Arithmetik: die Zahl an sich

Die erste Kunst des Quadriviums: Warum Platon das Rechnen für eine Schule der Seele hielt, was die Steinchen der Pythagoreer lehren und ein Weg durch die Seiten über Zahlen, Teiler und Primzahlen.

Die Arithmetik ist bei Nikomachos die Lehre von der Menge an sich, von den Zahlen, wie sie für sich bestehen: gerade und ungerade, Teiler und Vielfache, Primzahlen und Figuren. Sie steht am Anfang des Quadriviums, weil alle anderen Künste sie voraussetzen. Die Musik braucht die Verhältnisse, die Geometrie die Maße und die Astronomie die Perioden.

Was das Rechnen übt

Platon begründet im siebten Buch des Staates, warum ausgerechnet das Rechnen den Geist schult. Zeigt man jemandem drei Finger, sagen ihm die Augen sofort, dass es Finger sind. Fragt man aber, ob ein Finger groß oder klein ist, kommen die Sinne in Verlegenheit, denn derselbe Finger ist groß neben dem kleinen und klein neben dem großen. Hier muss der Verstand eingreifen und fragen, was „eins“, was „groß“, was „Zahl“ eigentlich ist. Die Arithmetik, sagt Platon, zieht die Seele vom Werdenden zum Seienden.

Man muss Platons Philosophie nicht teilen, um den Kern zu sehen: Beim Rechnen kann man sich nicht herausreden. Eine Zahl ist gerade oder ungerade, eine Rechnung stimmt oder nicht. Wer gelernt hat, dass sich 1 + 3 + 5 + 7 immer zu einem Quadrat fügt, und dann versteht, warum es immer so sein muss, hat etwas gelernt, was keine Meinung erschüttern kann. Das ist die Erfahrung von Gewissheit, und wer sie einmal gemacht hat, erkennt auch, wann sie fehlt.

Kolorierter Holzschnitt: in der Mitte eine Frau in langem Gewand mit Ziffern darauf, links ein Mann, der an einem Tisch mit Ziffern rechnet, rechts ein Mann an einem Rechenbrett mit Linien und Steinen — Die Arithmetik richtet einen Wettstreit, aus Gregor Reischs *Margarita philosophica*, 1503. Links rechnet „Boethius“ schriftlich mit Ziffern, rechts „Pythagoras“ mit Steinen auf dem Rechenbrett. Boethius lächelt, Pythagoras blickt verdrossen. Historisch ist das Bild schief, denn Boethius kannte die arabischen Ziffern nicht. Es zeigt den Streit der Zeit um 1500, ob man mit dem Brett oder auf dem Papier rechnen soll, eine kleine Übung in Grammatik.

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Übung

Nimm zwanzig kleine Steine, Bohnen oder Münzen. Lege die ersten Dreieckszahlen, 1, 3, 6 und 10, als Dreiecke, und die ersten Quadratzahlen, 1, 4, 9 und 16, als Quadrate. Dann lege zwei gleiche Dreiecke so aneinander, dass ein Rechteck entsteht, und zähle seine Seiten. Du wirst die Formel für die Dreieckszahlen finden, ohne sie gelernt zu haben. So haben, nach allem, was wir wissen, wohl schon die Pythagoreer Mathematik getrieben. Den Beweis, dass sie immer stimmt, findest du in Was ist ein Beweis?.

Quellen und Literatur

Quellen

Platon, Staat VII 522c bis 526c
Nikomachos von Gerasa, Einführung in die Arithmetik, um 100 n. Chr.
Gregor Reisch, Margarita philosophica, Freiburg 1503