Zahlen als Figuren

Warum die Figur n/k in genau so viele Teile zerfällt, wie der größte gemeinsame Teiler angibt, warum die Zehn die erste Zahl mit allen vier Figurenarten ist, und warum Primzahlen genau die Simplexe ohne zusammengesetzte Figur sind.

Die Rubriken Geometrie und Zahlentheorie dieser Website beruhen auf einer Beobachtung: Verbindet man in einem regelmäßigen n-Eck jeden k-ten Punkt, dann verrät die entstehende Figur, wie die Zahlen n und k zueinander stehen (siehe Der Schlüssel zur Tetraktys). Dieses Kapitel beweist, dass das kein Zufall der gezeichneten Beispiele ist, sondern für alle Zahlen gilt. Die Zeichen sind im Kapitel Die Sprache der Mathematik erklärt.

Was man dafür braucht

Nur einen Begriff, den größten gemeinsamen Teiler. Er wird in Kapitel 3 genauer behandelt, hier genügt die Definition.

Definition

Für $n, k \in \mathbb{N}$ ist

\begin{aligned} \gcd(n, k) := \max\,\{\, d \in \mathbb{N} :\; & d \mid n \\ \land\; & d \mid k \,\} \end{aligned}

der größte gemeinsame Teiler, auf Deutsch ggT. Gilt $\gcd(n, k) = 1$ , heißen $n$ und $k$ teilerfremd.

Beispiele: $\gcd(10, 4) = 2$ , denn 10 und 4 sind beide durch 2 teilbar, aber nicht gemeinsam durch eine größere Zahl. $\gcd(10, 3) = 1$ , die beiden sind teilerfremd. $\gcd(10, 5) = 5$ , denn 5 teilt die 10 selbst.

Außerdem braucht man eine genaue Festlegung der Figur.

Definition

Seien $n \ge 3$ und $1 \le k \le \lfloor n/2 \rfloor$ . Auf einem Kreis liegen die Punkte $P_0, P_1, \dots, P_{n-1}$ in gleichen Abständen, die Indizes werden modulo $n$ gerechnet. Die Figur $\{n/k\}$ besteht aus allen Strecken

P_i P_{i+k}, \qquad i = 0, 1, \dots, n-1.

Eine Teilfigur ist ein geschlossener Zug $P_i,\, P_{i+k},\, P_{i+2k},\, \dots$ , der zu seinem Anfang zurückkehrt.

In Worten: Man geht von einem Punkt immer k Punkte weiter und verbindet, bis man wieder am Anfang ist. Sind noch Punkte frei, beginnt man beim nächsten freien Punkt eine weitere Teilfigur. Schrittweiten über $n/2$ braucht man nicht, denn $k$ Schritte vorwärts ergeben dieselbe Figur wie $n - k$ Schritte rückwärts.

Wie viele Teile eine Figur hat

n k

Das Zehneck, jeder vierte Punkt. Nach fünf Schritten ist man wieder am Anfang, obwohl erst fünf Punkte erreicht sind, und ein zweites Pentagramm füllt die übrigen. Mit den Reglern lassen sich alle Figuren bis zum Zwölfeck zeichnen.

Satz 1

Seien $n, k$ wie oben und $g := \gcd(n, k)$ . Dann zerfällt $\{n/k\}$ in genau $g$ Teilfiguren. Jede hat $n/g$ Ecken und ist kongruent zu $\{\tfrac{n}{g} / \tfrac{k}{g}\}$ .

Beweis

Der Zug, der in $P_0$ beginnt, erreicht nach $j$ Schritten den Punkt $P_{jk}$ . Es gilt

\begin{aligned} P_{jk} = P_0 &\iff n \mid jk \\ &\iff \tfrac{n}{g} \mid j \cdot \tfrac{k}{g} \\ &\iff \tfrac{n}{g} \mid j. \end{aligned}

Die mittlere Umformung entsteht durch Kürzen mit $g$ . Die letzte gilt, weil $\gcd\!\bigl(\tfrac{n}{g}, \tfrac{k}{g}\bigr) = 1$ ist, sonst wäre $g$ nicht der größte gemeinsame Teiler gewesen, und weil ein Teiler eines Produkts, der zum einen Faktor teilerfremd ist, den anderen Faktor teilen muss (nach demselben Schluss wie das Lemma von Euklid, Kapitel 4). Der kleinste Schritt $j \ge 1$ zurück zum Anfang ist also $j = n/g$ , und die Teilfigur durch $P_0$ hat $n/g$ Ecken.

Die Teilfigur durch $P_i$ geht aus der durch $P_0$ durch Drehung um $i$ Punkte hervor. Alle Teilfiguren haben also $n/g$ Ecken, und da sie zusammen alle $n$ Punkte genau einmal belegen, gibt es $n / (n/g) = g$ von ihnen.

Die Teilfigur durch $P_0$ belegt die Punkte $P_0, P_g, P_{2g}, \dots$ , also jeden $g$ -ten Punkt, insgesamt $n/g$ Punkte in gleichen Abständen. Ein Schritt $k = g \cdot \tfrac{k}{g}$ rückt auf diesen Punkten um $k/g$ Plätze weiter. Sie ist daher die Figur $\{\tfrac{n}{g} / \tfrac{k}{g}\}$ .

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Am Beispiel: $\gcd(10, 4) = 2$ , also zerfällt $\{10/4\}$ in 2 Teile mit je 5 Ecken, und jeder Teil ist $\{5/2\}$ , ein Pentagramm. $\gcd(10,5) = 5$ , also besteht $\{10/5\}$ aus 5 Teilen mit je 2 Ecken, fünf Linien durch die Mitte.

Die vier Arten folgen von selbst

Aus Satz 1 ergibt sich, welche Arten von Figuren es überhaupt geben kann. Es kommt nur auf zwei Fragen an: Zerfällt die Figur in mehrere Teile, ist also $g > 1$ ? Und ist jede Teilfigur ein Vieleck oder ein Stern, ist also $k/g = 1$ oder $k/g \ge 2$ ?

	$k/g = 1$ , Vieleck	$k/g \ge 2$ , Stern
$g = 1$ , ein Teil	Polygon, $k = 1$	Sternpolygon, $\gcd(n,k) = 1$
$g \ge 2$ , mehrere Teile	Polygon mehrfach, $k \mid n$	Sternpolygon mehrfach, $1 < g < k$

Mehr Möglichkeiten gibt es nicht. Die vier Grundfiguren der Seite sind also keine Auswahl, sondern die vollständige Liste. Hinzu kommt ein Grenzfall: Für $k = n/2$ hat jede Teilfigur nur zwei Ecken, und die Figur besteht aus Linien durch die Mitte.

Folgerung 2

Ist $\{m/j\}$ mit $2 \le j < m/2$ ein Stern, so ist $m \ge 5$ . Das Pentagramm $\{5/2\}$ ist der kleinste Stern.

Beweis

Aus $2 \le j < m/2$ folgt $4 \le 2j < m$ , also $m \ge 5$ . Für $m = 5, j = 2$ gilt $\gcd(5, 2) = 1$ , und $\{5/2\}$ ist ein Stern.

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Warum die Zehn

n-Eck

PolygonPolygon mehrfachSternpolygonSternpolygon mehrfachLinienstern

Die Figuren des Zehnecks, gefärbt nach ihrer Art. Polygon, Polygon mehrfach, Sternpolygon und Sternpolygon mehrfach kommen hier zum ersten Mal alle zusammen vor.

Satz 3

Die Zehn ist die kleinste Zahl, deren Simplex alle vier Arten von Figuren enthält. Insbesondere ist $\{10/4\}$ die kleinste Figur der Art „Sternpolygon mehrfach“.

Beweis

Sei $\{n/k\}$ ein Sternpolygon mehrfach. Nach Satz 1 besteht es aus $g \ge 2$ Teilen, und jeder Teil ist der Stern $\{\tfrac{n}{g}/\tfrac{k}{g}\}$ mit $2 \le \tfrac{k}{g} < \tfrac{n}{2g}$ . Nach Folgerung 2 ist $\tfrac{n}{g} \ge 5$ , also

n = g \cdot \frac{n}{g} \ge 2 \cdot 5 = 10.

Keine Zahl $n < 10$ enthält daher diese Art. Für $n = 10$ treten alle vier auf: $\{10/1\}$ ist das Zehneck, $\{10/2\}$ sind zwei Fünfecke, $\{10/3\}$ ist ein Stern in einem Zug, und $\{10/4\}$ sind zwei Pentagramme.

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Dieser Beweis zeigt auch, woher die Zehn kommt. Sie ist $2 \cdot 5$ : Die Figur braucht mindestens zwei Teile, und jeder Teil braucht als Stern mindestens fünf Punkte. Die Fünf wiederum kommt daher, dass ein Stern mindestens zwei Punkte weit springen muss und dieser Sprung kleiner als die halbe Eckenzahl sein muss. Die Zehn ist also nicht willkürlich, aber sie ist auch kein Geheimnis. Sie folgt aus der Zwei, zweimal angewandt.

Die Primzahlen als Figuren

Satz 4

Für $n \ge 3$ gilt:

\begin{aligned} & n \text{ ist prim} \\ \iff\; & \gcd(n, k) = 1 \\ & \text{für alle } k \le \lfloor n/2 \rfloor. \end{aligned}

Nach Satz 1 heißt das: $n$ ist genau dann prim, wenn jede Figur seines Simplex aus einem einzigen Teil besteht.

Beweis

„ $\Rightarrow$ “: Sei $n$ prim und $1 \le k \le n/2$ . Dann teilt $\gcd(n,k)$ die Zahl $n$ , ist also 1 oder $n$ . Wegen $\gcd(n,k) \le k < n$ ist es 1.

„ $\Leftarrow$ “: Sei $n$ nicht prim. Dann gibt es $a, b \ge 2$ mit $n = ab$ , und o. B. d. A. ist $a \le b$ . Es folgt $2a \le ab = n$ , also $a \le n/2$ , und $\gcd(n, a) = a \ge 2$ . Die Bedingung ist für $k = a$ verletzt.

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Dieser Satz ist die genaue Form dessen, was auf der Seite Die Ordnung der Primzahlen anklingt: Primzahlen sind die Simplexe, in denen jede Figur in einem einzigen Zug gezeichnet werden kann. Die Eigenschaft, nur durch 1 und sich selbst teilbar zu sein, hat damit ein genaues geometrisches Gegenstück.

Vom Computer geprüft: der Beweis in Lean

Lean prüft hier zwei Dinge. Zuerst Satz 4: IstPrim ist die übliche Definition der Primzahl, NurEinTeil ist die rechte Seite von Satz 4. Der Satz prim_iff_nurEinTeil zeigt, dass beides dasselbe ist, mit denselben zwei Richtungen wie der Beweis oben. Danach Satz 3: art bestimmt die Art einer Figur allein aus dem ggT wie in der Tabelle, und decide lässt Lean alle Zahlen bis 10 durchrechnen. Für die Aussage „keine kleinere Zahl“ ist das ein vollständiger Beweis, denn es gibt nur endlich viele kleinere Zahlen.

/-! Zahlen als Figuren: Satz 4 und Satz 3 -/

/-- n ist größer als 1 und nur durch 1 und n teilbar. -/
def IstPrim (n : Nat) : Prop :=
  2 ≤ n ∧ ∀ d, d ∣ n → d = 1 ∨ d = n

/-- Jede Figur n/k mit 1 ≤ k ≤ n/2 hat nur einen Teil,
    nach Satz 1 heißt das: ggT(n, k) = 1. -/
def NurEinTeil (n : Nat) : Prop :=
  ∀ k, 1 ≤ k → k ≤ n / 2 → Nat.gcd n k = 1

/-- Satz 4: Primzahlen sind genau die Simplexe
    ohne zusammengesetzte Figur. -/
theorem prim_iff_nurEinTeil (n : Nat) (h : 3 ≤ n) :
    IstPrim n ↔ NurEinTeil n := by
  constructor
  · -- n prim: ggT(n, k) teilt n, ist also 1 oder n.
    -- n geht nicht, denn dann teilte n die kleinere Zahl k.
    intro ⟨_, hp⟩ k hk1 hk2
    have hg : Nat.gcd n k ∣ n := Nat.gcd_dvd_left n k
    rcases hp _ hg with h1 | hn
    · exact h1
    · have hdiv : n ∣ k := hn ▸ Nat.gcd_dvd_right n k
      have := Nat.le_of_dvd (by omega) hdiv
      omega
  · -- n = d · b mit d ≠ 1 und d ≠ n: dann ist d
    -- höchstens n/2 und ggT(n, d) = d, also mehrere Teile.
    intro hf
    refine ⟨by omega, fun d hd => ?_⟩
    obtain ⟨b, hb⟩ := hd
    by_cases h1 : d = 1
    · exact Or.inl h1
    by_cases h2 : d = n
    · exact Or.inr h2
    exfalso
    -- d und b sind nicht 0, und b ist nicht 1
    have hd0 : d ≠ 0 := by
      intro h0
      subst h0
      omega
    have hb0 : b ≠ 0 := by
      intro h0
      subst h0
      omega
    have hb1 : b ≠ 1 := by
      intro h0
      subst h0
      omega
    have hdb : d * 2 ≤ n := by
      have : d * 2 ≤ d * b :=
        Nat.mul_le_mul_left d (by omega)
      omega
    have hg := hf d (by omega) (by omega)
    rw [Nat.gcd_eq_right ⟨b, hb⟩] at hg
    exact h1 hg

/-- Die Art der Figur n/k, allein aus dem ggT (Satz 1):
    0 Polygon, 1 Polygon mehrfach, 2 Sternpolygon,
    3 Sternpolygon mehrfach, 4 Linien durch die Mitte -/
def art (n k : Nat) : Nat :=
  if 2 * k = n then 4
  else if k = 1 then 0
  else if Nat.gcd n k = 1 then 2
  else if Nat.gcd n k = k then 1
  else 3

/-- Kommt die Art a unter n/1 bis n/(n/2) vor?
    Polygone mehrfach zählen nur mit Fläche (n/k ≥ 3). -/
def hatArt (n a : Nat) : Bool :=
  (List.range (n / 2 + 1)).any fun k =>
    1 ≤ k && art n k == a && (a != 1 || 3 * k ≤ n)

def alleVier (n : Nat) : Bool :=
  3 ≤ n && hatArt n 0 && hatArt n 1
    && hatArt n 2 && hatArt n 3

/-- Satz 3: Die Zehn enthält alle vier Arten … -/
theorem zehn_alle_vier : alleVier 10 = true := by decide

/-- … und keine kleinere Zahl tut das. -/
theorem keine_kleinere :
    ∀ n, n < 10 → alleVier n = false := by
  decide

Im Browser ausprobieren auf live.lean-lang.org ↗Wie man Lean liest

Die Ausnahme 12

Auf der Seite Simplex: die feste Form der Zahl steht, dass alle zusammengesetzten Zahlen ab zehn ein Sternpolygon mehrfach enthalten, mit einer einzigen Ausnahme, der 12. Auch das lässt sich beweisen.

Satz 5

Eine zusammengesetzte Zahl $n$ enthält genau dann kein Sternpolygon mehrfach, wenn $n \in \{4, 6, 8, 9, 12\}$ .

Beweis

Sei $q$ der kleinste Primteiler von $n$ und $m = n/q$ . Gibt es eine Zahl $j$ mit $2 \le j < m/2$ und $\gcd(m, j) = 1$ , so ist $k = qj$ eine Schrittweite mit $\gcd(n, k) = q$ , also mit $1 < g < k$ , und $\{n/k\}$ ist ein Sternpolygon mehrfach. Ein solches $j$ gibt es für jedes $m \ge 5$ außer $m = 6$ : Für ungerades $m$ nimmt man $j = 2$ , für $m = 2l$ mit geradem $l$ nimmt man $j = l - 1$ , mit ungeradem $l \ge 5$ nimmt man $j = l - 2$ . Beide sind ungerade und zu $m$ teilerfremd.

Übrig bleiben $m \in \{2, 3, 4, 6\}$ . Da $q$ der kleinste Primteiler von $n$ ist, ist $q$ höchstens so groß wie der kleinste Primteiler von $m$ . Das ergibt $n = 4$ ( $m = 2$ ), $n = 6$ oder $9$ ( $m = 3$ ), $n = 8$ ( $m = 4$ ) und $n = 12$ ( $m = 6$ ). Für diese fünf Zahlen zeigt das Durchgehen aller Schrittweiten, dass keine ein Sternpolygon mehrfach ergibt.

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Die 12 ist also nicht zufällig die letzte Ausnahme: Sie ist $2 \cdot 6$ , und die 6 ist die einzige Zahl ab 5 ohne einfachen Stern.

Was damit bewiesen ist und was nicht

Bewiesen ist: Die Figuren der Simplexe sind ein genaues Bild der Teilbarkeit. Jede Aussage über ggT und Teiler lässt sich in eine Aussage über Figuren übersetzen und umgekehrt, und die Zehn und die Primzahlen haben darin eine nachweisbare Sonderstellung.

Nicht bewiesen ist damit, dass diese Figuren etwas über die Verteilung der Primzahlen verraten, das man nicht auch ohne sie wüsste. Die Übersetzung ist genau, aber sie ist eine Übersetzung. Ob der Blick auf die Figuren neue Fragen oder neue Antworten erschließt, ist die Frage, die die Rubrik Zahlentheorie verfolgt, und dort sind Satz, Befund und Deutung jeweils zu unterscheiden.

Quellen und Literatur

Quellen

Louis Poinsot, Mémoire sur les polygones et les polyèdres, Journal de l’École polytechnique 10, 1810
H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, 3. Aufl. New York 1973

Zum Weiterlesen

Holger Ullmann, tetraktys.de, seit 2010