Geometrie

Islamische Ornamentik: Sterne aus Zirkel und Lineal

Achtstrahlige Sterne, Zehnecke und endlose Bänder: wie die Baumeister der islamischen Welt mit Zirkel und Lineal Muster entwarfen, die keinen Anfang und kein Ende haben. Ein Mathematiker des 10. Jahrhunderts schrieb für Handwerker, und in Isfahan steht seit 1453 ein Muster, das der Ordnung der Quasikristalle sehr nahe kommt.

Wer eine Moschee in Isfahan, die Alhambra in Granada oder eine Medrese in Samarkand betritt, sieht Wände, Decken und Böden, die von geometrischen Mustern überzogen sind. Sterne mit acht, zehn oder zwölf Strahlen, verschlungene Bänder, die nirgends anfangen und nirgends aufhören, Flächen, die sich ins scheinbar Unendliche fortsetzen. Diese Kunst ist eine der großen Leistungen der Geometrie, und sie wurde nicht von Mathematikern geschaffen, sondern von Handwerkern.

Warum Geometrie

In Moscheen und im Koran werden keine Menschen und Tiere dargestellt. Das ist kein ausdrückliches Gebot des Korans, sondern eine Überlieferung, die sich in der religiösen Kunst früh durchsetzte, während Paläste und Bücher durchaus Bilder von Menschen kannten. Wo die Figur fehlte, traten drei andere Künste an ihre Stelle: die Schrift, die Pflanzenranke und die Geometrie.

Die Geometrie eignete sich dafür besonders, denn sie zeigt eine Ordnung, ohne etwas abzubilden. Ein Muster, das sich nach allen Seiten fortsetzt, hat keine Mitte, die wichtiger wäre als andere Stellen, und keinen Rand, an dem es endet. Viele haben darin ein Bild für die Unendlichkeit und Einheit Gottes gesehen. Ob die Handwerker selbst so dachten, wissen wir nicht. Sie haben ihre Absichten selten aufgeschrieben.

Mit Zirkel und Lineal

Die Muster entstehen mit denselben Werkzeugen, mit denen Euklid konstruierte. Man beginnt mit einem Kreis, teilt ihn in gleiche Teile, verbindet die Teilpunkte und erhält Sterne. Teilt man ihn in sechs, entsteht der Davidstern, teilt man in acht, der achtstrahlige Stern, der in der islamischen Kunst so häufig ist, dass er einen eigenen Namen hat, chatam, das Siegel. Die Sterne werden dann in ein Raster gesetzt, und die Lücken dazwischen werden mit weiteren Formen gefüllt (siehe Simplexe und Sternpolygone).

Im 10. Jahrhundert schrieb der Mathematiker Abu l-Wafa in Bagdad ein Buch mit dem Titel Über die geometrischen Konstruktionen, die der Handwerker braucht. Er berichtet darin, wie er sich mit Handwerkern traf, die ihre Muster zusammensetzten, und er gibt Verfahren, mit denen man regelmäßige Vielecke genau konstruiert, einige nur mit einem Zirkel fester Öffnung. Aus dem späten 15. oder dem 16. Jahrhundert ist eine fast dreißig Meter lange Musterrolle erhalten, die Topkapı-Rolle in Istanbul. Sie zeigt Entwürfe mit feinen Hilfslinien, und an ihr sieht man, wie die Baumeister arbeiteten: Unter dem sichtbaren Muster liegt ein unsichtbares Gerüst aus Kreisen und Linien.

Die schwierige Fünf

Sechs- und achtstrahlige Sterne lassen sich leicht zu Flächen fügen, denn Dreieck, Quadrat und Sechseck füllen die Ebene lückenlos (siehe Kreis, Dreieck und Quadrat). Mit dem Fünfeck geht das nicht. Gerade die fünf- und zehnstrahligen Sterne aber haben die islamischen Baumeister besonders geliebt, und sie fanden Wege, sie trotzdem zu großen Flächen zu verbinden, indem sie Sterne mit anderen Formen kombinierten.

Spätestens ab dem 13. Jahrhundert verwendeten sie dafür einen Satz von fünf Grundformen, die man heute Girih-Kacheln nennt, nach dem persischen Wort für Knoten: ein Zehneck, ein Fünfeck, eine Raute, ein längliches Sechseck und eine Form wie eine Fliege. Alle Kanten sind gleich lang, alle Winkel sind Vielfache von 36 Grad, und auf jede Kachel ist ein Stück Band gezeichnet. Legt man die Kacheln aneinander, verbinden sich die Bandstücke zu einem durchgehenden Geflecht, und die Kacheln selbst verschwinden.

Isfahan und die Quasikristalle

2007 machten der Physiker Peter Lu und sein Kollege Paul Steinhardt in der Zeitschrift Science eine überraschende Beobachtung. Am Portal des Schreins Darb-e Imam in Isfahan, gebaut 1453, fanden sie ein Girih-Muster, das auf zwei Größenstufen zugleich angelegt ist. Große Kacheln sind in kleinere unterteilt, und diese Unterteilung folgt einer Regel, die sich beliebig oft wiederholen ließe. Eine solche Regel erzeugt ein Muster, das geordnet ist, sich aber nie periodisch wiederholt, genau wie die Pflasterung, die Roger Penrose 1974 entdeckte und die man 1982 in den Quasikristallen wiederfand.

Das Muster in Isfahan ist nicht vollkommen. Es enthält einige Fehler, und eine Wand ist endlich, so dass man nicht beweisen kann, dass es sich wirklich ohne Wiederholung ins Unendliche fortsetzen würde. Ob die Baumeister wussten, dass ihre Regel ein nichtperiodisches Muster erzeugt, oder ob sie einfach ein schönes Verfahren gefunden hatten, ist umstritten. Sicher ist, dass sie Muster dieser Art beherrschten, die die westliche Mathematik erst fünfhundert Jahre später verstand. Ob ihr Werkzeug die Girih-Kacheln waren, wie Peter Lu und Paul Steinhardt vermuten, oder Zirkel und Lineal, ist ebenfalls umstritten (siehe Das Pentagramm und der Goldene Schnitt).

Stufen

Eine Penrose-Pflasterung aus dicken und dünnen Rauten. Sie ist streng geordnet und voller fünfzähliger Sterne, wiederholt sich aber nie. Mit jeder Stufe der Unterteilung nähert sich das Verhältnis der beiden Rautenarten dem Goldenen Schnitt.

Kepler und die Fünfecke

Auch in Europa hat sich jemand an der Fünf versucht. Johannes Kepler zeichnete 1619 in seiner Weltharmonik alle Arten, die Ebene mit regelmäßigen Vielecken zu füllen, und er fand dabei eine Figur aus Fünfecken, Pentagrammen und Zehnecken, die er mit dem Buchstaben „Aa“ bezeichnete. Sie lässt sich, wie er bemerkte, nur mit wachsenden Unregelmäßigkeiten fortsetzen. Heute erkennt man darin einen Vorläufer der Penrose-Pflasterung (siehe Johannes Kepler).

Übung

Zeichne mit dem Zirkel einen Kreis und teile ihn mit derselben Zirkelöffnung in sechs Teile, wie es jeder Handwerker konnte. Verbinde jeden zweiten Punkt, und du hast ein Hexagramm. Dann zeichne um jeden der sechs Punkte wieder einen Kreis mit derselben Öffnung. Du erhältst den Anfang der sogenannten Blume des Lebens, und aus diesem Raster lassen sich unzählige Sternmuster entwickeln (siehe Heilige Geometrie). Versuche, ein Muster zu finden, das sich nach allen Seiten fortsetzen ließe.

Quellen und Literatur

Quellen

• Abu l-Wafa al-Buzjani, Buch über die geometrischen Konstruktionen, die der Handwerker braucht, Bagdad, 10. Jh.
• Gülru Necipoğlu, The Topkapı Scroll. Geometry and Ornament in Islamic Architecture, Santa Monica 1995
• Peter J. Lu und Paul J. Steinhardt, Decagonal and Quasi-Crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture, Science 315, 2007, S. 1106 bis 1110
• Roger Penrose, The role of aesthetics in pure and applied mathematical research, Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications 10, 1974
• Johannes Kepler, Harmonices mundi, Linz 1619, Buch II

Zum Weiterlesen

• Eric Broug, Islamic Geometric Patterns, London 2008
• Keith Critchlow, Islamic Patterns. An Analytical and Cosmological Approach, London 1976