Was offen ist

Was diese Rubrik bewiesen hat, was bewiesen ist, aber hier zu weit führen würde, was niemand weiß, und welche Aussagen dieser Website Deutungen sind. Eine Landkarte von Sicherem und Offenem.

Am Ende dieser Rubrik lohnt ein Blick zurück. Die Mathematik unterscheidet streng zwischen dem, was bewiesen ist, und dem, was nur vermutet wird, und diese Website versucht dasselbe. Dieses Kapitel ordnet die mathematischen Aussagen der ganzen Website in vier Gruppen.

In dieser Rubrik bewiesen

Alles in den Kapiteln 1 bis 10 ist bewiesen, die meisten Sätze auch von Lean geprüft. Für die Seiten der Website sind besonders wichtig:

Aussage	Kapitel
$1 + 2 + \dots + n = \tfrac{n(n+1)}{2}$ , die Tetraktys ist $T(4) = 10$	1
$1 + 3 + \dots + (2n-1) = n^2$ , der Gnomon	2
Die Figur $\{n/k\}$ zerfällt in $\gcd(n,k)$ Teile, es gibt genau vier Arten	6
Die Zehn ist die erste Zahl mit allen vier Arten	6
Primzahlen sind genau die Simplexe ohne zusammengesetzte Figur	6
Ohne Sternpolygon mehrfach sind unter den zusammengesetzten Zahlen nur 4, 6, 8, 9 und 12	6
Unendlich viele Primzahlen, eindeutige Zerlegung	4
Bis 24 sind alle Zwillingsplätze prim, die erste Ausnahme ist $25 = 5^2$	4, 5
Primzahlen ab 5 liegen auf $6n \pm 1$ , und $24 \mid p^2 - 1$	5
$a^2 \equiv 1 \pmod m$ für alle teilerfremden $a$ genau dann, wenn $m \mid 24$	5
Nur das Zehneck hat so viele Vollkreise wie Ecken	7
Winkelsumme gleich Quotient nur bei vier Figuren	7
Kein Stapel reiner Quinten ergibt reine Oktaven	8
$\sqrt{2}$ und $\varphi$ sind keine Brüche	9
Die eingeklappten Quadrate streben gegen $\pi$	10

Darüber hinaus gilt: Mehrere Beobachtungen, die einzeln wie Zufälle wirken, haben einen gemeinsamen Grund. Die 10 und die 2,5 in den Rastern des Siebs entstehen als $2 \cdot 5$ und $5 : 2$ , weil 5 die erste Zahl nach 2 und 3 ist, die keine von beiden teilt. Manche Auftritte der 24, etwa die Teilbarkeit von $p^2 - 1$ , folgen aus Kapitel 5, Satz 4. Andere, wie die Kusszahl in vier Dimensionen oder das Leech-Gitter, haben eigene Gründe.

Bewiesen, aber hier zu weit

Manche Aussagen der Website sind bewiesen, nur ist der Beweis zu lang oder braucht Werkzeuge, die diese Rubrik nicht einführt.

Aussage	bewiesen von
Der Anteil teilerfremder Paare strebt gegen $6/\pi^2$	Dirichlet 1849, Mertens 1874, Cesàro 1881
$1^2 + 2^2 + \dots + n^2$ ist nur für $n = 1$ und $n = 24$ eine Quadratzahl, $70^2$	Watson 1918
10, 120, 1540, 7140 sind die einzigen Zahlen über 1, die zugleich Dreiecks- und Tetraederzahl sind	Avanesov 1966
Die Kusszahl im Raum ist 12, in vier Dimensionen 24	Schütte und van der Waerden 1953, Musin 2003
Die dichtesten Kugelpackungen in 8 und 24 Dimensionen sind $E_8$ und das Leech-Gitter	Viazovska 2016, mit Cohn, Kumar, Miller, Radchenko
Keplers Vermutung über die dichteste Packung im Raum	Hales 2005, formal geprüft 2014
Die Primzahlen verteilen sich gleichmäßig auf die Endziffern 1, 3, 7, 9	Dirichlet 1837, de la Vallée Poussin 1896
Es gibt etwa $x / \ln x$ Primzahlen unter $x$	Hadamard und de la Vallée Poussin 1896
$\pi$ ist kein Bruch, und die Quadratur des Kreises ist unmöglich	Lambert 1761, Lindemann 1882

Auch große Beweise wie diese lassen sich heute von Computern prüfen. Keplers Vermutung wurde 2014 vollständig in Beweisassistenten nachgeprüft, veröffentlicht 2017, und an Fermats letztem Satz arbeitet seit 2024 ein großes internationales Projekt in Lean.

Was niemand weiß

Einige der ältesten Fragen über Primzahlen sind bis heute offen, obwohl sie sich in einem Satz stellen lassen.

Die Riemannsche Vermutung (1859): Alle nichttrivialen Nullstellen der Zetafunktion liegen auf der Geraden mit Realteil $\tfrac12$ . Aus ihr folgte, dass die Primzahlen so gleichmäßig verteilt sind, wie es überhaupt möglich ist. Sie ist eines der sieben Millennium-Probleme, auf ihre Lösung ist seit 2000 ein Preis von einer Million Dollar ausgesetzt (siehe Die Musik der Primzahlen).
Die Primzahlzwillinge: Gibt es unendlich viele Paare $p, p + 2$ , die beide prim sind? Yitang Zhang bewies 2013, dass es unendlich viele Primzahlpaare mit einem Abstand unter 70 Millionen gibt. Inzwischen ist die Schranke auf 246 gesunken. Ob sie bis 2 sinkt, weiß niemand.
Die Goldbachsche Vermutung (1742, in dieser Form von Euler): Jede gerade Zahl über 2 ist die Summe zweier Primzahlen. Nachgeprüft bis $4 \cdot 10^{18}$ , bewiesen nicht.
Primzahlen der Form $n^2 + 1$ : Gibt es unendlich viele? Edmund Landau nannte die Frage 1912 unter vier Problemen, die er für unangreifbar hielt. Alle vier sind noch offen, auch die Zwillinge und Goldbach gehören dazu.

Nullstellen

Die explizite Formel von Riemann und von Mangoldt setzt die Treppe der Primzahlen aus einer Geraden und einer Welle für jede Nullstelle der Zetafunktion zusammen. Mit mehr Nullstellen wird die Treppe schärfer. Dass alle diese Nullstellen auf einer Geraden liegen, ist die Riemannsche Vermutung.

Auch die Beobachtung, dass die Abstände der Nullstellen derselben Statistik folgen wie die Energieniveaus schwerer Atomkerne, ist ein Befund ohne Beweis. Hugh Montgomery und Freeman Dyson bemerkten den Zusammenhang 1972, Andrew Odlyzko bestätigte ihn an Milliarden von Nullstellen. Warum er besteht, ist offen.

Deutungen

Und schließlich gibt es auf dieser Website Aussagen, die keine Mathematik im strengen Sinn sind, sondern Lesarten. Sie sind dort als Thesen formuliert, und so sollte man sie lesen:

dass die Pythagoreer mit der Tetraktys genau diese Zusammenhänge von Figur und Teilbarkeit meinten,
dass der Verteilung der Primzahlen eine „Dezimalcodierung“ zugrunde liege. Mathematisch belegt ist, dass die 10 dort als $2 \cdot 5$ entsteht, unabhängig vom Zählsystem, aber abhängig von der Wahl des Sechsertakts,
dass die Simplexe das Wesen der Kreiszahl ausdrücken. Die Kreiszahl tritt in der Teilbarkeit auf, als $6/\pi^2$ , und in den Vielecken, als Grenzwert des Archimedes, aber auf zwei verschiedenen Wegen, die nach heutigem Wissen nicht zusammenhängen,
und alle Verbindungen zur Mystik, zur Physik und zur Philosophie, die in den übrigen Rubriken stehen.

Deutungen sind kein Mangel. Ohne sie gäbe es keine Fragen, und ohne Fragen keine Beweise. Auch die Pythagoreer haben ihre Mathematik aus einer Deutung der Welt heraus betrieben, die Aristoteles in die Formel brachte, alles sei Zahl. Die Mathematik, die daraus wurde, hat ihnen in vielem recht gegeben und in manchem widersprochen, und gerade das Inkommensurable aus Kapitel 9 zeigt, dass sie dabei ehrlich geblieben ist.

Quellen und Literatur

Quellen

Christian Goldbach, Brief an Leonhard Euler, 7. Juni 1742
Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression … unendlich viele Primzahlen enthält, Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1837
Bernhard Riemann, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, Monatsberichte der Berliner Akademie, 1859
Jacques Hadamard und Charles de la Vallée Poussin, Beweise des Primzahlsatzes, 1896
Yitang Zhang, Bounded gaps between primes, Annals of Mathematics 179, 2014
Maryna Viazovska, The sphere packing problem in dimension 8, Annals of Mathematics 185, 2017, S. 991 bis 1015
Thomas C. Hales u. a., A formal proof of the Kepler conjecture, Forum of Mathematics, Pi 5, 2017

Zum Weiterlesen

G. H. Hardy und E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford 1938, 6. Aufl. 2008