Zahlentheorie

I Ging und Leibniz: die Welt aus Null und Eins

Sechs Linien, jede ganz oder gebrochen, ergeben 64 Zeichen. Wie Leibniz 1703 in einem chinesischen Diagramm sein eigenes Zweiersystem wiederfand, warum er darin ein Bild der Schöpfung aus dem Nichts sah, was die Pascalschen Zahlen damit zu tun haben und wo seine Deutung zu weit ging.

Das I Ging, das „Buch der Wandlungen“, ist eines der ältesten Bücher Chinas. Sein Grundtext entstand im frühen ersten Jahrtausend v. Chr., zur Zeit der Zhou-Dynastie, später kamen Kommentare hinzu, die man Konfuzius zuschrieb. Es diente der Weissagung, aber es wurde auch als Buch der Weisheit gelesen, als Spiegel der Ordnung, in der sich alles wandelt.

Seine Bausteine sind denkbar einfach. Es gibt nur zwei Arten von Linien: die durchgezogene, die man später Yang nannte, und die gebrochene, Yin (siehe Das Männliche und das Weibliche). Drei Linien übereinander ergeben ein Trigramm, und davon gibt es genau acht, denn 2 × 2 × 2 = 8. Sie stehen für Himmel, Erde, Donner, Wind, Wasser, Feuer, Berg und See. Zwei Trigramme übereinander ergeben ein Hexagramm aus sechs Linien, und davon gibt es 8 × 8 = 64.

Leibniz und das Zweiersystem

Am anderen Ende der Welt hatte Gottfried Wilhelm Leibniz schon 1679 eine Rechenart ausgearbeitet, die mit nur zwei Ziffern auskommt, der 0 und der 1. In diesem Zweiersystem ist jede Stelle doppelt so viel wert wie die rechts von ihr: 1, 2, 4, 8, 16, 32. Die Zahl 23 etwa schreibt man 10111, denn 16 + 4 + 2 + 1 = 23. Leibniz war von dieser Einfachheit begeistert, fand aber zunächst keine Verwendung dafür.

1701 schickte ihm der Jesuit Joachim Bouvet, der als Missionar in Peking lebte, ein Diagramm aller 64 Hexagramme in einer Ordnung, die der Gelehrte Shao Yong im 11. Jahrhundert aufgestellt hatte. Als Leibniz es 1703 erhielt, erkannte er sofort, was er sah. Setzt man für jede gebrochene Linie eine 0 und für jede durchgezogene eine 1, dann stehen die Hexagramme in dieser Ordnung genau in der Reihenfolge der Zahlen von 0 bis 63 im Zweiersystem.

0− 1+ 163

Ein Hexagramm als Zahl. Jede Linie hat einen Wert, unten 32, oben 1. Durchgezogene Linien zählen, gebrochene nicht. Ein Tipp auf eine Linie kippt sie, die Knöpfe zählen weiter oder zurück. Darunter steht, welche zwei Trigramme das Zeichen bilden und welche Nummer es im Buch der Wandlungen trägt.

Noch im selben Jahr reichte Leibniz seine Erklärung der binären Arithmetik bei der Pariser Akademie ein, und ihr Untertitel sagt, dass sie „den Sinn der alten chinesischen Figuren des Fu Xi“ enthülle. Fu Xi galt als der legendäre Urheber der Trigramme.

Eins und Null als Schöpfung

Für Leibniz war das mehr als Mathematik. Schon 1697 hatte er dem Herzog Rudolf August von Braunschweig eine Medaille vorgeschlagen, auf der das Zweiersystem als Bild der Schöpfung erscheinen sollte. Ihre Umschrift lautete: Omnibus ex nihilo ducendis sufficit unum, „Um alles aus dem Nichts hervorzubringen, genügt die Eins“. Gott ist die Eins, das Nichts ist die Null, und aus beiden lassen sich alle Zahlen bilden. Dass die alten Chinesen dieselbe Ordnung gekannt haben sollten, schien ihm ein Beweis, dass die Wahrheit allen Völkern gemeinsam ist, und eine Brücke für die Mission.

Hier lohnt sich ein genauer Blick (siehe Grammatik: genau lesen). Die Ordnung des Shao Yong ist tatsächlich dieselbe wie die der Zahlen im Zweiersystem, das ist keine Täuschung. Sie entsteht, wenn man von einer Linie ausgeht und sie immer wieder in Yang und Yin teilt, und dieses Verfahren erzeugt zwangsläufig dieselbe Reihenfolge wie das Zählen mit zwei Ziffern. Aber Shao Yong hat damit nicht gerechnet. Die Hexagramme waren für ihn keine Zahlen, sondern Zeichen für Lagen und Wandlungen, und die Chinesen hatten mit ihren Zehnerziffern keinen Anlass, im Zweiersystem zu rechnen. Leibniz fand in dem Diagramm seine eigene Erfindung wieder, und er las mehr hinein, als darin stand. Die mathematische Übereinstimmung ist echt, die Deutung ist seine.

Die Pascalschen Zahlen im Buch der Wandlungen

Eine weitere Ordnung steckt in den 64 Zeichen, und sie führt zurück zur Tetraktys. Wie viele Hexagramme haben genau eine durchgezogene Linie? Sechs, denn sie kann an jeder der sechs Stellen stehen. Wie viele haben genau zwei? Fünfzehn. Zählt man alle durch, ergibt sich:

Das ist die sechste Zeile des Pascalschen Dreiecks, und ihre Summe ist 64. Bei den Trigrammen ist es die dritte Zeile, 1, 3, 3, 1, mit der Summe 8. Dieselben Zahlen zählen die Ecken, Kanten und Flächen der vieldimensionalen Tetraeder (siehe Simplex: multidimensionale Tetraeder). Das ist kein Zufall: Ob man sechs Linien wählt oder sechs Ecken, man zählt dieselben Auswahlen.

Was daraus wurde

Leibniz’ Zweiersystem blieb fast zweihundertfünfzig Jahre eine Kuriosität. Erst als man im 20. Jahrhundert begann, Rechenmaschinen aus Schaltern zu bauen, die nur an oder aus kennen, wurde es zur Sprache aller Computer. Der Ingenieur Claude Shannon zeigte 1937, dass sich mit solchen Schaltern jede logische Verknüpfung bauen lässt. Jedes Bild, jeder Text und jede Zahl auf dem Bildschirm, auf dem diese Seite gerade steht, besteht aus Nullen und Einsen.

So berührt sich in den 64 Zeichen dreierlei: ein altes Buch der Weisheit, eine Idee über die Schöpfung aus dem Nichts und die Grundlage der heutigen Technik. Verbunden sind sie nicht durch eine geheime Überlieferung, sondern durch die einfachste aller Unterscheidungen, ja oder nein, ganz oder gebrochen, eins oder null.

Übung

Schreibe dein Alter im Zweiersystem. Beginne mit der größten Zweierpotenz, die hineinpasst, ziehe sie ab und mache mit dem Rest weiter. Dann zeichne die Zahl als Hexagramm, die unterste Linie für 32, die oberste für 1. Wer älter als 63 ist, braucht eine siebte Linie, und damit verlässt er das Buch der Wandlungen.

Quellen und Literatur

Quellen

• Zhouyi (Buch der Wandlungen), Grundtext um 9. bis 8. Jh. v. Chr., mit den späteren Kommentaren der „Zehn Flügel“
• Shao Yong, Diagramm der Hexagramme in der Fuxi-Ordnung, 11. Jh.
• Gottfried Wilhelm Leibniz, De progressione dyadica, Handschrift 1679
• Joachim Bouvet, Brief an Leibniz aus Peking, 4. November 1701
• Gottfried Wilhelm Leibniz, Explication de l’Arithmétique Binaire, Mémoires de l’Académie Royale des Sciences, Paris 1703 (gedruckt 1705)
• Gottfried Wilhelm Leibniz, Brief an Herzog Rudolf August von Braunschweig-Wolfenbüttel, 2. Januar 1697 (Entwurf der Medaille „Imago creationis“)

Zum Weiterlesen

• Richard Wilhelm (Übers.), I Ging. Das Buch der Wandlungen, Jena 1924
• Hans J. Zacher, Die Hauptschriften zur Dyadik von G. W. Leibniz, Frankfurt 1973