Annäherung an π

Wie Archimedes den Kreis zwischen zwei Vielecke klemmte und π auf zwei Stellen genau bestimmte, mit welcher Verdopplungsformel das geht, und warum die eingeklappten Quadrate von Andreas Weiss genau dieses Verfahren nachbauen.

Mit den inkommensurablen Strecken aus Kapitel 9 ist klar: Nicht jedes Verhältnis ist ein Bruch. Das berühmteste solche Verhältnis ist das von Umfang und Durchmesser eines Kreises. Archimedes von Syrakus hat es um 250 v. Chr. in seiner Schrift Kreismessung eingegrenzt, mit einem Verfahren, das bis in die Neuzeit das beste blieb.

Die Kreiszahl

Definition

Für jeden Kreis ist das Verhältnis von Umfang $U$ zu Durchmesser $d$ dasselbe. Man nennt es

\pi := \frac{U}{d}.

Dass das Verhältnis bei allen Kreisen gleich ist, liegt daran, dass alle Kreise ähnlich sind: Ein größerer Kreis ist ein vergrößertes Bild des kleineren, und Umfang wie Durchmesser wachsen dabei im selben Maß. Archimedes bewies außerdem, dass die Fläche eines Kreises mit Radius $r$ gleich der eines Dreiecks mit der Höhe $r$ und dem Umfang als Grundseite ist, also $\pi r^2$ . Wir rechnen im Folgenden mit dem Einheitskreis, dem Kreis mit Radius 1, Umfang $2\pi$ und Fläche $\pi$ .

Der Kreis zwischen zwei Vielecken

Archimedes nahm als Grundsatz an, was man sieht: Eine Sehne ist kürzer als ihr Bogen, und ein Vieleck, das den Kreis umschließt, hat einen größeren Umfang als der Kreis.

Ein regelmäßiges Vieleck im Einheitskreis (blau) und eines um ihn herum (rot). Ihre halben Umfänge schließen π ein. Archimedes begann mit dem Sechseck und verdoppelte viermal bis zum 96-Eck.

Satz 1

Für jedes $n \ge 3$ gilt

n \sin\frac{\pi}{n} \;<\; \pi \;<\; n \tan\frac{\pi}{n}.

Beweis

Das eingeschriebene $n$ -Eck besteht aus $n$ gleichschenkligen Dreiecken mit den Schenkeln 1 und dem Winkel $\tfrac{2\pi}{n}$ an der Spitze. Jede Seite ist deshalb $2 \sin\tfrac{\pi}{n}$ lang, und der Umfang ist $2n \sin\tfrac{\pi}{n}$ . Beim umschriebenen $n$ -Eck haben die Dreiecke die Höhe 1, jede Seite ist $2 \tan\tfrac{\pi}{n}$ , der Umfang $2n \tan\tfrac{\pi}{n}$ . Nach dem Grundsatz liegt der Kreisumfang $2\pi$ dazwischen. Teilen durch 2 ergibt die Behauptung.

∎

Beim Sechseck ist das $3 < \pi < 2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ . Die Drei vor dem Komma kommt also vom Sechseck: Sein Umfang ist genau dreimal sein Durchmesser, wie die Seite Simplexe, Zahlentheorie und die Kreiszahl π bemerkt.

Verdoppeln

Archimedes kannte keine Winkelfunktionen. Er verdoppelte die Eckenzahl Schritt für Schritt mit einer Rechnung, die in heutiger Schreibweise so aussieht:

Satz 2

Sei $a_n = n \tan\tfrac{\pi}{n}$ der halbe Umfang des umschriebenen und $b_n = n \sin\tfrac{\pi}{n}$ der des eingeschriebenen $n$ -Ecks. Dann ist

a_{2n} = \frac{2\, a_n b_n}{a_n + b_n}, \qquad b_{2n} = \sqrt{a_{2n}\, b_n}.

Beweis

Mit $x = \tfrac{\pi}{n}$ lautet die erste Formel nach Kehrwertbildung $\tfrac{1}{\tan(x/2)} = \tfrac{1}{\tan x} + \tfrac{1}{\sin x} = \tfrac{\cos x + 1}{\sin x}$ , und das ist die bekannte Formel für den Tangens des halben Winkels. Für die zweite rechnet man

\begin{aligned} a_{2n}\, b_n &= 2n \tan\tfrac{x}{2} \cdot n \cdot 2 \sin\tfrac{x}{2} \cos\tfrac{x}{2} \\ &= 4n^2 \sin^2\tfrac{x}{2} = b_{2n}^2. \end{aligned}

∎

Vom Sechseck mit $a_6 = 2\sqrt{3}$ und $b_6 = 3$ braucht man nur noch Grundrechenarten und Quadratwurzeln. Nach vier Verdopplungen, beim 96-Eck, bewies Archimedes

3 + \frac{10}{71} \;<\; \pi \;<\; 3 + \frac{1}{7},

also $3{,}1408 < \pi < 3{,}1429$ . Den oberen Wert $\tfrac{22}{7}$ benutzt man als Faustregel bis heute.

Die eingeklappten Quadrate

Auf der Seite zur Kreiszahl steht eine Beobachtung von Andreas Weiss: Klappt man auf jede Seite eines regelmäßigen $n$ -Ecks mit Seitenlänge 1 ein Einheitsquadrat nach innen, nähert sich die gesamte Fläche der Überlappungen mit wachsendem $n$ der Zahl $\pi$ . Das lässt sich beweisen, und der Beweis zeigt, warum.

Ecken

Ab dem Zwölfeck überlappen sich nur noch benachbarte Quadrate, jeweils in einem schmalen Drachenviereck an einer Ecke.

Satz 3

Für $n \ge 12$ ist die Gesamtfläche der Überlappungen genau $n \tan\tfrac{\pi}{n}$ , die Fläche des regelmäßigen $n$ -Ecks, das den Einheitskreis umschließt. Sie strebt deshalb gegen $\pi$ .

Beweis

Ab dem Zwölfeck überlappen sich nur benachbarte Quadrate, wie eine geometrische Rechnung zeigt (das Prüfskript dazu liegt im Ordner forschung des Projekts). An einer Ecke $B$ stoßen zwei Seiten unter dem Außenwinkel $\tfrac{2\pi}{n}$ zusammen. Die beiden Quadrate haben dort je eine Kante der Länge 1 senkrecht zu ihrer Seite, und diese Kanten schließen ebenfalls den Winkel $\tfrac{2\pi}{n}$ ein. Die Überlappung ist ein Drachenviereck aus zwei rechtwinkligen Dreiecken mit der Kathete 1 und dem Winkel $\tfrac{\pi}{n}$ an $B$ , jedes mit der Fläche $\tfrac{1}{2}\tan\tfrac{\pi}{n}$ . Ein Drachenviereck hat also die Fläche $\tan\tfrac{\pi}{n}$ , und $n$ Ecken ergeben $n\tan\tfrac{\pi}{n}$ .

Das umschriebene $n$ -Eck des Einheitskreises besteht aus $n$ Dreiecken mit der Höhe 1 und der Grundseite $2\tan\tfrac{\pi}{n}$ , hat also dieselbe Fläche. Es enthält den Kreis, und das eingeschriebene $2n$ -Eck mit der Fläche $n \sin\tfrac{\pi}{n}$ liegt im Kreis, also

n \sin\frac{\pi}{n} \;<\; \pi \;<\; n \tan\frac{\pi}{n}.

Mit wachsendem $n$ rücken beide Seiten zusammen, denn ihr Verhältnis ist $\cos\tfrac{\pi}{n} \to 1$ .

∎

Die eingeklappten Quadrate bauen also verdeckt das Verfahren des Archimedes nach. Die Zahl, die Andreas Weiss als Fläche gedeutet hat, ist die Fläche des umschriebenen Vielecks, und dass sie gegen $\pi$ strebt, ist der Satz des Archimedes. Ein schöneres Beispiel dafür, wie eine Beobachtung auf dieser Website mit der klassischen Mathematik zusammenfällt, gibt es kaum.

Was ein Computer hier prüfen kann

Zu diesem Kapitel gibt es keinen Lean-Kasten. Sinus, Tangens und die reellen Zahlen sind in Leans Grundbibliothek nicht enthalten, sondern erst in der großen Bibliothek Mathlib, die diese Rubrik bewusst nicht verwendet. Dort gibt es auch formale Beweise für Schranken wie $3{,}14 < \pi < 3{,}15$ , mit einem Verfahren, das dem Verdoppeln des Archimedes verwandt ist.

Dass $\pi$ selbst kein Bruch ist, bewies Johann Heinrich Lambert 1761. Dass es nicht einmal Lösung einer Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten sein kann, bewies Ferdinand von Lindemann 1882. Damit war auch klar, dass die Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal unmöglich ist, eine Frage, die seit der Antike offen gewesen war.

Quellen und Literatur

Quellen

Archimedes, Kreismessung, 3. Jh. v. Chr.
Johann Heinrich Lambert, Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques, Histoire de l’Académie royale des sciences et belles-lettres, Berlin 1761, gedruckt 1768
Ferdinand Lindemann, Über die Zahl π, Mathematische Annalen 20, 1882

Zum Weiterlesen

Jörg Arndt und Christoph Haenel, Pi. Algorithmen, Computer, Arithmetik, Berlin 1998