Das Inkommensurable

Strecken ohne gemeinsames Maß: warum Seite und Diagonale des Quadrats in keinem Zahlenverhältnis stehen, warum der euklidische Algorithmus dann nie endet, und wie das Pentagramm, das Zeichen der Pythagoreer, dieselbe Entdeckung in sich trägt.

„Alles ist Zahl“, so fasst man seit Aristoteles die Lehre der Pythagoreer zusammen, und man liest das heute meist so: Alles lässt sich durch Verhältnisse ganzer Zahlen ausdrücken. Irgendwann im 5. Jahrhundert v. Chr. entdeckte einer von ihnen, dass das nicht stimmt. Die späte Überlieferung bei Iamblichos nennt ihn nicht beim Namen und erzählt, er sei für den Verrat dieses Geheimnisses verstoßen worden oder im Meer umgekommen. Erst die moderne Forschung verbindet die Geschichte mit Hippasos von Metapont, den Iamblichos an anderer Stelle wegen des Dodekaeders ertrinken lässt. Ob die Geschichte wahr ist, weiß niemand. Viele sehen in der Entdeckung einen Schlag gegen den Kern der pythagoreischen Lehre, andere Historiker bezweifeln, dass es eine solche Krise je gab (siehe Pythagoras: die Lehre).

Kommensurabel

Definition

Zwei Strecken $a$ und $b$ heißen kommensurabel, wenn es eine Strecke $e$ gibt, die in beiden aufgeht:

a = m \cdot e, \quad b = n \cdot e, \qquad m, n \in \mathbb{N}.

Dann ist $a : b = m : n$ ein Verhältnis ganzer Zahlen. Andernfalls heißen sie inkommensurabel.

Kommensurabel heißt „gemeinsam messbar“. Zwei Saiten, deren Längen kommensurabel sind, stehen in einem Intervall wie in Kapitel 8. Die Pythagoreer nahmen an, dass das für alle Strecken gilt, denn man muss das gemeinsame Maß $e$ ja nur klein genug wählen.

Seite und Diagonale

Wie lang ist die Diagonale eines Quadrats? In Platons Dialog Menon zeigt Sokrates einem Sklaven, dass das Quadrat über der Diagonale doppelt so groß ist wie das ursprüngliche Quadrat: Eine Diagonale teilt das kleine Quadrat in zwei Dreiecke, und das Quadrat über der Diagonale besteht aus vier solchen Dreiecken, ist also doppelt so groß. Für die Diagonale $d$ und die Seite $s$ gilt also $d^2 = 2 s^2$ .

Satz 1

Seite und Diagonale eines Quadrats sind inkommensurabel. Gleichwertig: $\sqrt{2}$ ist kein Bruch.

Beweis

Angenommen, $d : s = a : b$ mit natürlichen Zahlen, gekürzt nach Kapitel 8, Satz 1. Aus $d^2 = 2s^2$ folgt $a^2 = 2b^2$ . Also ist $a^2$ gerade. Wäre $a$ ungerade, wäre auch $a^2$ ungerade, also ist $a$ gerade, $a = 2c$ . Dann ist $4c^2 = 2b^2$ , also $b^2 = 2c^2$ , und nach demselben Schluss ist auch $b$ gerade. Dann wäre der Bruch $a/b$ nicht gekürzt, ein Widerspruch.

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Diesen Beweis kennt schon Aristoteles. In der Ersten Analytik (I 23) nennt er ihn als Musterbeispiel eines Widerspruchsbeweises: Wären Seite und Diagonale kommensurabel, wäre dieselbe Zahl gerade und ungerade.

Das Wegnehmen, das nie endet

Wie sollten die Griechen bemerkt haben, dass es kein gemeinsames Maß gibt? Man kann ja nicht alle Maße durchprobieren. Der Weg führt über das Verfahren aus Kapitel 3.

Satz 2

Zwei Strecken sind genau dann kommensurabel, wenn das wechselseitige Wegnehmen, der euklidische Algorithmus, nach endlich vielen Schritten aufgeht.

Beweis

Geht das Verfahren auf, so misst die letzte Strecke die vorletzte, damit alle vorigen und am Ende beide Ausgangsstrecken. Sie ist ein gemeinsames Maß.

Sind umgekehrt $a = me$ und $b = ne$ , so ist jeder Rest im Verfahren ein ganzzahliges Vielfaches von $e$ , denn er entsteht durch Abziehen solcher Vielfacher. Die Reste werden bei jedem Schritt kleiner, und eine fallende Folge natürlicher Zahlen $m, n, \dots$ endet nach endlich vielen Schritten.

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Das steht bei Euklid in den Elementen X 2 und 3. Nun kann man das Wegnehmen an Seite und Diagonale ausprobieren:

a b

Rechteck im Verhältnis 1 : √2. Nach dem ersten Quadrat bleiben immer zwei Quadrate und ein Rest übrig, dessen Form sich wiederholt. Das Wegnehmen endet nie.

Satz 3

Beim Wegnehmen an $1$ und $\sqrt{2}$ wiederholt sich nach dem ersten Schritt jeder weitere Schritt mit derselben Form: Es gehen immer genau zwei Quadrate hinein. Das Verfahren endet nie.

Beweis

Nach dem ersten Schritt bleibt ein Rechteck mit den Seiten $1$ und $\sqrt{2} - 1$ . Wegen $(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) = 2 - 1 = 1$ ist sein Seitenverhältnis

\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1 = 2 + (\sqrt{2} - 1).

Es gehen also zwei Quadrate hinein, und der Rest hat wieder das Verhältnis $1 : (\sqrt 2 - 1)$ , dasselbe wie zuvor. So geht es weiter, ohne Ende. Nach Satz 2 sind die Strecken inkommensurabel.

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Das Pentagramm

Viele Historiker, seit Kurt von Fritz 1945, vermuten, dass die Entdeckung nicht am Quadrat, sondern am Fünfeck gemacht wurde, an der Figur, die ihnen spätere Quellen als Erkennungszeichen zuschreiben. Im regelmäßigen Fünfeck ist das Verhältnis von Diagonale zu Seite der Goldene Schnitt $\varphi$ , und es gilt $\varphi = 1 + \tfrac{1}{\varphi}$ (siehe Das Pentagramm und der Goldene Schnitt).

Satz 4

Diagonale und Seite des regelmäßigen Fünfecks sind inkommensurabel. Gleichwertig: $\varphi$ ist kein Bruch.

Beweis

Wegen $\varphi = 1 + \tfrac{1}{\varphi}$ geht in das Rechteck $1 \times \varphi$ genau ein Quadrat, und der Rest hat die Seiten $1$ und $\varphi - 1 = \tfrac{1}{\varphi}$ , also wieder das Verhältnis $\varphi : 1$ . Jeder Schritt wiederholt den vorigen, und nach Satz 2 gibt es kein gemeinsames Maß.

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Im Pentagramm sieht man das ohne Rechnung: In der Mitte jedes Pentagramms liegt ein kleineres Fünfeck, in das man wieder ein Pentagramm zeichnen kann, und so fort. Diagonale und Seite des großen Fünfecks lassen sich durch die Strecken des kleinen ausdrücken, die des kleinen durch die eines noch kleineren, und ein letztes, kleinstes gemeinsames Maß wird nie erreicht. Wer das Zeichen der Pythagoreer aufmerksam zeichnet, findet darin die Grenze ihrer Lehre.

a b

Rechteck im Verhältnis 1 : φ, das Verhältnis von Seite und Diagonale im Fünfeck. In jedem Schritt geht genau ein Quadrat hinein, und der Rest ist wieder ein Rechteck derselben Form.

Vom Computer geprüft: der Beweis in Lean

wurzel_zwei sagt: Es gibt keine natürlichen Zahlen $a$ und $b > 0$ mit $a^2 = 2b^2$ . Lean beweist das nicht mit „gekürzt“, sondern durch unendlichen Abstieg, über starke Induktion nach $b$ : Aus einer Lösung $(a, b)$ wird mit $a = 2c$ die Lösung $(b, c)$ mit kleinerem $c < b$ . Eine natürliche Zahl kann aber nicht unendlich oft kleiner werden. Diese Form des Beweises entspricht genau dem Pentagramm im Pentagramm.

/-! Kapitel 9: Die Wurzel aus 2 ist kein Bruch -/

/-- Es gibt keine natürlichen Zahlen a, b > 0 mit a² = 2b².
    Also ist √2 kein Bruch. -/
theorem wurzel_zwei (b : Nat) :
    ∀ a, 0 < b → a * a ≠ 2 * (b * b) := by
  induction b using Nat.strongRecOn with
  | ind b ih =>
    intro a hb h
    -- a² ist gerade, also ist a gerade: a = 2c
    have ha : a % 2 = 0 := by
      rcases Nat.mod_two_eq_zero_or_one a with h0 | h1
      · exact h0
      · have : a * a % 2 = 1 := by rw [Nat.mul_mod, h1]
        omega
    obtain ⟨c, rfl⟩ : ∃ c, a = 2 * c := ⟨a / 2, by omega⟩
    -- 4c² = 2b², also b² = 2c²:
    -- dieselbe Gleichung mit kleineren Zahlen
    have h' : b * b = 2 * (c * c) := by
      have : 2 * c * (2 * c) = 2 * (2 * (c * c)) := by
        rw [Nat.mul_assoc, Nat.mul_left_comm c 2 c, ← Nat.mul_assoc]
      omega
    have hc : 0 < c := by
      rcases Nat.eq_zero_or_pos c with h0 | hpos
      · subst h0
        have : 0 < b * b := Nat.mul_pos hb hb
        omega
      · exact hpos
    -- c < b, denn sonst wäre 2c² ≥ 2b² > b²
    have hcb : c < b := by
      apply Classical.byContradiction
      intro hn
      have : b * b ≤ c * c := Nat.mul_le_mul (by omega) (by omega)
      have : 0 < b * b := Nat.mul_pos hb hb
      omega
    exact ih c hcb b hc h'

Im Browser ausprobieren auf live.lean-lang.org ↗Wie man Lean liest

Was danach kam

Die Entdeckung war keine Katastrophe, sondern ein Anfang. Theodoros von Kyrene zeigte, wie Platon im Theaitetos berichtet, dass auch $\sqrt{3}, \sqrt{5}$ und die übrigen Wurzeln aus Nicht-Quadratzahlen bis $\sqrt{17}$ inkommensurabel sind. Eudoxos von Knidos schuf im 4. Jahrhundert v. Chr. eine Lehre der Verhältnisse, die auch inkommensurable Größen umfasst, und Euklid überliefert sie im fünften Buch der Elemente. Erst im 19. Jahrhundert wurde daraus mit Richard Dedekind die heutige Theorie der reellen Zahlen. Ihre erste Anwendung, die Kreiszahl, behandelt das nächste Kapitel.

Quellen und Literatur

Quellen

Platon, Menon 82b bis 85b, und Theaitetos 147d bis 148b
Aristoteles, Erste Analytik I 23, 41a
Euklid, Elemente, um 300 v. Chr., Buch X
Kurt von Fritz, The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum, Annals of Mathematics 46, 1945