Winkelsummen und Vollkreise
Das Viereck hat als einziges Polygon genau einen Vollkreis als Winkelsumme. Das Zehneck hat mit allen seinen Sternen genau zehn.
Jeder kennt die Regel, dass die Winkel eines Dreiecks zusammen 180° ergeben. Kaum beachtet wird eine andere Tatsache: Das Viereck ist das einzige Vieleck, dessen Innenwinkel sich zu genau einem vollen Kreis summieren, 4 × 90° = 360°. Das Fünfeck hat schon 540°, also anderthalb Kreise, das Sechseck zwei.
Die Gradzahl selbst ist eine menschliche Einteilung und hier unwichtig. Es geht nur um Vielfache des vollen Kreises. In diesem Maß hat ein Vieleck mit n Ecken die Winkelsumme
(n − 2) / 2
Die Sternfiguren mitzählen
Um auf 1 + 2 + 3 + 4 = 10 zu kommen, reicht es nicht, nur die Vielecke zu betrachten. Auch jede eingezeichnete Sternfigur hat eine Winkelsumme. Für den Stern {n/k} beträgt sie in Vollkreisen
(n − 2k) / 2
Jede weitere Figur hat also genau einen Vollkreis weniger als die vorige.
| n | Figuren | Vollkreise je Figur | Summe |
|---|---|---|---|
| 3 | 1 | 0,5 | 0,5 |
| 4 | 1 | 1 | 1 |
| 5 | 2 | 1,5 + 0,5 | 2 |
| 6 | 2 | 2 + 1 | 3 |
| 7 | 3 | 2,5 + 1,5 + 0,5 | 4,5 |
| 8 | 3 | 3 + 2 + 1 | 6 |
| 9 | 4 | 3,5 + 2,5 + 1,5 + 0,5 | 8 |
| 10 | 4 | 4 + 3 + 2 + 1 | 10 |
| 11 | 5 | 4,5 + 3,5 + 2,5 + 1,5 + 0,5 | 12,5 |
| 12 | 5 | 5 + 4 + 3 + 2 + 1 | 15 |
Die Summe der Vollkreise aller Figuren eines Simplex (rot) im Vergleich zur Eckenzahl (gestrichelt). Die Tabelle zeigt die Zusammensetzung für n = 3 bis 12.
Die Tabelle zeigt zwei Wechselbeziehungen:
- Viereck = 1 Vollkreis, Zehneck = 4 Vollkreise. Das Zehneck allein hat vier Vollkreise, so viele, wie die Tetraktys Reihen hat.
- Zehneck mit allen Sternen = 10 Vollkreise. Die Figuren des Zehnecks haben 4 + 3 + 2 + 1 Vollkreise, zusammen zehn. Das Zehneck ist der einzige Simplex, bei dem die Zahl der Ecken gleich der Summe seiner Vollkreise ist: 10 = 10.
Kleinere Simplexe haben weniger Vollkreise als Ecken, größere mehr. Bei der Zehn geht die Schere auseinander, und die Tetraktys ergibt sich unmittelbar aus der Geometrie des Kreises. Das ist nur die Spitze des Eisbergs: Führt man die Zahlenreihen weiter, zeigt sich, dass das ganze System von Viererabständen durchzogen ist und sich in Zehnerschritten gliedert.
Durchzogen von Vierern
Führt man die Reihen weiter, zeigt sich, dass das ganze System von Vierer-Abständen durchzogen ist, und dass es „dezimal codiert“ ist: Die Zehn und ihre Vielfachen tauchen immer wieder als Wendepunkte auf, ganz ohne dass dafür das Dezimalsystem nötig wäre. Wie sich das in der Zahlentheorie zeigt, beschreibt Die Unordnung der Primzahlen.
Ein weiterer Befund aus der Divisionstabelle: Bei der Zahl 25 und dem Teiler 10 stimmen Winkelsumme und Quotient überein, beide sind 2,5. Das gelingt nur bei vier Figuren überhaupt (16/4, 18/3, 18/6, 25/10), und nur hier mit einem gebrochenen Wert. 25 ist zugleich die erste Zahl, bei der ein Primzahlplatz im Sechsertakt leer bleibt.
Halbe und volle Kreise
Die Natur zählt in ganzen Kreisen, ein Kreis ist der Faktor 1. Um das Wesen von 1 + 2 + 3 + 4 = 10 zu erfassen, genügen zahlentheoretische Besonderheiten allein nicht. Man muss eine kaum beachtete Tatsache sehen: Die Zahlenreihe und alle ihre Teiler enthalten eine Art Drehung, die mit dem Kreis und damit mit der Zahl π zusammenhängt. Wie eine Welle, deren Kreisbewegung sich in vier Abschnitte gliedert, läuft auch die Zahlenreihe in Vierteln (siehe Die Tetraktys im Überblick).
Das Dreieck hat einen halben Kreis, eine Ecke mehr macht daraus einen ganzen. Jede ungerade Menge beginnt einen neuen halben Kreis, die folgende gerade Menge schließt ihn. Die „abschließende“ Zahl ist also immer gerade, und zu einem vollen Kreis gehören stets zwei Punkte. Deshalb schrieben Pythagoreer und Platoniker den ungeraden Zahlen männlich-schöpferische, den geraden weiblich-bewahrende Eigenschaften zu. Im Wort „ungerade“ klingt ja auch etwas Unvollständiges mit.
Ein Dreieck aus Vollkreisen
Nimmt man nur die geraden Vielecke 4, 6, 8 und 10 und von ihnen nur die Figuren, deren Winkelsumme ganze Vollkreise ergibt, also alle bis vor die Linien durch die Mitte, und ordnet sie in Reihen, entsteht ein Dreieck:
Die Figuren der geraden Vielecke 4, 6, 8 und 10 mit ihren Winkelsummen in Vollkreisen. Die Reihen ergeben 1, 3, 6 und 10, die Dreieckszahlen des Punktedreiecks. Die Farben zeigen die vier Figurentypen.
Die Reihen enthalten 1, 2, 3 und 4 Figuren, und ihre Winkelsummen ergeben zusammen 1, 3, 6 und 10 Vollkreise, genau die Dreieckszahlen des pythagoreischen Punktedreiecks. Das Zehneck ist dabei der einzige Simplex, bei dem die Winkelsumme in Vollkreisen gleich der Zahl seiner Ecken ist. Zugleich zeigt es in 10/4 zum ersten Mal einen Stern aus Sternen, zwei Pentagramme, und vereint damit als Erstes alle vier Arten der Teilbarkeit.
Man fasse zusammen, was hier zusammentrifft:
- die strenge Entsprechung von ungeraden und geraden Zahlen zu halben und ganzen Kreisen
- die Mengen 4 und 10 und ihre Verschmelzung zum doppelten Pentagramm in der Stellung 10/4
- der Bezug zu den Dreieckszahlen
- die unmittelbare Entsprechung zu den Teilbarkeiten der Zahlentheorie
- der Beginn der Reihe mit Punkt, Linie, Dreieck und Tetraeder, also Ecke, Kante, Fläche und Körper
- und die genaue Übereinstimmung dieser „geometrischen Divisionstabelle“ mit dem Lambdoma der Musiktheorie
All das lässt kaum Zweifel, dass genau dieser Themenkreis gemeint ist, wenn die Pythagoreer von der Tetraktys sprachen. Deutliche Hinweise geben die Sätze des Speusippos über die pythagoreischen Zahlen (siehe Die antiken Quellen). Und weil der Beginn einer Ordnung ihren weiteren Verlauf prägt, zeigen auch die größeren Zahlen in der Divisionstabelle diese Gliederung.