Was ist die Tetraktys?

Zehn Punkte in vier Reihen, eine der ältesten Figuren der Mathematik, und warum sie mehr ist als eine Rechenaufgabe.

Das griechische Wort tetraktys bedeutet schlicht „Vierheit“. Gemeint ist eine Figur aus zehn Punkten, angeordnet in vier Reihen: oben ein Punkt, darunter zwei, dann drei, ganz unten vier. Zusammen bilden sie ein gleichseitiges Dreieck.

Zeilen

Die Tetraktys: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Mit dem Regler entstehen die übrigen Dreieckszahlen.

Eine Zahl, die man sehen kann

Die Griechen schrieben Zahlen nicht mit Ziffern, wie wir es heute tun, sondern dachten sie oft als Anordnungen von Steinchen oder Punkten. Eine Zahl hatte deshalb eine Gestalt. Manche Mengen lassen sich zu einem Quadrat legen (4, 9, 16 …), andere zu einem Rechteck, wieder andere zu einem Dreieck. Die Zahlen der letzten Art heißen bis heute Dreieckszahlen:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 …

Die zehn der Tetraktys ist die vierte davon. Allgemein gilt für die n-te Dreieckszahl

T(n) = 1 + 2 + … + n = n · (n + 1) / 2

Diese Formel lässt sich direkt am Bild ablesen: Legt man zwei gleiche Punktedreiecke gegeneinander, entsteht ein Rechteck aus n mal (n + 1) Punkten. Die Hälfte davon ist das Dreieck.

Mehr als eine Summe

Dass 1 + 2 + 3 + 4 zehn ergibt, ist keine tiefe Einsicht. Die Pythagoreer sahen in der Figur trotzdem ein Grundmuster der Welt, und das aus mehreren Gründen, die hier nacheinander verfolgt werden:

Geometrie: Die vier Reihen lassen sich als Punkt, Linie, Fläche und Körper lesen, also als die Stufen, in denen der Raum entsteht. Mehr dazu unter Vom Punkt zum Körper.
Musik: Die Verhältnisse der ersten vier Zahlen, 1 : 2, 2 : 3 und 3 : 4, sind genau die Saitenlängen der drei reinsten Intervalle Oktave, Quinte und Quarte. Mehr dazu unter Zahl und Klang.
Die Zehn: In der Zehn schloss sich für die Pythagoreer die Zahlenreihe. Alles darüber hinaus war Wiederholung. Was die antiken Quellen dazu sagen, steht unter Die antiken Quellen.

Diese Seite nimmt die Figur ernst, ohne ihr mehr anzudichten, als sich zeigen lässt. Wo die Überlieferung unsicher ist, wird das gesagt. Wo sich etwas nachrechnen lässt, kann man es an den Grafiken selbst ausprobieren.

Warum gerade zehn?

Wer im Internet nach der pythagoreischen Tetraktys sucht, landet meist auf Esoterik-Seiten oder bei Deutungen aus der Musiktheorie. Die musikalischen Erklärungen haben ihren Wert, doch keine von ihnen kann sagen, was die ersten vier Zahlen mit ihrer Summe zehn zu tun haben. Stattdessen werden verschiedene Vierergruppen der Harmonielehre zur Tetraktys erklärt. Nirgends liest man, dass die Tetraktys in der Mathematik etwas Konkretes und Sinnvolles darstellt. Das ist widersprüchlich, denn Pythagoras hat sehr handfeste Mathematik in die Welt gebracht.

Diese Seite will zeigen, dass hinter dem harmlosen 1 + 2 + 3 + 4 = 10 mehr steckt als Esoterik, vage Vermutung oder antike Philosophie. In der Geometrie der Kreise und Kugeln, der regelmäßigen Vielecke, Vielflächner und ihrer höherdimensionalen Verwandten stößt man immer wieder darauf, dass der Zehn eine ordnende, begrenzende und bestimmende Rolle zukommt. Drei Beispiele:

Das Punktedreieck selbst. Die Punkte aller Dreiecke vor dem Zehnerdreieck ergeben zusammen wieder zehn. Bei der Zehn geht gewissermaßen „die Schere auf“. Dasselbe Muster zeigt sich im Raum, bei Kugelpackungen und ihren Kristallgittern. Siehe Das Punktedreieck.
Der Zehneck-Simplex. Nur beim Zehneck ist die Zahl der Ecken gleich der Zahl der Vollkreise, die alle seine Figuren zusammen an Winkeln haben. Kleinere Simplexe haben weniger, größere mehr. Siehe Winkelsummen und Vollkreise. In derselben Geometrie zeigt sich auch die Ordnung der Primzahlen, in Rastern, die in Zehnerschritten beginnen und in Viererschritten wachsen, wieder die Zahlen der Tetraktys. Siehe Die Unordnung der Primzahlen.
Das fraktale Zehneck. Überträgt man das Sierpinski-Dreieck auf das Zehneck, zerfällt es in zehn Zehnecke, die sich überlagern und dabei Vierecke bilden. Jedes der zehn Zehnecke enthält genau zehn Vierecke, angeordnet vom Rand zur Mitte als 1 + 2 + 3 + 4. Kleinere gerade Vielecke enthalten weniger Vierecke als Ecken, größere mehr. Siehe Die Tetraktys in den fraktalen Vielecken.

In allen drei Fällen liegt der aufgehenden Schere die Folge der Dreieckszahlen zugrunde, 1, 3, 6, 10, 15, 21 …, zusammen mit einem Raster aus Vieren oder den Quadratzahlen. Erkennen lässt sich das erst, wenn man nicht nur die Figur mit der Zehn betrachtet, sondern die Figuren davor und danach in einer Reihe. Neben der Zehn hat nur die Sechs dieselbe Eigenschaft: Im Sechserdreieck kommen zu drei Punkten drei neue hinzu. Sechs und zehn liegen vier auseinander, und mit ihren Teilern 2, 3 und 5 bilden sie die Raster, die auch die Verteilung der Primzahlen ordnen. Vielleicht war es das, was Pythagoras seinen Schülern mit den Zählsteinen zeigen wollte.

Zahl, Geometrie und Philosophie

Es gibt gute Gründe, die Zahlentheorie aus dem Blickwinkel der Geometrie zu betrachten, genauer der Geometrie der Kreise und Kugeln mit ihrer vollkommenen Symmetrie. Einige dieser Figuren geben das Teilungsverhalten der natürlichen Zahlen genau wieder. Und diese Geometrie ist frei von den Zufälligkeiten, die das Zehnersystem oder jedes andere Zählsystem mit sich bringt. Die Fragen, die daraus folgen, sind philosophischer Art: Was sind Zahlen, und steckt hinter ihrer Ordnung eine Intelligenz? Sie werden auf der Seite Zahlentheorie + Geometrie = Philosophie gestellt.

Eine Naturwissenschaft wie die Mathematik ist ohne Philosophie eine seelenlose Angelegenheit. Und es ist schade, dass die schöne Geometrie der Sterne bis heute kaum den Weg in die Schulen gefunden hat. Sie würde ein Fach beleben, das vielen Menschen knochentrocken vorkommt. Wer diese Seiten liest, ist eingeladen, nicht einfach zu glauben, sondern selbst nachzurechnen und bestehende Lehrmeinungen neu zu hinterfragen. Vielleicht lassen sich so, mithilfe der Bruchstücke alten Wissens, die mathematischen Grundlagen der alten Hermetiker neu beleben.

Offene Fragen

Manches, was als Mystik überliefert ist, könnte ein unverstandener oder vergessener Zusammenhang mit wissenschaftlichem Hintergrund sein. Einige Fragen, denen diese Seite nachgeht:

Was ist mit den vier Elementen Feuer, Luft, Wasser und Erde wirklich gemeint? In Religionen wie in der hermetischen Tradition bilden sie die philosophische Grundlage. Eine mögliche Zuordnung: Feuer = Energie, Luft = Zeit, Wasser = Raum, Erde = Materie (siehe Die Tetraktys in Mystik, Hermetik und Religion).
Haben die vier Grundkräfte der Physik, Gravitation, elektromagnetische, schwache und starke Wechselwirkung, mit der Vierzahl der Tetraktys zu tun? Sie in einer gemeinsamen Theorie zu beschreiben, ist das größte ungelöste Problem der Physik. Salopp gesagt: Mechanik und Quantenphysik passen nicht unter einen Hut.
Quantenphysiker beschreiben Kräfte mit hochsymmetrischen geometrischen Modellen, den Lie-Gruppen. Einige davon sehen der Geometrie der Simplexe zum Verwechseln ähnlich. Die Ausnahmegruppe E8 lässt sich als acht ineinandergeschachtelte 30-Eck-Figuren zeichnen, 240 Punkte eines achtdimensionalen Wurzelsystems (die Gruppe selbst hat 248 Dimensionen). Die 24 und die 30 spielen auch in der Ordnung der Primzahlen eine Rolle (siehe Quantenphysik, Magie und Unbewusstes).
Was ist der tiefere Sinn von 1 + 2 + 3 + 4 = 10? (siehe Der Schlüssel zur Tetraktys)
Wie hängt die Zehn des Punktedreiecks mit dem Lambdoma der Harmonik zusammen?
Wie hängt das Pentagramm, das Erkennungszeichen der Pythagoreer, mit dem Lambdoma und dem Zehn-Punkte-Dreieck zusammen?
Und wie fließen diese drei Bruchstücke der Überlieferung in die allumfassende Tetraktys ein? Wenn alles aus dem Einen entspringt, muss sich auch alles auf das Eine zurückführen lassen.

Diese Seite bietet weder eine Heilslehre noch die endgültige Weltformel. Sie will unabhängig denkenden Lesern Hinweise geben, wo sich das Graben lohnt.