Grundlagen

Was ist ein Beweis?

Warum Beispiele nicht genügen, woraus ein Beweis gebaut ist, und ein erster Beweis am Punktedreieck der Tetraktys: 1 + 2 + 3 + 4 = 10, und warum das für jede Zahl so weitergeht.

Auf dieser Website stehen Sätze wie „Das Zehneck ist der einzige Simplex, bei dem die Winkelsumme seiner Figuren gleich der Zahl seiner Ecken ist“. Gezeichnet hat man vielleicht die Simplexe bis zum Hundertseck. Woher weiß man dann, dass beim Tausendeck oder bei einer Zahl mit hundert Stellen nicht doch wieder ein Gleichstand auftritt? Die Antwort der Mathematik heißt Beweis. Diese Rubrik erklärt Schritt für Schritt, was das ist, und beweist die wichtigsten Aussagen der Seite so, dass man jeden Schritt selbst nachvollziehen kann.

Warum Beispiele nicht genügen

Leonhard Euler fand 1772 eine erstaunliche Formel. Setzt man in

für n die Zahlen 0, 1, 2, 3 … ein, erhält man 41, 43, 47, 53, 61, 71 …, lauter Primzahlen. Das geht vierzig Mal hintereinander gut. Wer nach zwanzig Beispielen aufhört, glaubt eine Formel für Primzahlen gefunden zu haben. Bei n = 40 aber ergibt sich

und das ist keine Primzahl. In Zeichen: $f(n)$ ist prim für alle $n \in \{0, 1, \dots, 39\}$, aber nicht für alle $n \in \mathbb{N}_0$. Wie man solche Zeilen liest, erklärt das Kapitel Die Sprache der Mathematik.

Vierzig richtige Beispiele beweisen also nichts über das einundvierzigste. Deshalb unterscheidet diese Website zwischen drei Arten von Aussagen:

• Ein Satz ist bewiesen und gilt für alle Zahlen, auch für die, die nie jemand aufgeschrieben hat.
• Ein Befund ist für viele Zahlen nachgerechnet, aber noch nicht allgemein bewiesen.
• Eine Deutung ist eine Lesart. Sie kann einleuchten oder nicht, aber man kann sie weder beweisen noch widerlegen.

Alle drei haben ihren Platz. Man sollte nur wissen, welche man gerade vor sich hat.

Woraus ein Beweis gebaut ist

Ein Beweis ist eine Kette von Schritten, in der jeder Schritt zwingend aus den vorigen folgt. Irgendwo muss die Kette aber anfangen. Dafür gibt es drei Bausteine:

Ein Satz schließlich ist eine Aussage, die aus Axiomen und Definitionen folgt, und der Beweis ist der Weg dorthin. Mehr gibt es nicht. Wer die Axiome annimmt und jeden Schritt prüft, muss auch den Satz annehmen, ob er will oder nicht. Darin liegt die eigentümliche Kraft der Mathematik: Ein Beweis überzeugt nicht durch Ansehen oder Mehrheit, sondern weil man ihn selbst nachgehen kann.

Ein erster Beweis

Die Tetraktys ist die vierte Dreieckszahl: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Gibt es eine Abkürzung, um eine Dreieckszahl auszurechnen, ohne alle Zahlen zusammenzuzählen? Die Pythagoreer legten Zahlen mit Steinchen, und genau so findet man sie.

Die Idee in Worten: Man legt das Punktedreieck mit den Reihen 1, 2, …, n hin und daneben eine Kopie, um eine halbe Drehung gedreht, mit den Reihen n, n − 1, …, 1. In jeder Zeile liegen dann zusammen n + 1 Punkte, und es gibt n Zeilen. Zwei Dreiecke ergeben also ein Rechteck, und ein Dreieck ist die Hälfte davon. In der Schreibweise der Mathematik sieht das so aus:

Die zwei Zeilen untereinander sind genau die beiden Dreiecke aus dem Bild, die Paare sind die Zeilen des Rechtecks. Für die Tetraktys ergibt das $T(4) = \tfrac{4 \cdot 5}{2} = 10$, für die hundertste Dreieckszahl $T(100) = 5050$, ohne hundert Zahlen zusammenzuzählen. Diese Rechnung soll der junge Carl Friedrich Gauß in der Schule gefunden haben, als sein Lehrer die Klasse mit genau dieser Summe beschäftigen wollte.

Wichtig ist, warum das ein Beweis ist und nicht nur ein weiteres Beispiel. Das Bild zeigt zwar ein bestimmtes n, aber kein Schritt der Begründung hängt davon ab, welches. Die Zeilen ergänzen sich immer zu n + 1, bei 4 wie bei einer Million. Ein Bild ist dann ein Beweis, wenn man an ihm sieht, dass es für jede Zahl genauso ginge.

Und wenn man dem Bild nicht traut?

Bilder können täuschen, und für große Zahlen kann man sie nicht mehr zeichnen. Deshalb gibt es einen zweiten Weg, der ganz ohne Anschauung auskommt, die vollständige Induktion. Sie funktioniert wie eine Reihe Dominosteine:

1. Der erste Stein fällt: Für n = 1 stimmt die Formel.
2. Jeder Stein stößt den nächsten um: Wenn die Formel für eine Zahl n stimmt, dann auch für n + 1.

Also fallen alle Steine, und die Formel gilt für jede Zahl. Als Beweis in der Schreibweise der Mathematik:

Warum man diesem Schluss trauen darf, ist eine tiefe Frage. Sie führt direkt zu den Axiomen der natürlichen Zahlen, um die es im nächsten Kapitel geht.

Vom Computer geprüft

Seit einigen Jahrzehnten kann man Beweise auch von einem Computer prüfen lassen. Ein Beweisassistent wie Lean kennt die Axiome und die erlaubten Schlussregeln und lässt keinen Schritt durchgehen, der nicht zwingend folgt. Er ist dabei unbestechlich: Ein Rechenfehler, eine Lücke oder ein Fall, an den man nicht gedacht hat, und er verweigert die Zustimmung. Mathematiker nutzen das inzwischen für große Beweise, die kein Mensch mehr ganz überblickt.

Auf dieser Website steht unter wichtigen Sätzen deshalb ein aufklappbarer Kasten mit dem Beweis in Lean. Man muss ihn nicht lesen. Er ist ein Prüfstempel: Dieser Satz ist nicht nur von Menschen, sondern auch von einer Maschine Schritt für Schritt nachgeprüft. Wer neugierig ist, kann den Code im Browser selbst ausführen und verändern.

/-- Die n-te Dreieckszahl 1 + 2 + … + n -/
def dreieck : Nat → Nat
  | 0 => 0
  | n + 1 => dreieck n + (n + 1)

-- Die Tetraktys: 1 + 2 + 3 + 4 = 10
example : dreieck 4 = 10 := rfl

/-- Satz 1: Zwei Dreiecke ergeben ein Rechteck
    aus n Zeilen und n + 1 Spalten. -/
theorem zwei_dreiecke (n : Nat) :
    2 * dreieck n = n * (n + 1) := by
  induction n with
  | zero => rfl
  | succ n ih =>
    -- 2 · dreieck n + 2 · (n + 1)
    --   = n · (n + 1) + 2 · (n + 1) = (n + 1) · (n + 2)
    rw [dreieck, Nat.mul_add, ih]
    grind

Woher die Axiome kommen

Die Pythagoreer bewiesen ihre Sätze über Zahlen vermutlich noch so, wie es das Bild oben zeigt, mit Steinchen und Anschauung. Aristoteles berichtet von dem Pythagoreer Eurytos, der die Zahlen der Dinge mit Steinchen nachlegte.

Den Schritt zu Axiomen machte um 300 v. Chr. Euklid von Alexandria. Seine Elemente beginnen mit Definitionen, fünf Postulaten und fünf allgemeinen Grundsätzen, und daraus leiten sie in dreizehn Büchern Satz um Satz die ganze damalige Geometrie und Zahlenlehre ab. Fast zweitausend Jahre lang war das Buch das Vorbild für strenges Denken überhaupt. Die natürlichen Zahlen selbst bekamen ihre Axiome erst sehr spät, 1888 durch Richard Dedekind und 1889 durch Giuseppe Peano. David Hilbert schrieb 1899 auch Euklids Geometrie noch einmal streng axiomatisch neu.

Logisch steht der Beweis also am Anfang, historisch kam er erst nach den Entdeckungen, die er absichert. Das gilt auch für diese Rubrik. Die Pythagoreer kannten die Tetraktys lange, bevor irgendjemand bewies, was an ihr bemerkenswert ist. Die Karte am Anfang jedes Kapitels zeigt beides: wo ein Gedanke im Aufbau steht, und wann er in der Geschichte auftauchte.

Wie man aus diesen wenigen Bausteinen bis zu den Sternfiguren der Simplexe kommt, zeigt das Kapitel Zahlen als Figuren.