Kosmos

Die Musik der Primzahlen: Riemann, Connes und die Physik

Riemann setzte die Primzahlen 1859 aus Wellen zusammen, eine für jede Nullstelle der Zetafunktion. Diese Nullstellen verhalten sich wie die Energiestufen von Atomkernen, und Alain Connes deutet sie als Spektrum.

Die Tetraktys ordnet die Primzahlen in Rastern, im Sechsertakt und in der Divisionstabelle. Diese Seite blickt über sie hinaus, auf eine der großen offenen Fragen der Mathematik. Sie zeigt, wie weit der pythagoreische Gedanke trägt, dass Zahl und Klang dasselbe sind.

Riemanns Wellen

Bernhard Riemann zeigte 1859 in einer Abhandlung von nur sechs handschriftlichen Seiten, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (Handschrift beim Clay-Institut, gesetzter Text), dass sich die Verteilung der Primzahlen exakt aus den Nullstellen einer einzigen Funktion zusammensetzen lässt, auch wenn ein vollständiger Beweis erst Jahrzehnte später gelang, der Zetafunktion ζ(s). Jede Nullstelle trägt eine Welle bei, mit eigener Frequenz. Nimmt man keine einzige, bleibt eine glatte Gerade, das mittlere Wachstum der Primzahlen. Mit jeder weiteren Welle wird das Bild schärfer, bis die Summe genau an jeder Primzahl eine Stufe macht. Die Primzahlen sind gleichsam ein Klang, und die Nullstellen sind seine Teiltöne. Marcus du Sautoy hat sein Buch darüber deshalb Die Musik der Primzahlen genannt.

Nullstellen

Die Primzahltreppe ψ(x) springt an jeder Primzahl p um ln p, an Primzahlpotenzen ebenso. Die Formel in der Fassung, die Hans von Mangoldt 1895 nach Riemanns Idee bewies, setzt sie aus der Geraden x und einer Welle für jede Nullstelle der Zetafunktion zusammen. Der Regler wählt, wie viele Nullstellen mitklingen.

Alle nichttrivialen Nullstellen, die man bisher berechnet hat, und das sind viele Billionen, liegen auf einer einzigen Geraden: Ihr Realteil ist genau 1/2. Ob das für alle unendlich vielen gilt, ist die Riemannsche Vermutung, seit 1859 unbewiesen und seit 2000 eines der sieben Millenniumsprobleme des Clay-Instituts. Anschaulich besagt sie, dass die Primzahlen so gleichmäßig verteilt sind, wie es ihre scheinbare Unordnung überhaupt zulässt.

Ein Gegenstück in der Physik

Schon David Hilbert und George Pólya sollen vermutet haben, dass die Nullstellen die Energiestufen eines physikalischen Systems sein könnten, so wie die Quantenmechanik für jedes Atom solche Stufen kennt. Dann läge die Riemannsche Vermutung in der Natur der Sache, denn solche Energien sind immer reelle Zahlen, und die Nullstellen müssten auf ihrer Geraden liegen.

1972 traf der Zahlentheoretiker Hugh Montgomery in Princeton beim Tee den Physiker Freeman Dyson. Montgomery hatte berechnet, wie die Abstände der Nullstellen verteilt sind. Dyson erkannte die Formel sofort wieder: Es war dieselbe Verteilung, die in der Theorie der Zufallsmatrizen auftritt, mit der man die Abstände der Energieniveaus schwerer Atomkerne beschreibt, die Eugene Wigner und er selbst entwickelt hatten. Andrew Odlyzko bestätigte das ab 1987 an riesigen Mengen weit draußen liegender Nullstellen. Die Primzahlen selbst streuen wie der Zufall. Ihre Nullstellen aber meiden einander wie die Energiestufen eines Kerns.

Nullstellen von ζPrimzahlen

Wie oft welche Abstände vorkommen, gemessen am mittleren Abstand. Die Nullstellen der Zetafunktion folgen der Kurve der Zufallsmatrizen, mit denen man auch die Energieniveaus schwerer Atomkerne beschreibt, sehr kleine Abstände sind selten. Die Primzahlen folgen eher der Kurve des Zufalls. Ihre Zacken kommen daher, dass Primzahllücken gerade sind und Vielfache von 6 bevorzugen, den Sechsertakt.

Connes und die nichtkommutative Geometrie

Hier setzt Alain Connes an. In den 1980er-Jahren begründete er die nichtkommutative Geometrie, eine Geometrie für Räume, deren Koordinaten sich nicht vertauschen lassen, so wie in der Quantenmechanik Ort und Impuls. Schon 1982 hatte er für seine Arbeiten über Operatoralgebren, aus denen sie hervorging, die Fields-Medaille erhalten. Mit Ali Chamseddine stellte er 1996 ein einziges Prinzip auf, die spektrale Wirkung, aus dem sich die Gleichungen des Standardmodells der Teilchenphysik samt der Gravitation ergeben, wenn man den Teilcheninhalt passend wählt. Und 1998 legte er eine geometrische Deutung der Riemannschen Vermutung vor: Die Nullstellen erscheinen darin als Spektrum, wie Absorptionslinien, auf einem nichtkommutativen Raum, der alle Primzahlen auf einmal umfasst. So wie die Balmer-Linien im Licht des Wasserstoffs ganzen Zahlen folgen, wären dann die verborgenen Ordnungen der Zahl selbst Linien in einem Spektrum. Bewiesen ist die Vermutung damit nicht. Connes hat sie auf eine andere Aussage zurückgeführt, die ebenfalls offen ist.

Was daraus folgen würde

Die Primzahlfrage hätte dann ein Gegenstück in der Physik. Man könnte dann vermuten, dass auch die Divisionstabelle und die Kreisgeometrie der Simplexe, die auf diesen Seiten die Ordnung der Primzahlen sichtbar machen, mit der Physik unserer Welt in Beziehung stehen. Das ist eine Vermutung dieser Website, keine Folgerung der Mathematik. Das entspräche der Weltsicht der Pythagoreer vor 2500 Jahren: Die Zahl ist nicht nur ein Werkzeug, um die Welt zu beschreiben, sondern ihr Bauplan. Zur Vorsicht: Das physikalische System, dessen Energiestufen die Nullstellen wären, hat bis heute niemand gefunden. Mehr dazu unter Alles ist Zahl, alles ist Frequenz.

Quellen und Literatur

Quellen

• Bernhard Riemann, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, Monatsberichte der Berliner Akademie, 1859
• Hugh L. Montgomery, The pair correlation of zeros of the zeta function, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 24, 1973
• Andrew M. Odlyzko, On the distribution of spacings between zeros of the zeta function, Mathematics of Computation 48, 1987
• Alain Connes, Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function, Selecta Mathematica 5, 1999

Zum Weiterlesen

• Marcus du Sautoy, Die Musik der Primzahlen, München 2004