Simplexe und Sternpolygone
Wenn jeder Punkt mit jedem verbunden wird, zerfallen die Linien in Sterne, und die Anzahl der Linien ist wieder eine Dreieckszahl.
Ein Simplex ist die einfachste Figur, die eine Dimension ausfüllen kann: in null Dimensionen ein Punkt, in einer eine Strecke, in zwei ein Dreieck, in drei ein Tetraeder. Das Bauprinzip ist immer dasselbe: Man nimmt einen neuen Punkt hinzu und verbindet ihn mit allen bisherigen.
Ab vier Dimensionen lassen sich Simplexe nicht mehr bauen, aber sie lassen sich in die Ebene projizieren. Am übersichtlichsten wird das, wenn man die Ecken gleichmäßig auf einen Kreis setzt und jede mit jeder verbindet.
Die Knöpfe blenden die einzelnen Sternpolygone ein und aus. Bei fünf Punkten besteht der Simplex aus einem Fünfeck und einem Pentagramm.
Die Zahlen im Kreis
Man kann die natürlichen Zahlen als Figuren im Kreis lesen. Die Eins ist der Mittelpunkt. Die Zwei ist der Durchmesser. Die Drei ergibt das erste echte Vieleck, das sich in den Kreis zeichnen lässt. Die Vier ist das erste Vieleck, in dem Verbindungslinien genau durch den Mittelpunkt laufen, und zugleich das einzige, dessen Winkel zusammen genau einen Vollkreis ergeben (siehe Winkelsummen und Vollkreise). Mit der Fünf lässt sich zum ersten Mal ein Stern einzeichnen, das Pentagramm, und die Linien schneiden sich zum ersten Mal auch außerhalb des Mittelpunkts. Je größer die Zahl, desto mehr Überschneidungen entstehen.
Die Zahlen 2 bis 13 als Simplexe im Kreis: Durchmesser, Dreieck, Quadrat mit Diagonalen durch die Mitte, Fünfeck mit Pentagramm und so weiter. Die Eins wäre der Mittelpunkt allein.
Die Kanten ordnen sich zu Sternen
Auf den ersten Blick ist das ein Gewirr von Linien. Sortiert man die Linien aber danach, wie viele Plätze sie auf dem Kreis überspringen, fällt das Bild in regelmäßige Figuren auseinander:
- Linien zum direkten Nachbarn bilden den Umriss, ein regelmäßiges Vieleck.
- Linien zum übernächsten Punkt bilden einen Stern, bei fünf Punkten das Pentagramm.
- Größere Sprünge ergeben weitere, spitzere Sterne.
In der Mathematik schreibt man solche Sterne als {n/k}: n Punkte, jeder mit dem k-ten Nachbarn verbunden. Jeder Simplex ist also nichts anderes als ein Satz ineinandergeschachtelter Sternpolygone.
Die Dreieckszahl kehrt zurück
Zählt man die Linien, ergibt sich etwas Bekanntes. Bei n Punkten hat der erste Punkt n − 1 Verbindungen, der zweite noch n − 2 neue, und so weiter bis zum letzten, der keine neue mehr hat. Die Summe
(n − 1) + (n − 2) + … + 1 = T(n − 1)
ist eine Dreieckszahl. Der Simplex mit fünf Ecken hat also genau zehn Kanten, so viele, wie die Tetraktys Punkte hat. Die Figur aus zehn Punkten und die Figur aus zehn Linien zählen dasselbe.
Zwei Zahlenstrahlen im Kreis
Die Schnittpunkte der Linien liegen nicht zufällig. Vom Rand zum Mittelpunkt hin ordnen sie sich nach den Zahlen, durch die die Eckenzahl geteilt wird. Der Kreis trägt damit zwei Zahlenreihen: Der Umfang zählt die natürlichen Zahlen, der Radius zählt ihre Teiler. Die vielen Überschneidungen bilden ein Netz aus kleinen Vierecken, ein Koordinatensystem im Kreis. Es entspricht dem Lambdoma der Harmonik, und umgekehrt lassen sich die Sternpolygone der Simplexe in das Lambdoma auffächern (siehe Tetraktys und kartesisches Koordinatensystem und Das Lambdoma).
In diesem Netz, durch die Verdopplung gerader und ungerader Zahlen, zeigt sich die Tetraktys. Die Geometrie der Simplexe ist vieldimensional und nur eine, wenn auch eine umfassende Möglichkeit, sie sichtbar zu machen. Sie lässt sich auch im dreidimensionalen Raum erkennen. Außer Frage steht: Die Geometrie des Kreises ist mit der Teilbarkeit der natürlichen Zahlen verknüpft. Auch die Forschung zur Riemannschen Vermutung bestätigt die Schlüsselrolle der Kreiszahl π für die Verteilung der Primzahlen.
Wichtig ist dabei: All das kommt ohne das Zehnersystem aus. Dass wir mit zehn Fingern zählen, darf nicht der Grund für die Zehn der Tetraktys sein. Das Wertvolle an dieser Geometrie ist gerade, dass sie von den Denkgrenzen des Dezimalsystems befreit. Man könnte die Simplexe auch einen anderen Aggregatzustand der Zahlen nennen.
Selbstähnlichkeit
Ein zweites Muster steckt im Dreieck selbst. Verbindet man die Seitenmitten eines Dreiecks, zerfällt es in vier kleinere. Lässt man das mittlere weg und wiederholt den Schritt mit den drei übrigen, entsteht das Sierpinski-Dreieck. Jeder Teil sieht aus wie das Ganze.
Mit jeder Stufe verdreifacht sich die Zahl der Dreiecke. Die Fläche geht gegen null, die Figur bleibt trotzdem ein Dreieck.
Die gleiche Eigenschaft, dass eine Figur sich in sich selbst wiederholt, findet sich auch im Pentagramm: In seiner Mitte liegt ein kleineres Fünfeck, in das sich wieder ein Pentagramm zeichnen lässt, ohne Ende. Die Verhältnisse, in denen sich die Linien dabei schneiden, führen auf den Goldenen Schnitt.