Mystik

Quantenphysik, Magie und Unbewusstes

Symmetrie als Sprache der Physik, die Zahl als Archetyp der Ordnung und ein 30-Eck im Herzen der Lie-Gruppe E8. Wo sich Materie, Symbol und Seele berühren.

Magie, Mystik und moderne Physik scheinen nichts miteinander zu tun zu haben. Und doch arbeiten alle drei mit demselben Grundstoff: Symmetrie. Der Magier zieht einen Kreis um einen Mittelpunkt, der Kabbalist verbindet 22 Buchstaben zu einem Kreis aus 231 Toren, und der Physiker beschreibt die Grundkräfte der Natur mit Symmetriegruppen. Die Frage dieses Kapitels lautet: Ist es dieselbe Ordnung, einmal im Bild, einmal in der Seele und einmal in der Materie?

Symmetrie ist Physik

Die Mathematikerin Emmy Noether bewies 1918 einen Satz, der zum Fundament der modernen Physik wurde: Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße. Dass die Naturgesetze morgen dieselben sind wie heute, bedeutet Erhaltung der Energie. Dass sie hier dieselben sind wie dort, bedeutet Erhaltung des Impulses. Dass sie in jeder Richtung gelten, bedeutet Erhaltung des Drehimpulses. Symmetrie ist also nicht Schmuck der Natur, sondern ihr Gesetz.

Die Teilchenphysik ist heute im Kern eine Lehre der Symmetriegruppen. Die Kräfte zwischen den Elementarteilchen werden durch Lie-Gruppen beschrieben, kontinuierliche Symmetrien, die man sich als Drehungen in abstrakten Räumen vorstellen kann. Ihre Struktur lässt sich durch Wurzelsysteme darstellen: Mengen von Vektoren, die symmetrisch um einen Mittelpunkt angeordnet sind. Zeichnet man sie in die Ebene, entstehen Figuren, die aussehen wie Simplexe, Sterne und Mandalas.

E8 und das 30-Eck

Die größte der fünf sogenannten Ausnahmegruppen, und die rätselhafteste, ist E8. Sie hat 248 Dimensionen, ihr Wurzelsystem besteht aus 240 Vektoren in einem achtdimensionalen Raum. Projiziert man diese Vektoren auf die richtige Ebene, ordnen sie sich in acht Ringe zu je 30 Punkten: 8 × 30 = 240. Jeder Ring ist ein regelmäßiges 30-Eck.

240 Wurzeln · 8 Ringe zu je 30 · 6720 Kanten

Die 240 Wurzeln von E8, in die Coxeter-Ebene projiziert und hier aus den Koordinaten berechnet. Die Farben unterscheiden die acht Ringe, die Linien verbinden benachbarte Wurzeln.

Das 30-Eck ist dabei kein Zufall. Die Zahl 30 ist die sogenannte Coxeter-Zahl von E8, sie folgt zwingend aus der Struktur der Gruppe. Und es gibt eine zweite, weniger bekannte Tatsache: Zu E8 gehören acht Zahlen, die man ihre Exponenten nennt, und das sind 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 und 29. Es sind genau die Zahlen unter 30, die mit 30 keinen gemeinsamen Teiler haben. Dass 30 = 2 × 3 × 5 zugleich das Raster ist, das nach dem Sechsertakt als nächstes die Primzahlen ordnet (siehe Die Ordnung der Primzahlen), ist eine reizvolle Parallele, denn in beiden Fällen geht es um die zu 30 teilerfremden Zahlen. Ein tieferer Zusammenhang ist damit aber nicht bewiesen. Zum Vergleich der Simplex des 30-Ecks, jeder Punkt mit jedem verbunden:

Punkte

Der 30-Eck-Simplex: 30 Punkte, 435 Verbindungen. Seine Figuren zeigen alle Teiler der 30 und alle Zahlen, die zu ihr teilerfremd sind.

Die Figuren der E8-Projektion und des 30-Eck-Simplex sehen einander sehr ähnlich. Beide haben die Symmetrie des 30-Ecks, und in beiden spielen die zu 30 teilerfremden Zahlen eine Rolle. Das ist eine echte Verwandtschaft, aber man sollte sie nicht überdehnen. Der Simplex ist eine Figur aus der Zahlentheorie, E8 ein Gebilde der Algebra in acht Dimensionen, und dass beide sich in der Ebene ähnlich zeigen, liegt an der gemeinsamen Symmetrie, nicht daran, dass das eine im anderen steckt. Im Jahr 2007 schlug der Physiker Garrett Lisi sogar vor, alle Teilchen und Kräfte in E8 unterzubringen. Seine Theorie hat sich so nicht halten lassen: Jacques Distler und Skip Garibaldi zeigten 2010, dass sie die drei Familien der Teilchen nicht liefern kann. Unabhängig davon hat man 2010 in einem magnetischen Kristall Anregungen gemessen, wie sie Alexander Zamolodchikov 1989 für eine Kette magnetischer Atome mit der Symmetrie von E8 vorhergesagt hatte: Die Energien der beiden niedrigsten stehen fast im Verhältnis des Goldenen Schnitts.

Alles ist Frequenz

Die Quantenphysik begann mit einer Entdeckung Max Plancks im Jahr 1900: Energie wird in Paketen abgegeben, und die Energie eines Pakets ist proportional zu seiner Frequenz, E = h · f. Daraus folgerten später Einstein für das Licht und de Broglie für die Materie, dass jedes Teilchen eine Welle hat und jede Welle ein Teilchen. Damit ist die pythagoreische Grundidee, dass die Welt nach Schwingungsverhältnissen geordnet ist, in der Physik angekommen (siehe Alles ist Zahl, alles ist Frequenz). Planck selbst hat in einem Vortrag in Florenz 1944 die Ansicht geäußert, hinter der Materie stehe ein Geist, der sie zusammenhält (siehe Große Denker über den Weltenbau). Das war seine persönliche Überzeugung, keine Folgerung aus der Formel E = h · f.

Der Magier und das Unbewusste

Ein sehr spekulatives, aber reizvolles Feld gehört ebenfalls hierher: das Schauen von Symmetrien in veränderten Bewusstseinszuständen, durch Meditation oder durch psychedelische Substanzen. Viele Berichte beschreiben dabei Muster aus Sternen, Gittern und Mandalas, geordnet um einen Mittelpunkt. Das kann hier nur als Anregung zum eigenen Forschen stehen.

Die Magie der Überlieferung arbeitet nicht mit Physik, sondern mit Bildern. Der magische Kreis (siehe Der Thron Gottes und die Zahl 24) ist ein Symbol, das auf das Unbewusste des Magiers wirken soll: Er stellt sich in die Mitte, ruft die vier Elemente an und versetzt sich in Trance. Auch das kabbalistische Ritual der 231 Tore arbeitet mit Visualisierung: Jeder Buchstabe wird vorgestellt, festgehalten und mit allen anderen verbunden, bis das ganze 22-Eck vor dem inneren Auge steht.

Der magische Kreis: eine Ordnung um einen Mittelpunkt, gebaut aus Quadrat, Hexagrammen und Pentagrammen.

Warum sollten gerade diese Figuren auf die Seele wirken? Eine Antwort gab der Psychologe Carl Gustav Jung. Er beobachtete, dass Menschen in Krisen spontan Mandalas zeichnen: Kreise um einen Mittelpunkt, meist vierfach gegliedert. Er deutete sie als Bilder des Selbst, der Ganzheit der Psyche, und die Vierheit, die Quaternität, als ihr Grundmuster. Jungs Psychologie kennt vier Grundfunktionen des Bewusstseins, Denken, Fühlen, Empfinden und Intuition, die an die vier Elemente und die vier Temperamente erinnern (siehe Die Tetraktys in Mystik und Religion).

Für Jung war die Zahl ein Archetyp, eine Urform der Ordnung, die der Seele ebenso angehört wie der Welt. Es sei ebenso gut möglich, so sein Gedanke, dass die natürlichen Zahlen nicht erfunden, sondern gefunden wurden. Sie haben Eigenschaften, von denen vorher niemand etwas wusste. Das entspricht dem Satz des Philolaos, die Ordnung der Zahl sei von Natur und nicht durch Satzung.

Pauli und Kepler

Die Brücke zwischen Physik und Seele schlug ausgerechnet ein Begründer der Quantenphysik. Der Nobelpreisträger Wolfgang Pauli arbeitete über Jahre mit Jung zusammen. 1952 veröffentlichten beide gemeinsam ein Buch. Paulis Beitrag trug den Titel Der Einfluss archetypischer Vorstellungen auf die Bildung naturwissenschaftlicher Theorien bei Kepler. Pauli zeigte darin, wie Keplers Planetengesetze aus einem inneren Bild erwuchsen: der Kugel mit ihrem Mittelpunkt als Abbild der Dreifaltigkeit, und der Überzeugung, dass Gott nach geometrischen Urbildern geschaffen habe. Paulis Gedanke lässt sich so zusammenfassen: Auch die exakte Wissenschaft schöpft aus inneren Bildern, aus denselben Quellen wie Mystik und Religion. Geprüft werden ihre Ideen aber an der Erfahrung, und Kepler gab sogar die vollkommenen Kreisbahnen auf, als die Beobachtung widersprach, auch wenn er an seinem Bild der fünf Körper zeitlebens festhielt (siehe Astronomie).

Drei Welten, eine Ordnung?

Legt man die drei Bereiche nebeneinander, ergibt sich ein Bild:

In allen drei Spalten steht die Geometrie von Kreis und Mittelpunkt, gegliedert durch Vielecke und Sternpolygone. Was folgt daraus? Hier lohnt es sich, genau zu unterscheiden, wie es die vier Fragen aus Zufall und Muster verlangen.

Bewiesen ist der Satz von Noether, die Coxeter-Zahl 30 von E8 und dass ihre Exponenten die zu 30 teilerfremden Zahlen sind. Beobachtet ist, dass Menschen in vielen Kulturen und Zuständen Kreisfiguren um einen Mittelpunkt zeichnen und schauen. Gedeutet ist alles, was die drei Spalten verbindet. Die Tabelle zeigt Ähnlichkeiten der Form, keinen gemeinsamen Mechanismus. Dass Physiker, Magier und Seele zum Kreis greifen, kann auch einfach daran liegen, dass der Kreis die einfachste Form ist, in der alles zur Mitte hin gleich ist.

Die Tetraktys ist in dieser Sicht ein Schlüssel, mit dem man die drei Welten nebeneinander lesen kann, und ein Ansporn, nach dem gemeinsamen Grund zu fragen. Dass es diesen gemeinsamen Grund wirklich gibt, ist eine Hoffnung, die Pythagoras, Kepler und Pauli geteilt haben. Bewiesen ist sie nicht.

Quellen und Literatur

Quellen

• Emmy Noether, Invariante Variationsprobleme, Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1918, S. 235 bis 257
• James E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups, Cambridge 1990 (Coxeter-Zahl und Exponenten von E8)
• A. Garrett Lisi, An Exceptionally Simple Theory of Everything, 2007, arXiv:0711.0770
• Radu Coldea u. a., Quantum Criticality in an Ising Chain, Science 327, 2010, S. 177 bis 180
• Carl Gustav Jung und Wolfgang Pauli, Naturerklärung und Psyche, Zürich 1952
• Max Planck, Das Wesen der Materie, Vortrag in Florenz 1944, Archiv zur Geschichte der Max-Planck-Gesellschaft

Zum Weiterlesen

• Wolfgang Pauli und Carl Gustav Jung, Ein Briefwechsel 1932 bis 1958, hg. von C. A. Meier, Berlin 1992
• Carl Gustav Jung, Mandala. Bilder aus dem Unbewussten, Olten 1977