Die platonischen Körper und die Tetraktys
Fünf vollkommene Körper, zwei duale Paare und ein Körper, der mit sich selbst dual ist, zugeordnet den Startfiguren der Tetraktys.
Die fünf platonischen Körper. „Dualkörper“ zeigt die Figur, die ihre Flächenmitten bilden.
Es gibt genau fünf Körper, deren Flächen gleiche regelmäßige Vielecke sind und an deren Ecken gleich viele Flächen zusammenstoßen: Tetraeder, Würfel (Hexaeder), Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder. Verbindet man die Flächenmitten eines solchen Körpers, erhält man seinen Dualkörper:
- Das Tetraeder ist mit sich selbst dual.
- Oktaeder und Würfel sind zueinander dual.
- Ikosaeder und Dodekaeder sind zueinander dual.
Alle lassen sich aus Tetraedern aufbauen: das Oktaeder als Schnittmenge von zwei Tetraedern, der Würfel als ihre Hülle, das Ikosaeder aus fünf Tetraedern (nach außen gewölbt), das Dodekaeder aus fünf Tetraedern (nach innen). Umgekehrt lässt sich jeder Körper durch mehrere der anderen beschreiben. Ein Dodekaeder zum Beispiel aus fünf Würfeln oder fünf Oktaedern.
| Tetraeder | Oktaeder | Würfel | Ikosaeder | Dodekaeder | |
|---|---|---|---|---|---|
| Ecken | 4 | 6 | 8 | 12 | 20 |
| Kanten | 6 | 12 | 12 | 30 | 30 |
| Flächen | 4 Dreiecke | 8 Dreiecke | 6 Quadrate | 20 Dreiecke | 12 Fünfecke |
| dual zu | sich selbst | Würfel | Oktaeder | Dodekaeder | Ikosaeder |
| füllt den Raum | mit dem Oktaeder | mit dem Tetraeder | allein | nein | nein |
Rechte Winkel im Dodekaeder
Der rechte Winkel, die Kreuzform, steckt direkt oder indirekt in allen fünf Körpern, weil sie sich wechselseitig ein- und umbeschreiben lassen. Am Dodekaeder sieht man das besonders schön. Acht seiner zwanzig Ecken bilden einen Würfel, und jede der zwölf Würfelkanten liegt als Diagonale in einer der zwölf Fünfeckflächen. Es gibt genau fünf solcher Würfel. Jede Fläche erhält von ihnen fünf Diagonalen, eine von jedem Würfel, und diese fünf Diagonalen bilden ein Pentagramm. Fünf Würfel lassen also zwölf Pentagramme entstehen.
Weil in jedem Würfel wiederum zwei Tetraeder stecken, deren Kanten sich auf den Würfelflächen kreuzen, das Sterntetraeder, enthält das Dodekaeder zehn Tetraeder und auf den 5 × 6 = 30 Würfelflächen dreißig Kreuze.
Ein Würfel, fünf Würfel und zehn Tetraeder im Dodekaeder. Jede Farbe gehört zu einem Würfel.
Zuordnung zu den Startfiguren
Die Körper lassen sich den vier Startfiguren zuordnen, über die Figur, die man sieht, wenn man entlang einer Symmetrieachse auf den Körper schaut:
Die vier Startfiguren: Dreieck, Hexagramm, Pentagramm und doppeltes Pentagramm.
| Körper | Symmetrieansicht | Startfigur |
|---|---|---|
| Tetraeder | Dreieck auf einer Fläche | Dreieck (3) |
| Oktaeder und Würfel | sechszählig, entlang der Raumdiagonale | Hexagramm (6 : 2) |
| Ikosaeder und Dodekaeder | fünfzählig und zehnzählig | Pentagramm (5 : 2) und doppeltes Pentagramm (10 : 4) |
Betrachtet man jeden Körper von einer Ecke, einer Kante und einer Fläche aus, zeigen die flachen Projektionen Vielecke mit genau den Eckenzahlen der Startfiguren. In den ersten Produkten der ersten Primzahlen 2, 3 und 5, also 4, 6 und 10, gehen auch die Zahlen der Ecken, Kanten und Flächen auf: 4 Ecken und 4 Flächen beim Tetraeder, 6 und 12 bei Oktaeder und Würfel, 12, 20 und 30 bei Ikosaeder und Dodekaeder. Dass hier ein Zusammenhang besteht, lässt sich schon mit dem Auge kaum bestreiten.
Dass die Primzahlen 3 und 5 sich verdoppeln, Dreieck zu Sechsstern, Fünfstern zu Zehnstern, ist nach dieser Deutung eine Folge von geraden und ungeraden Zahlen (siehe Zahlentheorie). Aufrecht und gestürzt gezeichnet zeigen die Startfiguren die beiden dualen Paare, 2 × 2 = 4, eine Tetraktys. Das Tetraeder als einziger selbstdualer Körper steht damit in einer fraktalen Rangfolge über den übrigen vier.
Die Sternkörper
Man sagt, die fünf platonischen Körper seien neben der Kugel die einzigen vollkommen symmetrischen Körper. Das stimmt nur bedingt. Zu ihnen gehören auch die Sternkörper: die vier Kepler-Poinsot-Körper und das Sterntetraeder. Sie entsprechen den Sternpolygonen der Startfiguren, so wie die platonischen Körper den Vielecken entsprechen.
Zwei der vier beschrieb Johannes Kepler 1619 in seinen Harmonices Mundi, das kleine und das große Sterndodekaeder. Die beiden anderen fand Louis Poinsot 1809. Drei Jahre später bewies Augustin-Louis Cauchy, dass es genau diese vier gibt. Ihre Flächen sind Pentagramme, Fünfecke oder Dreiecke, die einander durchdringen, und in allen vieren steckt die Fünf.
Die vier Kepler-Poinsot-Körper. Jede Farbe markiert eine Fläche, die sich mit den anderen durchdringt.
Die erste bekannte Darstellung eines kleinen Sterndodekaeders ist allerdings fast zweihundert Jahre älter als Keplers Buch. Sie liegt als Marmormosaik im Fußboden des Eingangsbereichs von San Marco in Venedig, nach einem Entwurf, der dem Maler Paolo Uccello zugeschrieben wird.
Warum es nur fünf gibt
Die Frage ist alt, und die Antwort auch. Sie steht schon bei Euklid:
- An jeder Ecke eines Körpers müssen mindestens drei Flächen zusammentreffen.
- Die Winkel dieser Flächen an einer Ecke müssen zusammen weniger als 360° ergeben. Bei genau 360° lägen die Flächen flach in einer Ebene, bei mehr ließe sich keine Ecke falten.
Mit Dreiecken (60°) gehen also drei, vier oder fünf Flächen je Ecke, das ergibt Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder. Mit Quadraten (90°) gehen nur drei, der Würfel. Mit Fünfecken (108°) ebenfalls nur drei, das Dodekaeder. Sechsecke haben schon 120°, drei davon ergeben 360° und damit eine ebene Fläche. Dieselbe Grenze des Vollkreises, die hier die Zahl der Körper festlegt, bestimmt auch die Winkelsummen der Startfiguren (siehe Winkelsummen und Vollkreise). Beides miteinander in Beziehung zu setzen, liegt nahe.
Durchdringungskörper: die Dualitäten als Tetraktys
Das Tetraeder hat mit seinen vier Ecken das Mindeste, was ein Körper braucht. Es ist die „Tetraktys des Raumes“:
| Gebilde | Ecken | ||
|---|---|---|---|
| 1 | Punkt | 1 | eine Ecke |
| 2 | Linie | 2 | eine Kante |
| 3 | Dreieck | 3 | eine Fläche |
| 4 | Tetraeder | 4 | ein Körper |
Teilt man ein Tetraeder immer weiter, entsteht ein Fraktal, das auch in der Zahlentheorie eine Rolle spielt (siehe Simplex – multidimensionale Tetraeder). Alle platonischen Körper lassen sich mit Tetraedern aufbauen, und in allen Durchdringungskörpern wiederholt sich das Schema dieses Tetraederfraktals. Die Dreiecksflächen sind echte Fraktale, die Quadrate und Fünfecke folgen ihm nicht.
Schiebt man zwei duale Körper so ineinander, dass sich ihre Kanten gegenseitig halbieren, entstehen drei Durchdringungskörper. Wo beide Körper sich überschneiden, bleibt eine Schnittmenge übrig, und um beide lässt sich ein Hüllkörper legen:
| Paar | Dualität | Schnittmenge | Hülle |
|---|---|---|---|
| Tetraeder und Tetraeder | 3er, also 6 | Oktaeder | Würfel |
| Oktaeder und Würfel | 4er, also 8 | Kuboktaeder | Rhombendodekaeder |
| Ikosaeder und Dodekaeder | 5er, also 10 | Ikosidodekaeder | Rhombentriakontaeder |
Die drei dualen Paare als Durchdringungskörper. Die Kanten beider Körper halbieren einander.
Die Dualitäten betreffen nur Ecken und Flächen, deshalb steckt das Wesentliche schon in der flachen Projektion. Und diese entspricht den Simplexen des 6-, 8- und 10-Ecks. Die Körper selbst sind natürlich nicht mit den Simplexen identisch. Stellt man den drei Paaren noch das einfache Tetraeder voran, ergibt sich die Reihe 4, 6, 8, 10. Beide Systeme beginnen also mit dem Viereck bzw. Tetraeder und schließen mit dem Zehneck.
Sternkörper, Durchdringung und Raumfüllung
Die platonischen Körper haben die höchste Symmetrie: alle Ecken, Kanten und Flächen sind gleich. Die zweithöchste haben die Kepler-Poinsot-Körper und das Sterntetraeder. Bei ihnen gibt es zwei Arten von Ecken, nach außen gewölbte an den Spitzen und nach innen gewölbte an der Basis, und die Kanten sind verschieden lang.
Neben den Dualitäten gibt es eine zweite wichtige Unterscheidung. Tetraeder, Oktaeder und Würfel füllen den Raum lückenlos, Tetraeder und Oktaeder gemeinsam, der Würfel allein (siehe Lückenlose Raumfüllung). Auch das Sterntetraeder gehört dazu: Es lässt sich aus Tetraedern und Oktaedern zusammensetzen, und seine Hülle ist der Würfel. Die vier Sternkörper von Ikosaeder und Dodekaeder entstehen dagegen, indem man die Kanten der Flächen verlängert, bis sie sich wieder treffen. Heraus kommen ineinander verschachtelte Dreiecke, Fünfecke und Pentagramme, und Fünfeckiges lässt sich weder in der Ebene noch im Raum lückenlos mit sich selbst füllen.
Man könnte einwenden, dass das Sterntetraeder kein echter Sternkörper sei, weil es als Durchdringung zweier Körper entsteht. Es entsteht aber ebenso, wenn man die Flächen des Oktaeders verlängert, bis sie sich wieder treffen, und ist damit die einzige Sternform des Oktaeders. Unter den Durchdringungen zweier gleicher Körper ist es die einfachste, und weil beide Körper gleich sind, hat es eine besonders hohe Symmetrie. Die Durchdringung von Oktaeder und Würfel steckt schon in ihm, als Schnittmenge und Hülle, nur ohne diese Symmetrie. Die Durchdringung von Ikosaeder und Dodekaeder besteht aus zwei verschiedenen Körpern und hat deshalb ebenfalls nur eine Symmetrie dritten Ranges.
Makrokosmos und Mikrokosmos
Verlängert man die Kanten der platonischen Körper, geschieht dreierlei. Bei Tetraeder, Oktaeder und Würfel setzen sie sich in einem lückenlosen Gitter fort. Bei Ikosaeder und Dodekaeder kreuzen sie sich in der Nähe noch einmal und bilden einen fünfzähligen Sternkörper, danach laufen sie auseinander und verlieren sich im Unendlichen, im „All“. Wie viele Ecken ein Körper hat, entscheidet also, ob sich seine Kanten zu einem unendlichen Gitter fügen, philosophisch gesprochen zu einem Bild des Ganzen, oder ins Grenzenlose zerstreuen.
In diesem Unterschied liegt der Kern einer verborgenen platonischen Kosmologie. Das Hexagramm gilt als Stern des Makrokosmos, das Pentagramm als Stern des Mikrokosmos. Philolaos sprach von Begrenzendem und Unbegrenztem (siehe Die antiken Quellen).
Raumwinkel und volle Kugeln
Was in der Ebene die Winkelsumme in vollen Kreisen ist, ist im Raum die Raumwinkelsumme in vollen Kugeln. Wie in der Ebene das Quadrat mit seinen vier rechten Winkeln genau einen Vollkreis ergibt, so ergeben die acht rechtwinkligen Ecken des Würfels zusammen genau eine volle Kugel: Die drei Achsen x, y und z teilen die Kugel um einen Punkt in acht Achtel. Der Würfel ist zugleich der einzige platonische Körper, der den Raum allein lückenlos füllt.
| Körper | Ecken | Raumwinkelsumme in vollen Kugeln |
|---|---|---|
| Tetraeder | 4 | ≈ 0,18 |
| Oktaeder | 6 | ≈ 0,65 |
| Würfel | 8 | 1 |
| Ikosaeder | 12 | ≈ 2,52 |
| Dodekaeder | 20 | ≈ 4,71 |
Nur der Würfel trifft die volle Kugel genau. Auch das Sterntetraeder, dessen acht Spitzen einen Würfel aufspannen, gehört damit zu dieser Ordnung, ebenso die kubischen Kristallsysteme, die aus Tetraedern und Oktaedern aufgebaut sind. Ikosaeder und Dodekaeder überschreiten mit ihrer Fünfzähligkeit diese Grenze der Vier. Weil die Winkelsummen der ebenen Vielecke und Sternvielecke so auffällig mit den Teilereigenschaften der Zahlen zusammenhängen, darf man vermuten, dass Ähnliches auch im Raum gilt.
Offene Fragen
Weiter zu untersuchen sind:
- die Raumwinkelsummen der Sternkörper im Vergleich zu den Vollkreisen der Sternfiguren,
- die Sicht der Simplexe als zweidimensionale Projektionen höherdimensionaler Tetraeder, und der platonischen Körper als „Zerrbild“ unserer dreidimensionalen Erfahrung.