Pyramiden, Ritterkreuze, Raumgitter
Die Pyramide ist ein halbes Oktaeder, der Kanonenkugelstapel ein Stück Kristallgitter, und das Kreuz der Ritterorden eine vierzählige Symmetrie. Drei Symbole, eine Geometrie.
Pyramiden, Kreuze und Kristalle gehören zu den stärksten Symbolen der Menschheit. Sie stehen für Ewigkeit, für Glauben und für Reinheit. Geometrisch sind sie eng verwandt: Alle drei sind Ausschnitte aus derselben Ordnung des Raumes, dem Gitter der dichtesten Kugelpackung (siehe Die lückenlose Raumfüllung).
Das Kreuz
Das Kreuz ist eines der ältesten Symbole. Zerlegt man es in seine Teile, erklärt sich seine Bedeutung: Die Waagerechte steht für die Erde, die Senkrechte für den Himmel, das Kreuz für ihre Verbindung. Es teilt den Kreis, das Zeichen der Vollständigkeit, in vier gleiche Teile und steht für die vier Himmelsrichtungen. Im alten Ägypten stützten vier Säulen das Himmelsgewölbe. Das Kreuz war wohl auch ein Werkzeug der Himmelsbeobachtung, ein Zeugnis astronomischen und nautischen Wissens, und das Sonnenrad als Zeichen des Jahreslaufs gehört in diese Reihe. Denkt man die beiden Balken als Achsen im Raum, wird daraus ein räumliches Kreuz, ein Koordinatensystem aller Richtungen, ein Bild des Universums.
Eine Pyramide ist nichts anderes als die räumliche Fassung des Kreuzes: Der Schnittpunkt wird in die Höhe gezogen und weist zum Himmel. Spiegelt man an der Grundfläche eine zweite Pyramide zur Erde hin, entsteht ein Oktaeder, dessen Achsen und Kanten wiederum räumliche Kreuze bilden. Wegen seiner Symmetrie bildet jede seiner sechs Ecken die Spitze einer Pyramide. Es hat 6 Ecken, 12 Kanten und 8 Flächen, und man kann es auf zwei Arten sehen: als drei ineinander verschränkte Quadrate mit zusammen 12 Seiten oder als acht Dreiecke mit zusammen 24. Und es hat eine Kreuzansicht und eine Sechssternansicht. Kreuz und Sechsstern, geometrische Gesetze als Grundlage religiöser Symbole. Ob die Baumeister der Cheops-Pyramide das Oktaeder, die umgekehrte Pyramide, wegen dieser Kreuzsymbolik kannten, bleibt Vermutung.
Die Pyramide
Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche und gleich langen Kanten ist genau ein halbes Oktaeder. Setzt man zwei solche Pyramiden Grundfläche an Grundfläche zusammen, entsteht das Oktaeder, einer der fünf platonischen Körper. Die Pyramide mit dreieckiger Grundfläche ist das Tetraeder. Beide sind die kleinsten Zellen des Raumgitters: Wo Tetraeder und Oktaeder sich abwechseln, füllen sie den Raum lückenlos.
Stapelt man Kugeln zu einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche, wie Kanonenkugeln vor einer Festung oder Orangen auf dem Markt, ergeben die Schichten die Quadratzahlen 1, 4, 9, 16 … und zusammen die Pyramidalzahlen 1, 5, 14, 30, 55.
Kugeln zu einer quadratischen Pyramide gestapelt. Jede Kugel liegt in der Mulde von vier Kugeln der Schicht darunter. Ziehen dreht das Modell.
Das Erstaunliche: Diese Pyramide ist dasselbe Gitter wie der dreieckige Kugelstapel, das kubisch flächenzentrierte Gitter der dichtesten Packung. Man sieht es nur aus einer anderen Richtung. Schaut man auf eine Seitenfläche der quadratischen Pyramide, erkennt man dort Dreiecke, genau wie im Tetraeder-Stapel. Quadrat und Dreieck, die beiden Grundformen der Parkettierung, sind in einem einzigen Körper vereint.
Zum Vergleich der dreieckige Stapel. Beide Pyramiden sind Ausschnitte aus demselben Raumgitter.
Um die großen Pyramiden Ägyptens ranken sich viele Zahlenbehauptungen. Nachprüfbar ist: Beim Pyramidenbau des Cheops verhält sich der Umfang der Grundfläche zur Höhe fast genau wie 2π, mit einer Abweichung unter einem Promille. Ob die Baumeister das beabsichtigten oder ob es aus ihrer Messmethode folgte (etwa mit einer rollenden Trommel), ist umstritten. In jedem Fall trägt die Pyramide, wie der Simplex, die Kreiszahl in einer eckigen Form (siehe Simplexe und die Kreiszahl π).
Pyramide und Doppelpyramide in der Magie
Die Orientierung des Menschen im Raum ist seit jeher die wichtigste Deutung des Kreuzes. In magischen Ritualen entsprechen die vier Himmelsrichtungen den vier Elementen Feuer, Luft, Wasser und Erde. Dazu kommt die Senkrechte, die Verbindung zu den „höheren“ und „niederen“ Mächten. Sechs Richtungen von einem Mittelpunkt aus beschreiben wieder ein Oktaeder, eine Doppelpyramide.
Viele Schutzkreise haben ein Kreuz in der Mitte. Wer sich hineinstellt, will seine vier elementaren Kräfte, wollen, fühlen, denken und sein (siehe Freimaurerei), in eine kosmische Ordnung bringen. Er selbst nimmt die mittlere, erhöhte Stelle ein, die quinta essentia, das fünfte Element, den ordnenden und beobachtenden Mittelpunkt seines Mikrokosmos, die Spitze der vorgestellten Pyramide: die Vernunft. Die Grundfläche bilden die vier Kräfte seines Geistes, die er beherrschen will.
Es gibt auch magische Kreise in Form eines Hexagramms. Sie entsprechen der Doppelpyramide, dem Oktaeder. Zu den vier Elementen und der quinta essentia kommt dann das Unbewusste hinzu, der „sechste Sinn“ an der Spitze der nach unten weisenden Pyramide, und in der Mitte ruht das göttliche Selbst als Siebtes. So verbindet sich der Magier mit der Raumordnung des Makrokosmos:
| Form | Bereich | Zeichen |
|---|---|---|
| Pyramide | Mikrokosmos | Pentagramm |
| Doppelpyramide, Oktaeder | Makrokosmos | Hexagramm |
Der siebte Tag, sieben Planeten, sieben Metalle
Der Ruhetag nach der Schöpfung in sechs Tagen hat in der Hermetik viele Zeichen: sieben Planeten, sieben Metalle, der siebte Himmel. Das Hexagramm fasst sie alle in seinem siebten Punkt zusammen, der Mitte. Im Hexagramm der Planeten sitzt die Sonne in der Mitte, und der Kreis mit dem Punkt ist zugleich Zeichen der Schöpfung und astrologisches Sonnenzeichen.
Ein Kupferstich aus Johann Daniel Mylius’ Opus medico-chymicum (1618), später auch im Musaeum Hermeticum (Frankfurt 1625, erweitert 1678) verwendet, zeigt die sieben Metalle als irdische Entsprechung der sieben Planeten. In einer Erdhöhle sitzen sieben Gestalten, in der Mitte Apollon mit der Leier für das Gold, die Entsprechung der Sonne. Über der Höhle sitzen drei Gestalten, die göttliche Dreiheit: Die linke hält ein aufrechtes Dreieck, die mittlere ein Hexagramm, die rechte ein gestürztes Dreieck. Die vier Elemente und die Planetenprinzipien rahmen die Szene. Unten, auf der Erde, geschieht die alchemistische Wandlung vom Stoff zur Arznei. Die obere Dreiheit entspricht den ersten drei Sephirot, getrennt durch den Abgrund, hier die Erdkruste, von den übrigen sieben. Zusammen sind es zehn Gestalten, wie die zehn Sephirot und die pythagoreische Tetraktys.
Wie das Sefer Jezira die sechs Richtungen des Raumes versiegelt, von 5 bis 10, beschreibt Die Kabbala. Die sechs Richtungen lassen sich als Oktaeder mit sechs Ecken ebenso darstellen wie als Würfel mit sechs Flächen, denn beide Körper sind zueinander dual. Raum, Göttliches und Pyramide hängen hier nicht nur „mystisch“, sondern logisch nachvollziehbar zusammen. Eine Parallele im Zahlenraum: Der Sechsertakt der Primzahlzwillinge aus 1 × 2 × 3 ordnet die Primzahlen bis ins Unendliche und verbindet so die geistige Welt der Zahlen mit dem erfahrbaren Raum aus Länge, Breite und Höhe (siehe Die Ordnung der Primzahlen).
Das Ritterkreuz
Das Tatzenkreuz, das gleicharmige Kreuz mit Armen, die sich nach außen verbreitern, wurde zum Zeichen der Ritterorden. Die Templer trugen es rot auf weißem Mantel, der Deutsche Orden schwarz auf weiß. Der Johanniterorden führte das achtspitzige Kreuz, das nach seinem späteren Sitz Malteserkreuz heißt.
Links das Tatzenkreuz der Ritterorden, rechts das Malteserkreuz mit seinen acht Spitzen.
Bei Ritter- und Ordenskreuzen herrschen zwei Grundformen vor: das Tatzenkreuz mit seinen spatelförmig verbreiterten Armen und eine mehr oder weniger ausgeprägte Schwalbenschwanzform. Menschen „edler Gesinnung“ und Einrichtungen mit göttlichem oder karitativem Auftrag sahen sich würdig, dieses Zeichen zu tragen. Ist das Tatzenkreuz vielleicht eine aufgeklappte Pyramide, von oben gesehen?
Eine Pyramide mit gleich langen Kanten, aufgeklappt und von oben gesehen: vier Dreiecke um ein Quadrat. Die Umrisslinie ergibt die Form eines Tatzenkreuzes, die Kerben zwischen den Dreiecken den Schwalbenschwanz vieler Ordenskreuze.
Die Schwalbenschwänze markieren dann den Unterschied zwischen dem quadratischen Grundriss und den aufgeklappten Dreiecken, und die Träger des Kreuzes hätten sich mit der Pyramide, dem Zeichen des Göttlichen, identifiziert. Auch zahlentheoretische Diagramme zeigen diese Kreuzform: In der Divisionstabelle als Koordinatensystem ergeben die eingetragenen Teiler ähnliche Figuren (siehe Tetraktys und Koordinatensystem). Ob hier ein direkter Zusammenhang besteht, ist allerdings spekulativer als bei der aufgeklappten Pyramide.
Beide Kreuze sind vierzählige Symmetrien um einen Mittelpunkt, dieselbe Gliederung wie der Kreis mit vier Segmenten in den Geheimen Figuren der Rosenkreuzer. Das Viereck ist das einzige Vieleck, dessen Winkel genau einen Vollkreis ergeben, und das Kreuz teilt den Kreis in vier rechte Winkel. Die acht Spitzen des Malteserkreuzes wurden als die acht Seligpreisungen der Bergpredigt gedeutet. Geometrisch ist es eine achtzählige Figur, wie das Sterntetraeder in seiner quadratischen Ansicht und wie das Ægishjálmur mit seinen acht Armen (siehe Der Thron Gottes und die Zahl 24).
Das Raumgitter
Das Gitter, in dem Pyramide, Oktaeder, Tetraeder und Würfel zugleich stecken, ist das kubisch flächenzentrierte Gitter. Buckminster Fuller nannte es die Isotropic Vector Matrix, Kepler beschrieb es als dichteste Packung der Kugeln, und in ihm liegen die Atome von Kupfer, Gold und Aluminium.
Ein Ausschnitt aus dem Raumgitter. In ihm stecken Tetraeder, Oktaeder, quadratische Pyramiden, Würfel, das Kuboktaeder und das Sterntetraeder.
Die Symbole der Mystik sind in dieser Sicht keine willkürlichen Erfindungen, sondern Ausschnitte aus diesem einen Gitter:
| Symbol | Ausschnitt aus dem Raumgitter |
|---|---|
| Pyramide | halbes Oktaeder |
| Tetraeder, Dreieck | die kleinste Zelle |
| Würfel, „kubischer Stein“ der Freimaurer | Umriss um ein Sterntetraeder |
| Merkaba, Davidstern | Sterntetraeder, von einer Ecke aus gesehen ein Hexagramm |
| Kreuz | die vierzählige Ansicht, entlang einer Würfelachse |
| Blume des Lebens | eine Schicht der Packung, sechs Kugeln um eine |
Dass dieses Gitter aus Drei-, Vier- und Sechsecken besteht, hat einen einfachen Grund: Nur diese drei Vielecke füllen Ebene und Raum lückenlos mit sich selbst (siehe Kreis, Dreieck und Quadrat). Wer die Struktur wirklich begreifen will, sollte sie nachbauen, mit Magnetstäben, Zahnstochern oder Tennisbällen. Buckminster Fuller hat sie in seinen Vorträgen mit ansteckender Begeisterung erklärt, und diesen Enthusiasmus teilt wohl nur, wer das Gitter selbst gebaut hat. Auch Nassim Haramein erklärt diese Matrix zur Weltformel, vielleicht nicht ganz zu Unrecht, wobei sich über die fachliche Tragfähigkeit seiner Theorien hier kein Urteil fällen lässt (siehe Heilige Geometrie).
Wer eine Pyramide, ein Kreuz oder einen Kristall betrachtet, sieht also jedes Mal eine andere Seite derselben Ordnung. Sie ist die Ordnung, in der sich gleich große Kugeln von selbst anordnen, wenn man sie dicht zusammenlegt: die Anatomie des Raumes.