Grundlagen

Verhältnisse

Brüche als Verhältnisse, die Intervalle der Tetraktys 2 : 1, 3 : 2 und 4 : 3, warum zwölf Quinten nie genau sieben Oktaven ergeben, und warum die Divisionstabelle jeden Bruch genau einmal neu enthält.

Für die Pythagoreer war ein Bruch kein Rechenergebnis, sondern ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen, und die wichtigsten Verhältnisse fanden sie in der Musik. Teilt man eine Saite im Verhältnis 1 : 2, erklingt die Oktave, bei 2 : 3 die Quinte, bei 3 : 4 die Quarte. Alle drei stecken in den Zahlen 1, 2, 3 und 4 der Tetraktys. Theon von Smyrna schreibt im 2. Jahrhundert sinngemäß, in der Tetraktys seien alle Zusammenklänge enthalten. Dieses Kapitel macht daraus Mathematik.

Brüche

So ist $\tfrac{2}{4} = \tfrac{1}{2}$, weil $2 \cdot 2 = 4 \cdot 1$. Die Definition sagt also, wann zwei Verhältnisse dasselbe meinen, ohne dass man je durch etwas teilen muss.

Die Divisionstabelle

Schreibt man alle Brüche $\tfrac{n}{k}$ in eine Tabelle, mit dem Zähler $n$ in der Spalte und dem Nenner $k$ in der Zeile, kommt jeder positive Bruch darin unendlich oft vor: $\tfrac12 = \tfrac24 = \tfrac36 = \dots$. Nach Satz 1 steht er aber genau einmal gekürzt da, und das ist das Feld, in dem er zum ersten Mal auftaucht. Die Seite Divisionstabelle färbt diese Felder rot. Mit derselben Tabelle zeigt man, einer Idee Georg Cantors folgend, dass sich die Brüche abzählen lassen wie die natürlichen Zahlen: Man läuft sie in Diagonalen ab und überspringt die nicht gekürzten Felder. In der Harmonik heißt sie Lambdoma.

Wie groß ist der Anteil der gekürzten Felder? Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällige Zahlen beide durch eine Primzahl $p$ teilbar sind, ist $1/p^2$. Dass sie keinen gemeinsamen Primteiler haben, hat also die Wahrscheinlichkeit

Das erste Gleichheitszeichen folgt aus der eindeutigen Zerlegung (Kapitel 4), das zweite ist Eulers Lösung des Basler Problems von 1735, $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$. Gezeigt hat die Aussage über die Felder Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1849, genauer gefasst haben sie Franz Mertens 1874 und Ernesto Cesàro 1881. Die Rechnung oben ist die Idee des Beweises, nicht der Beweis selbst, denn „zufällige natürliche Zahl“ muss man erst genau fassen.

Die Intervalle der Tetraktys

Das Verhältnis zweier Töne ist das Verhältnis ihrer Frequenzen. Zwei Intervalle hintereinander zu spielen heißt, ihre Verhältnisse zu multiplizieren.

Mit 2 : 1, 3 : 2, 4 : 3 und 9 : 8 hatten die Pythagoreer alles, um eine Tonleiter zu bauen. Doch sie stießen auf ein Hindernis, das sich nicht beseitigen lässt.

Das pythagoreische Komma

Stapelt man zwölf Quinten übereinander, kommt man fast genau bei sieben Oktaven an, aber nur fast:

Der Unterschied $\tfrac{3^{12}}{2^{19}} = \tfrac{531441}{524288} \approx 1{,}0136$ heißt pythagoreisches Komma. Es ist kein Messfehler und keine Ungenauigkeit der Stimmung, sondern ein Satz.

Das ist der Grund, warum jedes Stimmungssystem einen Kompromiss machen muss. Die heute übliche gleichstufige Stimmung verteilt das Komma auf alle zwölf Quinten und macht jede ein wenig zu klein. Für die Pythagoreer war es vielleicht die erste Begegnung mit einer Grenze, die in den Zahlen selbst liegt. Die zweite folgt im nächsten Kapitel.

/-! Kapitel 8: Verhältnisse und das pythagoreische Komma -/

/-- Satz 3: Keine Anzahl reiner Quinten ergibt reine Oktaven,
    3^a ≠ 2^b für b ≥ 1. Eine Potenz von 3 ist ungerade,
    eine Potenz von 2 gerade. -/
theorem komma (a b : Nat) (hb : 1 ≤ b) : 3 ^ a ≠ 2 ^ b := by
  intro h
  have h3 : 3 ^ a % 2 = 1 := by
    rw [Nat.pow_mod]
    simp
  have h2 : 2 ^ b % 2 = 0 := by
    obtain ⟨c, rfl⟩ : ∃ c, b = c + 1 := ⟨b - 1, by omega⟩
    rw [Nat.pow_succ]
    simp
  omega

-- Das Komma: 3¹² gegen 2¹⁹, also 531441 gegen 524288
example : 3 ^ 12 = 531441 ∧ 2 ^ 19 = 524288 := by decide

Wo das auf dieser Website vorkommt

Die Seiten der Rubrik Harmonik bauen auf diesen Verhältnissen auf, besonders Das Lambdoma und Raum und Zeit: das Monochord im Lambdoma. Die Verbindung von Teilbarkeit und Klang, die dort beschrieben wird, beruht auf Satz 1: Gekürzte Brüche sind genau die neuen Töne.