Ornamentik im Vierertakt
Füllt man die Simplexe abwechselnd mit Farbe, entstehen Ornamente, deren Mitte immer vier Zahlen lang gefüllt und dann vier Zahlen lang leer ist.
Am Anfang steht ein Zufallsfund am Zeichenprogramm. In jedes Vieleck werden alle möglichen Sternpolygone eingezeichnet. Dann werden alle Flächen abwechselnd gefüllt: Jede Fläche, die durch Überschneidungen entsteht, ist entweder farbig oder leer, je nachdem, wie viele Linien man von außen überqueren muss, um sie zu erreichen. Heraus kommen Ornamente, und in ihrer Reihenfolge steckt eine Überraschung. Entdeckt wurde das mit einem Vektorzeichenprogramm: Polygon und Sterne füllen, dann den Befehl „Objekte verbinden“ ausführen, und schon wechseln sich gefüllte und leere Flächen ab. Man muss das Folgende nicht sofort verstehen. Zuerst genügt es, die Ornamente auf sich wirken zu lassen und selbst nach der Vierheit in ihrer Abfolge zu suchen.
Die Simplexe von 3 bis 26 mit abwechselnder Füllung. Unter jeder Zahl steht die Summe der Stufen bis zur Mitte. ● heißt Mitte gefüllt, ○ heißt Mitte leer. Die hinterlegten Blöcke markieren den Vierertakt.
Der Vierertakt
Die Ornamente der Zahlen 3 bis 6 haben eine gefüllte Mitte. Bei 7 bis 10 ist die Mitte leer. Bei 11 bis 14 ist sie wieder gefüllt, und so geht es ohne Ende weiter, immer in Blöcken zu vier. Jedes Ornament zeigt dabei den Charakter seiner Zahl, nämlich durch welche Zahlen sie teilbar ist.
Bei den geraden Zahlen fällt noch etwas auf: Ihre letzte Figur, jeden (n/2)-ten Punkt verbinden, ergibt nur Linien durch den Mittelpunkt, einen „Linienstern“ ohne Fläche. Er fällt beim Füllen weg. Darum ist die Mitte bei geraden Zahlen weiter offen als bei ungeraden.
Woher der Takt kommt
Ein Takt aus der Laune eines Grafikers und der Willkür eines Computers müsste nichts bedeuten. Die Frage, warum der Wechsel gerade nach vier Ornamenten kommt, konnte aber keiner von mindestens vier befragten Mathematikern beantworten. Die Antwort liegt in einer einfachen Zählung.
Um das zu verstehen, fächert man die Figuren eines Simplex einzeln auf. Das Polygon selbst hat eine Stufe: Es ist einfach gefüllt. Beim Stern „jeden zweiten Punkt“ umläuft man den Mittelpunkt zweimal. Es entstehen zwei Stufen, außen gefüllte Zacken, innen ein leeres Feld. Jede weitere Figur lässt einen Punkt mehr aus, umläuft die Mitte einmal öfter und hat eine Stufe mehr.
Bis zur Mitte summieren sich die Stufen also zu 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3 … Das sind wieder die Dreieckszahlen. Die Mitte ist gefüllt, wenn diese Summe ungerade ist. Die Folge der Dreieckszahlen läuft aber ungerade, ungerade, gerade, gerade, ungerade, ungerade … Da jede Figur für zwei aufeinanderfolgende Zahlen gleich bleibt (die gerade Zahl verliert ihren Linienstern), entsteht der Viererrhythmus.
Man kann es mit dem Blumenorakel „Er liebt mich, er liebt mich nicht“ vergleichen: Ob man beim letzten Blatt beim ersten oder beim zweiten Satz landet, hängt davon ab, ob die Zahl der Blätter gerade oder ungerade ist. In den Ornamenten verdoppelt sich dieser Wechsel, weil zwei Zahlenreihen ineinandergreifen: die Eckenzahl und die Zahl der Stufen. Aus der doppelten Umschaltung wird ein Viertakt: Ein Wechsel tritt ein, wenn sowohl die waagrechte als auch die senkrechte Zahl ungerade ist. Nachdenklich macht, dass jedes Ornament damit gleichsam ein eigenes Koordinatensystem in sich trägt, das diese Vierheit erzeugt.
Warum sich der Takt verdoppelt
Die Verdopplung hat einen geometrischen Grund. Linien durch ein Vieleck laufen, von einer Ecke aus gesehen, nur bis zum Mittelpunkt. Ist der Mittelpunkt überschritten, wiederholt sich das Schema, und dieselben Sternfiguren legen sich nur noch übereinander. Deshalb ist ein Koordinatensystem aus Zahl und Teiler auch nur zu genau einem Viertel mit Sternfiguren gefüllt (siehe Simplex – die feste Form der Zahl). Außerdem haben alle Sternfiguren gerader Simplexe Winkelsummen aus ganzen Vollkreisen, die ungerader Simplexe dagegen immer einen halben Kreis dazu.
Das Pascalsche Dreieck stützt diese Deutung. Seine dunklen Felder enthalten nur ungerade, die hellen nur gerade Zahlen (siehe Multidimensionale Tetraeder). Und die Stufen der Ornamente finden sich darin wieder: Die Zahl der Stufen je Umlauf folgt der Reihe 1, 2, 3, 4, 5 … auf der zweiten Schräge, die Gesamtzahl der Stufen den Dreieckszahlen 1, 3, 6, 10, 15 … auf der dritten. Die ungeraden Dreieckszahlen 1 und 3 gehören zu den vier Zahlen 3 bis 6, die geraden 6 und 10 zu den nächsten vier, 7 bis 10, und so weiter, genau im Vierertakt der Ornamente.
Man müsste dem keine Bedeutung beimessen, wenn nicht andere Symmetrien dasselbe zeigten (siehe Das Punktedreieck) und wenn es nicht offensichtlich mit der Verteilung der Primzahlen zusammenhinge. So trifft man an diesem einen Beispiel gleich auf drei typisch pythagoreische Themen:
- die Tetraktys, die Zahlen eins bis zehn
- den Charakter der Zahlen: Die Pythagoreer sahen in den ungeraden Zahlen das männlich-aktive, in den geraden das weiblich-passive Prinzip, eine Vorstellung, die heute als „mystisch“ abgetan wird und hier einen handfesten Sinn bekommt
- das Pentagramm, ihr Erkennungszeichen, denn die vierte Sternfigur des Zehnecks besteht aus zwei Pentagrammen, und gerade um diese zwei Pentagramme geht es in der Frage der Primzahlen
Und die Zehn?
Dass ein Viertakt entsteht, wäre für sich noch keine Tetraktys. Zwei weitere Beobachtungen führen zur Zehn:
- Die aufsummierten Stufen folgen den Dreieckszahlen, und die 10 ist die vierte davon.
- Das Zehneck ist der einzige Simplex, bei dem die Zahl der Ecken und die Zahl der Stufen übereinstimmen. Bis zum Achteck haben die Simplexe weniger Stufen als Ecken, ab dem Elfeck mehr, und das Neuneck liegt mit zehn Stufen knapp darüber.
Wie sich dasselbe über die Winkelsummen zeigt, steht unter Winkelsummen und Vollkreise. Welche vier Figurentypen das Zehneck enthält, erklärt Der Schlüssel zur Tetraktys.