Pythagoras – der Naturforscher

Arithmetiker, Geometer, Astronom und Musiktheoretiker: das Denken in Analogien, der Satz des Pythagoras, das verbotene Dodekaeder, das Zentralfeuer und die Legende von der Schmiede.

In allen Fächern des Quadriviums, des mathematischen Teils der sieben freien Künste, werden Pythagoras wesentliche Erkenntnisse zugeschrieben: in Arithmetik, Geometrie, Astronomie und Musik. Dazu kommt die Heilkunst, gewissermaßen die Anwendung von Philosophie und Naturforschung in der Praxis (siehe Teil 7).

Fast wie ein Naturwissenschaftler im heutigen Sinn erscheint Pythagoras, wenn er das Vorausdenken durch Zahlen höher schätzte als die Zukunftsschau aus Opfertieren. Die Begründung zeigt aber zugleich den Denker in Analogien, eine Denkweise, die dem Westen seit Descartes weitgehend verloren gegangen ist: Das Rechnen mit Zahlen entspreche den himmlischen Zahlenverhältnissen der Götter.

Der Begriff der Analogie führt zum griechischen Wort logos, das auch „Verhältnis, Proportion“ heißen kann. Den Vergleich mehrerer logoi nannte man schon in der Antike analogia. So gab Pythagoras vor zweieinhalb Jahrtausenden den Anstoß zur harmonikalen Grundlagenforschung. An einem Institut der Musikhochschule Wien hat sie Proportionen in den Strukturen der Natur aufgespürt, die sich überwiegend als wohlklingende Intervalle darstellen lassen.

Der Arithmetiker

Für Pythagoras waren Zahlen keine abstrakten Größen. Sie waren konkrete Stufen in einer geordneten Reihe, etwa in einer Tonleiter, die man durch die Musik nicht nur als Menge, sondern als seelische und geistige Qualität hören und erleben kann. Hier zeigt sich, wie schwer sich bei Pythagoras die Wissenschaften voneinander trennen lassen. Der analoge Denker schaut bei jeder Erkenntnis über den Zaun und sucht nach Entsprechungen, eine Methode, die auch heutigen Universitäten guttäte.

Das Analogieprinzip zeigt sich auch in der Tetraktys, der Vierheit der ersten vier Zahlen, deren Summe die heilige Zehn ist. Sie hat ihren Ursprung in der Musik. Am Monochord, einem Resonanzkasten mit einer einzigen Saite, entdeckte Pythagoras, dass sich bei den wohlklingenden Intervallen die Saitenlängen verhalten wie Oktave 1 : 2, Quinte 2 : 3 und Quarte 3 : 4. Dreimal steht eine ungerade einer geraden Zahl gegenüber. Die Gesetzmäßigkeit der Tetraktys wurde dann auf die Gegensätze der Welt übertragen (siehe Teil 4), und die Vier als erste Quadratzahl wurde heilig.

Steg

Das Monochord: Der Steg teilt die Saite. Bei 1 : 2, 2 : 3 und 3 : 4 erklingen Oktave, Quinte und Quarte.

Der Geometer

Bei Geometrie denkt man zuerst an den Satz des Pythagoras: Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse so groß wie die beiden Quadrate über den Katheten zusammen, a² + b² = c². Auf ihm beruht zum Beispiel die Berechnung des Abstands zweier Punkte in der analytischen Geometrie.

Ob der Satz auf Pythagoras selbst zurückgeht, lässt sich nicht nachweisen. Platon kannte ihn gut hundert Jahre später, wie sein Dialog Menon zeigt. Bekannt, wenn auch nicht bewiesen, war er schon den Babyloniern. Pythagoreische Zahlentripel stehen bereits auf babylonischen Tontafeln wie der Tafel Plimpton 322, die über tausend Jahre vor Pythagoras entstand.

Das Dodekaeder bricht die Ordnung der Vier

Sicher den Pythagoreern zuzuschreiben ist dagegen die Entdeckung des Pentagon-Dodekaeders, des Körpers aus zwölf gleichen Fünfecken. Er erregte höchstes Aufsehen, denn er durchbrach die Ordnung der „Weltzahl“ Vier. Alle übrigen regelmäßigen Körper, denen man eine Kugel ein- und umbeschreiben kann, bestehen aus Dreiecken oder Quadraten. Nach einer alten Randnotiz zu Euklid kannten die Pythagoreer Tetraeder, Würfel und Dodekaeder, während Oktaeder und Ikosaeder erst Theaitetos, ein Freund Platons, beschrieb. Die vier Körper aus Dreiecken und Quadraten sind:

das Tetraeder aus vier gleichseitigen Dreiecken, eine Pyramide auf dreieckigem Grund
der Würfel (Hexaeder) aus sechs Quadraten
das Oktaeder aus acht gleichseitigen Dreiecken, zwei aufeinandergesetzte Pyramiden auf quadratischem Grund
das Ikosaeder aus zwanzig gleichseitigen Dreiecken

Dass man den Raum um einen Punkt nur mit gleichseitigen Dreiecken oder Quadraten gleichmäßig begrenzen konnte, prägte das damalige Weltbild. Platon lässt im Timaios den pythagoreischen Philosophen Timaios erklären, die Welt sei aus unendlich kleinen Dreiecken gebaut. Die kleinste Fläche könne nur ein Dreieck sein, weil es die wenigsten Seiten hat und beim Teilen immer wieder Dreiecke ergibt. Der kleinste Körper müsse also aus Dreiecken bestehen, und zwar aus gleichseitigen, weil diese die schönsten seien. Warum das so ist, führe zu weit, sagt Platon, aber wer das Gegenteil beweise, bekomme den Siegespreis. Da die Kugel die vollkommenste Form ist, muss jeder dieser Körper in eine Kugel passen.

Selbst beim Würfel betont Platon, dass seine Quadrate aus je vier gleichschenkligen Dreiecken bestehen, deren rechte Winkel in der Mitte zusammenstoßen. So waltet die göttliche, schöpferische Drei auch im Viereck. Die vier Körper wurden den vier Elementen zugeordnet, und der Würfel der Erde, weil sie das unbeweglichste Element ist und die sichersten Grundflächen braucht. Damit wurde eine uralte Tradition neu begründet: Drei ist die Zahl der Götter, Vier die der Erde.

In diese festgefügte Ordnung schlug das Dodekaeder ein wie eine Bombe. Ein Körper, der sich nicht aus Dreiecken bauen ließ, sollte dieselbe Eigenschaft haben und in die Kugel passen? Das rührte an die Grundfesten des Weltverständnisses. Wohl aus Vorsicht hüteten die Pythagoreer die Entdeckung als strenges Geheimnis. Über den Pythagoreer, der sie verriet (später Hippasos genannt), berichtet Iamblichos: Weil er als Erster schriftlich bekannt gemacht habe, wie man einem Dodekaeder die Kugel umbeschreibt, sei er als Verräter der Mysterien im Meer umgekommen. Platon machte aus der Not eine Tugend und ordnete den fünften Körper dem Weltall zu.

Ziehen zum Drehen

Die fünf platonischen Körper. Das Dodekaeder ist der einzige, dessen Flächen keine Dreiecke oder Quadrate sind.

Mehr zu den Körpern auf der Seite Die platonischen Körper.

Der Astronom

Pythagoras soll als Erster angenommen haben, dass die Erde eine Kugel ist. So berichtet es jedenfalls Diogenes Laertius, der allerdings auch Theophrast zitiert, nach dem es Parmenides war. Um diesen Globus in der Mitte des Kosmos kreisen nach dieser Lehre die sieben ebenfalls kugelförmigen Himmelskörper, die fünf damals bekannten Planeten sowie Sonne und Mond. Auch der ganze Fixsternhimmel dreht sich um die Erde.

Das war der Anfang großer Fortschritte. Bald darauf lehrten Pythagoreer (Philolaos), dass die Erde zusammen mit den sieben Sphären und einer nur erschlossenen Gegenerde auf Kreisen um ein Zentralfeuer läuft, den „Herd des Alls“. Die Erde war damit nicht mehr die Mitte der Welt. Welch ein Schritt in die richtige Richtung, wenn man bedenkt, dass seit Platon wieder das geozentrische Weltbild galt. Als ptolemäisches Weltbild wurde es bis über Kopernikus (1473 bis 1543) hinaus zur Glaubensfrage, wie Galileo Galilei (1564 bis 1642) erfahren musste. Um 400 v. Chr. lehrten die Pythagoreer Hiketas und Ekphantos sogar, dass sich die Erde von Westen nach Osten um ihre Achse dreht.

Der Musiktheoretiker

Pythagoras war ein Pionier in der Erforschung musikalischer Gesetze. Iamblichos beschreibt seine akustischen Versuche ausführlich, doch sie halten einer Nachprüfung nicht stand, vielleicht weil Iamblichos selbst zu wenig davon verstand.

Hübsch ist die Legende, wie Pythagoras auf die Idee kam. Er ging an einer Schmiede vorbei und hörte, wie die Hämmer auf dem Amboss im Wechsel Klänge in harmonischen Intervallen erzeugten, bis auf ein einziges Paar. Er erkannte Oktave, Quinte und Quarte, eilte hinein und fand durch Versuche, dass die Tonhöhe vom Gewicht des Hammers abhing, nicht von der Kraft des Schmieds, der Form des Hammers oder der Lage des Eisens. Er wog die Hämmer, eilte nach Hause und begann sofort mit Versuchen an Saiten. So, schließt Iamblichos, habe er die Musik erfunden und seinen Schülern als Helferin zu allem Edlen weitergegeben. (Physikalisch stimmt die Geschichte nicht, denn die Tonhöhe eines Hammers hängt nicht einfach von seinem Gewicht ab. An Saiten dagegen gelten die Verhältnisse genau.)

Erfinder der Musik war Pythagoras sicher nicht. Aber die Entdeckung, dass sich musikalische Intervalle durch Zahlenverhältnisse ausdrücken lassen, geht gewiss auf die Pythagoreer zurück. Ihre Tragweite zeigt sich, wenn man den Versuch am Monochord fortsetzt: Es erklingt eine Reihe von Intervallen, die genau der Naturtonreihe entspricht. Diese Obertöne, die bei jedem natürlichen Ton mitschwingen, wurden erst im 17. Jahrhundert entdeckt, über zweitausend Jahre später. Der Musikwissenschaftler Friedrich Zipp schreibt sinngemäß, die Pythagoreer hätten mit einem rational-mathematischen Verfahren, ohne es zu wissen, ein akustisches Naturgesetz gefunden und ein Ordnungsprinzip sichtbar gemacht, das in der Natur wie im Menschen verankert ist.

Dass diese Proportionen in Natur und Kosmos überwiegen, hat die harmonikale Forschung an vielen Beispielen gezeigt. Dass wir sie als wohlklingend empfinden, ist in unserer Psyche angelegt. So sind wir „harmonisch“ in das kosmische Prinzip eingebettet.

Delphi, die Tetraktys und die Sirenen

Diese Einsicht übernahm Pythagoras wohl aus ältestem Mysterienwissen und verband sie mit dem Geheimnis der Tetraktys. Ein alter pythagoreischer Spruch lautet: Was ist das Orakel von Delphi? Die Tetraktys. Sie ist auch die Harmonie der Sirenen.

Die dunklen Worte weisen auf das Wissen um ewige Gesetze. Delphi heißt wörtlich „Mutterschoß“, hier der Schoß der Erde, aus dem alles Leben kommt. So enthält das Wesen der Zahl alle Gesetze von Himmel und Erde. Die Musik bringt sie zum Klingen und lässt die Seele in göttlicher Harmonie mitschwingen, denn sie ist selbst göttlichen Ursprungs. In den Sirenen verkörpert sich die Musik in ihrer ganzen dämonischen Kraft, der kein Mensch widerstehen kann. Aus dieser Sicht ist der Glaube an eine Musik der Sphären fast eine Notwendigkeit.

Heraklit: die verborgene Harmonie

Der jüngere Zeitgenosse Heraklit von Ephesos (um 536 bis 470 v. Chr.) hat den Gedanken einer Urharmonie philosophisch erweitert. Er sah in ihr die verborgene Übereinstimmung im Wechselspiel gegensätzlicher Kräfte und nannte sie harmonia aphanes, die verborgene Harmonie. Wir sprechen heute vom Gesetz der Polarität: von der Urspannung, aus der allein Neues entsteht, und von Gegensätzen, die in Wirklichkeit Teile eines Ganzen sind. Es gäbe keine Harmonie ohne Hoch und Tief und keine Lebewesen ohne Weiblich und Männlich. An diesen Gedanken ließe sich eine ganze Philosophie des Friedens anschließen.