Geometrie: die ruhende Größe

Die dritte Kunst des Quadriviums, nach der die Freimaurer ihren Buchstaben G deuten: Was Zirkel und Lineal über das Denken lehren, was an der Inschrift über Platons Akademie stimmt und ein Weg durch die Seiten über Figuren und Körper.

Die Geometrie ist bei Nikomachos die Lehre von der Größe in Ruhe: Linien, Flächen, Körper, ihre Maße und Verhältnisse. Sie ist die Kunst, die der Freimaurerei am nächsten steht. Prichards Katechismus deutet den Buchstaben G als „Geometrie, die fünfte Wissenschaft“, und Winkelmaß und Zirkel, die Werkzeuge des Geometers, sind ihr Emblem (siehe Polygone und Sternpolygone in der Freimaurerei).

Was das Konstruieren übt

Über dem Eingang von Platons Akademie soll gestanden haben: „Kein der Geometrie Unkundiger trete ein.“ Belegt ist der Satz allerdings erst bei Autoren der Spätantike, viele Jahrhunderte nach Platon. Ob er je dort stand, wissen wir nicht. Dass er zu Platon passt, ist sicher, denn im Staat verlangt er die Geometrie als Vorschule der Philosophie.

Die Geometrie der Griechen übt zwei Dinge. Das erste ist Genauigkeit. Euklid konstruiert nur mit Zirkel und Lineal, und jeder Schritt muss sich aus den vorigen ergeben. Eine Figur, die nur ungefähr stimmt, gilt nicht. Das zweite ist die Verbindung von Sehen und Begründen. Eine Zeichnung zeigt etwas, aber erst der Beweis sagt, ob es immer so ist. Viele Figuren auf dieser Website sind so gebaut: Man sieht etwas, und dann wird es bewiesen.

Ptolemaios I., der König von Ägypten, soll Euklid gefragt haben, ob es keinen leichteren Weg zur Geometrie gebe als seine Elemente. Euklid soll geantwortet haben: „Es gibt keinen Königsweg zur Geometrie.“ Auch diese Anekdote ist spät überliefert, bei Proklos im 5. Jahrhundert. Aber sie stimmt in einem tieferen Sinn: Verstehen lässt sich nicht abkürzen, auch nicht für Könige.

Ausschnitt aus einem Fresko: ein kahlköpfiger Gelehrter beugt sich mit einem Zirkel über eine Tafel am Boden, vier junge Schüler sehen ihm zu. Dahinter halten zwei Männer eine Erdkugel und eine Himmelskugel — Euklid, oder nach anderer Deutung Archimedes, zeigt seinen Schülern eine Konstruktion mit dem Zirkel. Dahinter halten Ptolemaios und Zoroaster Erd- und Himmelskugel, Geometrie und Astronomie nebeneinander. Ausschnitt aus Raffaels *Schule von Athen*, 1509 bis 1511 (siehe Die Schule von Athen).

Der Weg durch diese Website

Kreis, Dreieck und Quadrat: die Grundformen, aus denen sich die Ebene füllen lässt.
Simplex, die feste Form der Zahl und Winkelsummen und Vollkreise: die Figuren der Tetraktys.
Winkel: warum ein Dreieck 180 Grad hat, mit Beweis.
Pentagramm und Goldener Schnitt und Das Inkommensurable: die Entdeckung, die die Pythagoreer erschütterte.
Die platonischen Körper: der Schritt in den Raum.

Übung

Nimm einen Zirkel, ein Lineal ohne Maßeinteilung und ein Blatt Papier. Zeichne einen Kreis. Setze den Zirkel, ohne seine Öffnung zu ändern, auf einen Punkt des Kreises und schlage einen Bogen, der den Kreis schneidet. Vom Schnittpunkt aus wieder, und so fort. Nach sechs Schritten bist du wieder am Anfang. Verbinde die sechs Punkte: ein regelmäßiges Sechseck. Verbinde jeden zweiten: ein Hexagramm. Dann frage dich, warum der Zirkel genau sechsmal passt. Die Antwort steckt in sechs gleichseitigen Dreiecken um den Mittelpunkt, und wenn du sie gefunden hast, hast du einen Beweis geführt.

Quellen und Literatur

Quellen

Platon, Staat VII 526c bis 527c
Johannes Philoponos, Kommentar zu Aristoteles’ Über die Seele, 6. Jh. (die Inschrift der Akademie)
Proklos, Kommentar zum ersten Buch von Euklids Elementen 68 (der Königsweg)
Samuel Prichard, Masonry Dissected, London 1730