die Kreisgeometrie, mit der Zahl π, auch in der Riemannschen Zetafunktion eine Rolle spielt, ist bis heute nicht wirklich erklärt.
Zwei und ein Halbes
Oberhalb der Schranke 2 beginnt die dritte Beziehung, „nicht teilbar, aber mit gemeinsamem Teiler“, genau bei der Zehn mit dem Teiler 4: 10 : 4 = 2,5, zwei und ein Halbes. Das Pentagramm und alle Sterne, die aus Pentagrammen zusammengesetzt sind, haben immer diesen Quotienten 2,5. Hier setzt die Zehnerschritt-Gliederung an, von der die Rubrik Zahlentheorie handelt.
Die Simplexe wurden bis zum 100-Eck gezeichnet und untersucht. Zahlen bis 100 seien für eine Beweisführung zu wenig, mag man einwenden. Aber diese Geometrie deckt sich vollständig mit dem Sieb des Eratosthenes, und das Sieb gilt bekanntlich bis ins Unendliche. Tabellen bis 100 genügen daher, um das Prinzip zu zeigen.
Kreis und Kreiszahl
Weil alle Figuren im selben Kreis liegen, verbindet der Simplex zwei Zahlenreihen: Der Umfang trägt die Zahl, die Verbindungslinien durch das Innere tragen ihre Teiler. Umfang zu Durchmesser, das ist das Verhältnis, das die Kreiszahl π beschreibt. Daraus folgt die These: Die Simplexe entsprechen in ihrem Wesen der Kreiszahl, denn das Verhältnis von natürlicher Zahl zu ihren Teilern spiegelt das Verhältnis von Kreisumfang zu Durchmesser. Mehr dazu unter Simplexe und die Kreiszahl π.
Zwei große Beispiele
Ein gerader und ein ungerader Simplex zeigen den Unterschied besonders deutlich:
Der 20-Eck-Simplex als Beispiel für eine gerade Zahl. Mit dem Regler lässt sich bis zum 45-Eck gehen, dem Beispiel für eine ungerade Zahl.