Einführung

Pythagoras: der Naturforscher

Arithmetiker, Geometer, Astronom und Musiktheoretiker: das Denken in Analogien, der Satz des Pythagoras, das verbotene Dodekaeder, das Zentralfeuer und die Legende von der Schmiede.

In allen Fächern des Quadriviums, des mathematischen Teils der sieben freien Künste, werden Pythagoras wesentliche Erkenntnisse zugeschrieben: in Arithmetik, Geometrie, Astronomie und Musik. Dazu kommt die Heilkunst, gewissermaßen die Anwendung von Philosophie und Naturforschung in der Praxis (siehe Teil 7).

Fast wie ein Naturwissenschaftler im heutigen Sinn erscheint Pythagoras, wenn er das Vorausdenken durch Zahlen höher schätzte als die Zukunftsschau aus Opfertieren. Die Begründung zeigt aber zugleich den Denker in Analogien, eine Denkweise, die dem Westen seit Descartes weitgehend verloren gegangen ist: Das Rechnen mit Zahlen entspreche den himmlischen Zahlenverhältnissen der Götter.

Der Begriff der Analogie führt zum griechischen Wort logos, das auch „Verhältnis, Proportion“ heißen kann. Den Vergleich mehrerer logoi nannte man schon in der Antike analogia. So gab Pythagoras vor zweieinhalb Jahrtausenden den Anstoß zur harmonikalen Grundlagenforschung. An einem Institut der Musikhochschule Wien hat sie in den Strukturen der Natur nach Proportionen gesucht, die sich als wohlklingende Intervalle darstellen lassen, und nach eigener Darstellung überwiegend solche gefunden. Die Naturwissenschaft teilt diesen Befund nicht.

Der Arithmetiker

Für Pythagoras waren Zahlen keine abstrakten Größen. Sie waren konkrete Stufen in einer geordneten Reihe, etwa in einer Tonleiter, die man durch die Musik nicht nur als Menge, sondern als seelische und geistige Qualität hören und erleben kann. Hier zeigt sich, wie schwer sich bei Pythagoras die Wissenschaften voneinander trennen lassen. Der analoge Denker schaut bei jeder Erkenntnis über den Zaun und sucht nach Entsprechungen, eine Methode, die auch heutigen Universitäten guttäte.

Das Analogieprinzip zeigt sich auch in der Tetraktys, der Vierheit der ersten vier Zahlen, deren Summe die heilige Zehn ist. Ihren Ursprung sieht die Überlieferung in der Musik. Am Monochord, einem Resonanzkasten mit einer einzigen Saite, soll Pythagoras entdeckt haben, dass sich bei den wohlklingenden Intervallen die Saitenlängen verhalten wie Oktave 1 : 2, Quinte 2 : 3 und Quarte 3 : 4. Belegt ist das Monochord allerdings erst um 300 v. Chr., die Zuschreibung an Pythagoras ist späte Überlieferung. Dreimal steht eine ungerade einer geraden Zahl gegenüber. Die Gesetzmäßigkeit der Tetraktys wurde dann auf die Gegensätze der Welt übertragen (siehe Teil 4), und die Vier als erste Quadratzahl wurde heilig.

Steg linker Teilrechter Teilganze Saite

1/2 Oktave2/3 Quinte3/4 Quarte8/9 Ganzton4/5 große Terz

Das Monochord: Der Steg teilt die Saite. Bei 1 : 2, 2 : 3 und 3 : 4 erklingen Oktave, Quinte und Quarte.

Der Geometer

Bei Geometrie denkt man zuerst an den Satz des Pythagoras: Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse so groß wie die beiden Quadrate über den Katheten zusammen, $a^{2} + b^{2} = c^{2}$. Auf ihm beruht zum Beispiel die Berechnung des Abstands zweier Punkte in der analytischen Geometrie.

Ob der Satz auf Pythagoras selbst zurückgeht, lässt sich nicht nachweisen. Platon zeigt gut hundert Jahre später in seinem Dialog Menon wenigstens einen Sonderfall, die Verdopplung des Quadrats über seiner Diagonale. Bekannt, wenn auch nicht bewiesen, war er schon den Babyloniern. Pythagoreische Zahlentripel stehen bereits auf babylonischen Tontafeln wie der Tafel Plimpton 322, die jeweils zwei der drei Zahlen nennt und über tausend Jahre vor Pythagoras entstand.

Das Dodekaeder bricht die Ordnung der Vier

Den Pythagoreern zugeschrieben wird dagegen die Entdeckung des Pentagon-Dodekaeders, des Körpers aus zwölf gleichen Fünfecken. Nach der Deutung dieser Website erregte er höchstes Aufsehen, weil er die Ordnung der „Weltzahl“ Vier durchbrach. Alle übrigen regelmäßigen Körper, denen man eine Kugel ein- und umbeschreiben kann, bestehen aus Dreiecken oder Quadraten. Nach einer alten Randnotiz zu Euklid kannten die Pythagoreer Tetraeder, Würfel und Dodekaeder, während Oktaeder und Ikosaeder erst Theaitetos, ein Freund Platons, beschrieb. Die vier Körper aus Dreiecken und Quadraten sind:

• das Tetraeder aus vier gleichseitigen Dreiecken, eine Pyramide auf dreieckigem Grund
• der Würfel (Hexaeder) aus sechs Quadraten
• das Oktaeder aus acht gleichseitigen Dreiecken, zwei aufeinandergesetzte Pyramiden auf quadratischem Grund
• das Ikosaeder aus zwanzig gleichseitigen Dreiecken

Dass man den Raum um einen Punkt nur mit gleichseitigen Dreiecken oder Quadraten gleichmäßig begrenzen konnte, prägte das damalige Weltbild. Platon lässt im Timaios den Philosophen Timaios, den die spätere Überlieferung zum Pythagoreer machte, erklären, die Körper der Elemente seien aus Dreiecken gebaut und einzeln so klein, dass man sie nicht sieht. Jede ebene Fläche lasse sich in Dreiecke zerlegen, und alle Dreiecke gingen auf zwei rechtwinklige zurück, das gleichschenklige und das halbe gleichseitige. Dieses halbe Dreieck nennt Platon das schönste, zwei davon ergeben ein gleichseitiges. Warum das so ist, führe zu weit, sagt er, aber wer ein schöneres finde, bekomme den Siegespreis, nicht als Feind, sondern als Freund. Da die Kugel die vollkommenste Form ist, muss jeder dieser Körper in eine Kugel passen.

Selbst beim Würfel betont Platon, dass seine Quadrate aus je vier gleichschenkligen Dreiecken bestehen, deren rechte Winkel in der Mitte zusammenstoßen. So waltet die göttliche, schöpferische Drei auch im Viereck. Die vier Körper wurden den vier Elementen zugeordnet, und der Würfel der Erde, weil sie das unbeweglichste Element ist und die sichersten Grundflächen braucht. Damit wurde, so lässt es sich lesen, eine uralte Tradition neu begründet: Drei ist die Zahl der Götter, Vier die der Erde.

In diese festgefügte Ordnung schlug das Dodekaeder ein wie eine Bombe. Ein Körper, der sich nicht aus Dreiecken bauen ließ, sollte dieselbe Eigenschaft haben und in die Kugel passen? Das rührte an die Grundfesten des Weltverständnisses. Wohl aus Vorsicht hüteten die Pythagoreer die Entdeckung als strenges Geheimnis. Über den Pythagoreer, der sie verriet (Iamblichos nennt ihn an einer Stelle Hippasos), berichtet Iamblichos: Weil er als Erster schriftlich bekannt gemacht habe, wie man einem Dodekaeder die Kugel umbeschreibt, sei er als Verräter der Mysterien im Meer umgekommen. Platon machte aus der Not eine Tugend und ordnete den fünften Körper dem Weltall zu.

TetraederOktaederWürfelIkosaederDodekaederDualkörper

Ziehen zum Drehen

Die fünf platonischen Körper. Das Dodekaeder ist der einzige, dessen Flächen keine Dreiecke oder Quadrate sind.

Mehr zu den Körpern auf der Seite Die platonischen Körper.

Der Astronom

Pythagoras soll als Erster angenommen haben, dass die Erde eine Kugel ist. So berichtet es jedenfalls Diogenes Laertius, der allerdings auch Theophrast zitiert, nach dem es Parmenides war. Um diesen Globus in der Mitte des Kosmos kreisen nach der Lehre der späteren Pythagoreer im 5. Jahrhundert v. Chr. die sieben ebenfalls kugelförmigen Himmelskörper, die fünf damals bekannten Planeten sowie Sonne und Mond. Auch der ganze Fixsternhimmel dreht sich um die Erde.

Das war der Anfang großer Fortschritte. Bald darauf lehrten Pythagoreer (Philolaos), dass die Erde zusammen mit den sieben Sphären und einer nur erschlossenen Gegenerde auf Kreisen um ein Zentralfeuer läuft, den „Herd des Alls“. Die Erde war damit nicht mehr die Mitte der Welt. Welch ein Schritt in die richtige Richtung, wenn man bedenkt, dass seit Platon wieder das geozentrische Weltbild galt. Als ptolemäisches Weltbild wurde es bis über Kopernikus (1473 bis 1543) hinaus zur Glaubensfrage, wie Galileo Galilei (1564 bis 1642) erfahren musste. Um 400 v. Chr. lehrten die Pythagoreer Hiketas und Ekphantos sogar, dass sich die Erde von Westen nach Osten um ihre Achse dreht.

Der Musiktheoretiker

Pythagoras war ein Pionier in der Erforschung musikalischer Gesetze. Iamblichos beschreibt seine akustischen Versuche ausführlich, doch sie halten einer Nachprüfung nicht stand, vielleicht weil schon Nikomachos, von dem Iamblichos den Bericht fast wörtlich übernahm, zu wenig davon verstand.

Hübsch ist die Legende, wie Pythagoras auf die Idee kam. Er ging an einer Schmiede vorbei und hörte, wie die Hämmer auf dem Amboss im Wechsel Klänge in harmonischen Intervallen erzeugten, bis auf ein einziges Paar. Er erkannte Oktave, Quinte und Quarte, eilte hinein und fand durch Versuche, dass die Tonhöhe vom Gewicht des Hammers abhing, nicht von der Kraft des Schmieds, der Form des Hammers oder der Lage des Eisens. Er wog die Hämmer, eilte nach Hause und begann sofort mit Versuchen an Saiten. So, schließt Iamblichos, habe er die Musik erfunden und seinen Schülern als Helferin zu allem Edlen weitergegeben. (Physikalisch stimmt die Geschichte nicht, denn die Tonhöhe eines Hammers hängt nicht einfach von seinem Gewicht ab. An Saiten dagegen gelten die Verhältnisse genau, allerdings nur für die Saitenlängen. Hängt man Gewichte an eine Saite, wie es die Legende erzählt, wächst die Tonhöhe nur mit der Wurzel des Gewichts.)

12 : 69 : 612 : 88 : 612 : 99 : 8

Ein Paar Hämmer anschlagen.

Nach Nikomachos und Iamblichos wogen die vier Hämmer 12, 9, 8 und 6. Jedes Paar erklingt hier im Verhältnis seiner Gewichte, der schwerere tiefer: Oktave, Quinte, Quarte und Ganzton.

Erfinder der Musik war Pythagoras sicher nicht. Aber die Entdeckung, dass sich musikalische Intervalle durch Zahlenverhältnisse ausdrücken lassen, geht gewiss auf die Pythagoreer zurück. Ihre Tragweite zeigt sich, wenn man den Versuch am Monochord fortsetzt: Es erklingt eine Reihe von Intervallen, die genau der Naturtonreihe entspricht. Diese Obertöne, die bei jedem natürlichen Ton mitschwingen, wurden erst im 17. Jahrhundert entdeckt, über zweitausend Jahre später. Der Komponist und Musikpädagoge Friedrich Zipp schreibt sinngemäß, die Pythagoreer hätten mit einem rational-mathematischen Verfahren, ohne es zu wissen, ein akustisches Naturgesetz gefunden und ein Ordnungsprinzip sichtbar gemacht, das in der Natur wie im Menschen verankert ist.

Dass diese Proportionen in Natur und Kosmos überwiegen, sieht die harmonikale Forschung an vielen Beispielen bestätigt, die Naturwissenschaft teilt diese Sicht nicht. Dass wir sie als wohlklingend empfinden, hat mit dem Bau unseres Gehörs zu tun, aber auch mit Gewohnheit und Kultur. In der Sicht der Harmoniker sind wir so „harmonisch“ in das kosmische Prinzip eingebettet.

Delphi, die Tetraktys und die Sirenen

Diese Einsicht übernahm Pythagoras wohl aus ältestem Mysterienwissen und verband sie mit dem Geheimnis der Tetraktys. Ein alter pythagoreischer Spruch lautet: Was ist das Orakel von Delphi? Die Tetraktys. Sie ist auch die Harmonie der Sirenen.

Die dunklen Worte weisen auf das Wissen um ewige Gesetze. Den Namen Delphi leitet man oft von delphys ab, „Mutterschoß“, hier der Schoß der Erde, aus dem alles Leben kommt. Andere führten ihn schon in der Antike auf den Delfin zurück. So enthält das Wesen der Zahl alle Gesetze von Himmel und Erde. Die Musik bringt sie zum Klingen und lässt die Seele in göttlicher Harmonie mitschwingen, denn sie ist selbst göttlichen Ursprungs. In den Sirenen verkörpert sich die Musik in ihrer ganzen dämonischen Kraft, der kein Mensch widerstehen kann. Aus dieser Sicht ist der Glaube an eine Musik der Sphären fast eine Notwendigkeit.

Heraklit: die verborgene Harmonie

Der jüngere Zeitgenosse Heraklit von Ephesos (um 520 bis um 460 v. Chr.) hat den Gedanken einer Urharmonie philosophisch erweitert. Er sah in ihr die verborgene Übereinstimmung im Wechselspiel gegensätzlicher Kräfte und nannte sie harmonia aphanes, die verborgene Harmonie. Wir sprechen heute vom Gesetz der Polarität: von der Urspannung, aus der allein Neues entsteht, und von Gegensätzen, die in Wirklichkeit Teile eines Ganzen sind. Es gäbe keine Harmonie ohne Hoch und Tief und keine Lebewesen ohne Weiblich und Männlich. An diesen Gedanken ließe sich eine ganze Philosophie des Friedens anschließen.

Quellen und Literatur

Quellen

• Nikomachos von Gerasa, Handbuch der Harmonik 6 (die Schmiede)
• Aristoteles, Über den Himmel II 13 (Zentralfeuer und Gegenerde)
• Proklos, Kommentar zum ersten Buch von Euklids Elementen 426 (Satz des Pythagoras)
• Iamblichos, Über das pythagoreische Leben, um 300 n. Chr., 88 und 247 (Hippasos)
• Nikolaus Kopernikus, De revolutionibus orbium coelestium, Nürnberg 1543, Vorrede

Zum Weiterlesen

• Christoph Riedweg, Pythagoras. Leben, Lehre, Nachwirkung, München 2002
• Holger Ullmann, tetraktys.de, seit 2010